Принятие решения приемником по одному отсчету.

Сообщения передаются последовательностью двоичных символов "1" и "0", которые появляются с априорными вероятностями соответственно p(1)=0,56 и p(0)=0,44.

Этим символам соответствуют канальные сигналы S₁(t) и S₂(t), которые точно известны в месте приема.

В канале связи на передаваемые сигналы воздействует Гауссовский стационарный шум с дисперсией s²=0,0000038  Вт.

Приемник, оптимальный по критерию идеального наблюдателя (минимума средней вероятности ошибки), принимает решение по одному отсчету смеси сигнала и помехи

Z(t₀) = S_i (t₀ )+ x(t₀) =  0,001В, на интервале элемента сигнала длительности  c.

Амплитуда канальных сигналов А =0.013 В.

Задание:

Найти и изобразить графически кривые плотностей распределения W(x) и условных вероятностей W(z/0) и W(z/1).

Показать на графике значения A, s, z(t₀).

Определить, какой символ ("1" или "0") будет зарегистрирован приемником, используя отношение правдоподобия. Предварительно пояснив, что такое отношение правдоподобия, привести общее выражение для его вычисления применительно к варианту задания и сделать необходимые расчеты.

Привести выражение и поясните смысл критерия идеального наблюдателя.

Выполнение:

Если бы на входе приемника отсутствовали помехи, то задача разделения сигналов была бы очень проста. При наличии же помех сигналы искажаются, и для их описания приходится использовать вероятностное пространство. Сигналы вместе с помехами описываются функциями плотности вероятности (z/s₁) и (z/s₂), где (z/s_i) представляет собой плотность вероятности того, что принятый сигнал Z образовался при передаче сигнала S_i, также называется функцией правдоподобия.

Отношение  называется отношением правдоподобия, и чем больше значение (Z/S_i), тем более вероятно, что Z содержит сигнал S_i

Выражение  называется пороговым отношением правдоподобия.

Приемник вычисляет отношение правдоподобия l(z), и далее по известным априорным вероятностям P(s₁) и P(s₂) и весовым коэффициентам P₁₂, P₂₁ (риск), вычисляется пороговое отношение правдоподобия l₀.

Если l(z) > l_0, то приемник выдает сигнал S₁, если нет то сигнал S₂.

Приём сигналов фазовой модуляции возможен только с помощью синхронного (когерентного) детектора, различающего фазы принимаемых сигналов.

Помеха в канале связи (флуктуационная) с нормальным законом распределения мгновенных значений.

w (x) =

Плотность вероятности сигнала Z(t) = S_i (t)+ x(t) имеет вид.

w (Z/S₁) =

w (Z/S₂) =

При отсутствии сигнала, плотность вероятности будет находиться по формуле

.

Алгоритм различения двух и более сигналов на фоне белого Гауссовского шума по методу идеального наблюдателя имеет следующий смысл – наиболее вероятным переданным сигналом считается тот сигнал, который меньше отличается от принятого сигнала. Таким образом, оптимальный приемник манипулирует средней вероятностью ошибки. В аналитической форме алгоритм оптимального приемника имеет вид:

если это условие выполняется то принимаем S₁(t), иначе S₂(t).

Результаты вычислений: