Лекция №6 Обработка результатов измерений

6.1. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности.

6. 2. Установление минимального количества измерений.

6.1. Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности.

Для большой выборки и нормального закона распределения общей оценочной характеристикой измерения являются дисперсия D и коэффициент K_в вариации:

           S( x – x)²                     σ

D = σ² = -------------- ; K_в= ------ = V         (1)

              n – 1                   x

Дисперсия характеризует однородность измерения. Чем выше дисперсия D, тем больше разброс измерений. Коэффициент вариации K_в характеризует изменчивость. Чем выше K_в, тем больше изменчивость измерений относительно средних значений. K_в оценивает также разброс при оценке нескольких выборок.

Доверительным называется интервал значений x_i, в который попадает истинное значение x_d измеряемой величины с заданной вероятностью. Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность P_d того, что истинное значение x_d измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Эта величина определяется в долях единицы или в процентах. Необходимо установить вероятность того, что x_d попадет в зону a< x_d > bдоверительная вероятность P_d описывается выражением:

                                  1        b – x      a – x                 a - x

P_d = Р ·(а < m(х) < в) = --- · Ф -------- - Ф -------- , где Ф -------- = t    (2)

                                  2          σ            σ                       σ

где Ф(t) - функция Лапласса, аргументом которой является отношение μ  к среднеквадратичному σ, т.е. t=μ/σ, μ=∆x, t - гарантийный коэффициент.

Функция Ф(t) - это интегральная функция Лапласса:

           2

Ф(t) = ---------  ∫ e^t2/2 dt      (3)

        √ 2π

Численные значения Ф(t) приведены в табл. 1

В этой задаче возможен другой вариант. На основе определенных данных установлена доверительная вероятность P_d. Очень часто ее принимают равной 0,90; 0,95; 0,9973 необходимо установить точность измерений, т.е. доверительный интервал 2μ.

Поскольку Pd = Ф(μ/σ), то по табл.1 обратным интерполированием можно определить половину доверительного интервала:

µ=σ_agrФ(P_d) = σ·t,    µ= σ·t            (4)

где σ_agrФ(P_d) - аргумент функции Лапласса или при n<10 Стьюдента, доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а доверительная вероятность - достоверность измерения.

Пример . Выполнено 30 измерений прочности покрытия участка автодороги. При этом средний модуль упругости покрытия Е_э=170 Мпа. Вычисленное значение среднеквадратичного отклонения оказалось σ = 3.1 Мпа.

Определить точность и достоверность эксперимента.

Требуемую точность измерений определим для разных уровней доверительной вероятности, приняв соответственно значения σ_agrФ(P_d) по табл. 1 Р_d=0,9; 0,95; 0,9973;  µ= ±3,1·1,65=5,1; ± 3,1·2,0=6,2; ± 3,1·3,0=9,3 Мпа.

Следовательно, для данного средства и метода измерения доверительный интервал возрастет примерно в два раза, если P_d увеличить только на 10%.

Необходимо определить достоверность измерений для установленного доверительного интервала, например µ= ±7 Мпа. По формуле (4) t = μ/σ = 7/3.1 = 2.26

По табл. 1. для t = 2,26 определяем Р_d = 0,97. Это означает, что в заданный интервал (доверительный) из 100 измерений не попадает только три.

Значение 1 - Ф(t) называют уровнем значимости. Из него следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться один раз из n_u измерений:

n_u = P_d/(1-P_d)                                 (5)

или иначе приходиться браковать одно из n_u измерений.

Пример. Используя данные приведенного выше примера, вычислить количество измерений, из которых одно измерение превышает доверительный интервал.  

По формуле (5) имеем для Р_d = 0.9;   n = 0,9/(1-0,9)=9 измерений. Для P_d, равной 0,95 и 0,9973, соответственно 19 и 367 измерений.

6.2. Установление минимального количества измерений.

Для проведения опытов с необходимой точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при которых экспериментатор уверен в положительном исходе. Однако чрезмерно большое количество измерений требует значительных затрат времени и ресурсов. В связи с этим одной из первоочередных задач при статистических методах оценки является установление минимального, но достаточного для данных условий числа измерений.

