К ВЫПОЛНЕНИЮ ОСНОВНОЙ ЧАСТИ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Так как дробь, стоящая справа, равна дроби слева, то числители у них тождественно равны, т.е.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ч, получим систему:

Следовательно,

5. При вычислении интегралов, содержащих тригонометрические функции, можно выделить следующие интегралы:

                   А) Интеграл вида где m и n – целые числа

                   Если   m=2k+1– нечетное положительное то :

              Если n=2k+1 – нечетное положительное число, то аналогично имеем

Если mиn – четные положительные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул

       Б) Интегралы вида , где  R- рациональная функция, вычисляются с помощью подстановки tg x=tили x=arctgt

 Функция, получившаяся в подынтегральном выражении, является дробно-рациональной функцией и к ней применимы известные приемы:

В) интегралы вида  где  R- рациональная функция.

       Если  т.е. sin x, cos x  содержатся только в четных степенях, то используется подстановка tgx=t;

Здесь

Г) интегралы вида , преобразуются к табличным с помощью формул

Пример. Найти интеграл

6. Интегралы вида

Где R– рациональная функция относительно x, а m,n,p,q,…- целые числа, вычисляются с помощью подстановки

Пример. Найти интеграл

Так как подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, то необходимо выделить целую часть , т.е. поделить числитель на знаменатель. В результате деления получим

7. При вычислении определенного интеграла используется формула Ньютона-Лейбница

Отыскание первообразной F(x) осуществляется теми же методами, что и при вычислении неопределенного интеграла. Следует отметить, что замена переменной в определенном интеграле влечет за собой изменение пределов интегрирования. Действительно

Новые пределы интегрирования α и β, при выбранной замене  находятся из уравнений , где  и  должны быть определены и непрерывны на [α, β].

Пример. Вычислить определенный интеграл

8. При решении данного примера следует пользоваться указаниями, относящимися ко второму примеру и формулой интегрирования по частям

Где функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемые на отрезке [a,b].

       Пример. Применяя формулу интегрирования по частям, вычислить интеграл

       +

9. К несобственным интегралам 1-го рода относятся интегралы с бесконечными пределами. Если функция f(x) непрерывна на промежутке [a;∞], то по определению

 Если существует конечный предел в правой части данного равенства, то несобственный интеграл 1-го рода называется сходящимся, если этот предел не существует, то – расходящимся.

Аналогично определяются интегралы вида:

Пример. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость )

Интеграл сходится.

10. К несобственным интегралам 2-го рода относятся интегралы от неограниченных функций. Если функция f(x) не ограничена в окрестности точки спринадлежит [a,b]и непрерывна на промежутках   [a; c [ и ] c; b ], то по определению

Если пределы в правой части данного равенства существуют и конечны, то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае расходящимся. Если точка С совпадает с одним из концов отрезка [a,b], то определение упрощается а именно

Пример. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

Следовательно, интеграл расходится.

II. Если плоская фигура в декартовой системе координат

Рис. 1                                                       Рис. 2

Ограничена двумя непрерывными кривыми  то площадь S определяется формулой

Для плоской фигуры, представленной на Рис. 2, целесообразней использовать формулу

Если непрерывная кривая задана в полярных координатах уравнением , соответствующим значениям , определяются интегралом

Решение данной задачи следует начинать с изображения заданных кривых на плоскости, т.е. уточнения вида плоской фигуры, площадь которой следует найти. Это поможет уточнить выбор соответствующей формулы, найти пределы интегрирования к функции

Пример.. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

В точках пересечениях параболы с прямой ординаты, как известно, равны, поэтому для нахождения абсцисс точек пересечения следует решить уравнение

.

Изобразив графики параболы и прямой, видим, что

 a=0; b=3;  Следовательно,                                              

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  

                                     Решение данной задачи необходимо начать с выяснения области определения заданной функции. Так как для полярных координат r >= 0 , то имеем , что равносильно , или  где k=0,1,2,3…

Из представленного графика видно, что

12. Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), осью ОХ и двумя прямыми x=aи x=b, вокруг оси ОХ выражается формулой

Объем тела, образованного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой x=ϕ(y),осью ОУ и двумя прямыми y=c, y=d вокруг оси OУвыражается формулой

В более общем случае объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной кривыми  (причем  ) и прямыми x=a, x=b, вокруг оси ОХ равен

Соответственно, для фигуры, ограниченной кривыми (  ), и прямыми y=c, y=dвращающейся вокруг оси ОУ объем тела определяется формулой

Решение данной задачи, как и в случае вычисления площади плоской фигуры, следует начинать с изображения графиков соответствующих кривых.

Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной параболой y=x²+2xи прямой y=0вокруг оси ОХ и вокруг оси ОУ.

a)В случае вращения вокруг оси ОХимеем

б)Если рассматриваемую фигуру вращать вокруг оси ОУ , то для вычисления объема получившегося тела вращения нужно предварительно найти . Рассматривая соотношение

 как уравнение относительно х, находим

, где ;