Задача сводится к установлению минимального объема выборки (числа измерений) N_min при заданных значениях доверительного интервала 2µ и доверительной вероятности. При выполнении измерений необходимо знать их точность ∆, которую обычно характеризуют

σ₀ = σ/√n; ∆ = σ₀ / x                        (6)

Значение σ₀ часто называют ошибкой (средней). Доверительный интервал ошибки измерения определяется аналогично, как и для измерений µ = t• σ₀.

С помощьюt легко определить доверительную вероятность ошибки измерения из табл. 1. В исследованиях часто по заданной точности ∆ и доверительной вероятности измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые значения ∆ и Ф(t).

Аналогично уравнению (4) с учетом (6) запишем:

µ = σ_agr Ф(P_d) = σ₀ / √n•t                                                         (7)

отсюда, полагая N_min = n, имеем:

       σ²•t²   K_в²•t²             √N_min•∆

N_min = -------- = ----------,     t = -------------                       (8)

         σ₀²        ∆²                      V

Здесь K_в - коэффициент вариации (изменчивости), %;

        ∆ - точность измерений, %.

Для вычисления N_min может быть принята следующая последовательность:

1. Проводят предварительный эксперимент с количеством измерений n, которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50.

2. Вычисляют среднеквадратичное отклонение σ = √∑∆x²/(n-1)

3. В соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливают требуемую точность измерений  µ,  ∆ которая должна быть не менее точности прибора.                                      

4. Устанавливают нормированное отклонение t, значение которого обычно задают; оно зависит также от точности метода. Например, при большой точности измерений можно принять t =3.0, при малой – t = 2.0 . Так, измеряя влажность грунта и материалов, можно принять t =2, плотность, прочность, размеры тел – t = 2.5-3.0.

5. По формуле (8) определяют N_min. В дальнейшем в процессе эксперимента число измерений не должно быть меньше N_min.

Пример. При приемке сооружений комиссия в качестве одного из параметров замеряет их ширину. Согласно временной инструкции требуется выполнять 25 измерений; допускаемое отклонение параметра ±0,1м. Необходимо определить, с какой достоверностью комиссия оценивает данный параметр. Предварительно вычисленное значение K=0.4 м.

Согласно инструкции ∆ = 0.1 м. Из уравнения (8) можно записать:

t =√n ∙∆/K = √25 ∙ 0.1/0.4 =1.25

В соответствии с табл.1. доверительная вероятность для t = 1.25, P_d = 0.79. Это низкая вероятность. Погрешность превышающая доверительный интервал 2µ = 0,2м, согласно выражению (5) будет встречаться один раз из 0,79/(1-0,79)=3,76, т.е. из 4 измерений. Это недопустимо.

Вычислим минимальное количество измерений с доверительной вероятностью P_d равной 0,9 и 0,95. по формуле (8) имеем N_min = 0.4² ∙ 1.65²/0.1² = 43 измерения при P_d=0.9 и 64 измерения при P_d=0,95.

Рис 1. Кривые распределения Стьюдента для различных значений  n:

1   n → ∞;     2    n= 10;       3    n= 2

Оценки измерений с помощью σ и σ_о по приведенным методам справедливы при n>30. Для нахождения границ доверительного интервала при малых значениях применяют метод, предложенный в 1908 году английским математиком В.Р. Госсетом (псевдоним Стьюдент). Кривые распределения Стьюдента в случае n→∞ (практически при n>20) переходят в кривые нормального распределения (рис.1.).

Для малой выборки доверительный интервал

µ_ст = σ_о•а_ст                   (9)

 Где а_ст- коэффициент Стьюдента, принимаемый по табл. 2. в зависимости от значения доверительной вероятности P_d

Зная µ_ст, можно вычислить действительное значение изучаемой величины для малой выборки:

x_d = x ± µ_ст                          (10)

Возможна иная постановка задачи:

По n известных измерений малой выборки необходимо определить доверительную вероятность P_d при условии, что погрешность среднего значения не выйдет за пределы ±µ_ст. Задачу решают в такой последовательности.

Вычисляют среднее значение х , σ_о и а_ст = µ_ст /σ_о .               (11)

С помощью величины а_ст известного n и табл.2 определяют доверительную вероятность.

Примечание: Если К_ф^эксп < К_ф^теор – то модель адекватна. Проверка адекватности – проверка теоретической кривой P_d экспериментальными данными.

Литература.

Основы научных исследований. Под ред. В.И. Крутова и В.В. Попова, стр. 277-291