Уравнения регрессии для всех результирующих показателей

Курсовая работа

по дисциплине "Моделирование информационных систем"

Выполнил:Студент группы 4208

                                                                                                             Иванов И.И..

                                                                                     Проверил: Доцент каф АСОИУ

Якимов И.М.

                                                                                     Оценка:                                              

                                                                                     Подпись:                                            

                                                                                     Дата:                                                   

                                                      Казань 2018
Содержание

Задание. 3

Составление структурной схемы.. 3

Составление программы на GPSS. 4.

Программа на GPSS. 4.

Построение стратегического плана. 6

Тактическое планирование. 9

Уравнения регрессии для результативных показателей. 10

Оптимизация. 17

Выводы.. 23

Используемая литература. 24

Задание

 Модель процесса сборки ПК по «отвёрточной технологии»

Генератор комплектующих имитирует поставку всех комплектующих со склада на производственный участок единовременно для сборки всех ПК. Операции со второй по пятую по установке компонентов ПК производятся одним и темже сборщиком, выбираемым по наименьшему коэффициенту занятости. Шестая операция по инсталляции операционной системы; седьмая операция по инсталляции дополнительных программных продуктов. Рабочий на шестой и седьмой операциях устанавливает ПК на инсталляцию за время и снимает ПК со стенда. Инсталляция на стенде производится без его участия. Перед операциям могут образоваться очереди.

Количество контролёров на входном контроле – х₁; количество сборщиков – х₂; количество тестировщиков – х₃. Они ставят собранные ПК на инсталляцию программных средств на стенды, тестируют, анализируют результаты тестирования и в случае брака разбирают ПК и отправляют на входной контроль.

Результативные показатели эффективности:

у₁=( х₁ ·х₁₅ + х₂ ·х₁₆ + х₃ ·х₁₇)·у₂ – стоимость затрат на сборку ПК;

у₂– время изготовления партии ПК в сменах;

у₄ – коэффициент использования контролёров; у₅ – коэфф. использования сборщиков;

у₆ –– коэффициент использования тестировщиков;

у₇ – среднее время ожидания в очереди на сборку в секундах.

Оптимизируемые факторы:

  х₁ – меняется от 3 до 7;  х₂ – меняется от 12 до 24; х₃ – меняется от 4 до 8.

Объективные факторы:

х₄– меняется от 500 до 1500 – количество ПК в партии;      

х₅– кол-во смен, за которые требуется выполнить задание.

х₆=0.12  – вероятность брака на входном контроле не меняется;               

  х₇=0.07 – вероятность брака на тестировании не меняется;

х₈=5 минут – время входного контроля;

х₉=12 минут – время каждой операции по сборке;

 х₁₀=3 минут – время установки ПК на тестирование;

  х₁₁=1440 минут – время тестирования ПК на стенде;

х₁₂=15 минут – время анализа результатов тестирования;

х₁₃=12 минут – время разборки ПК;

  х₁₄=3 минут – время установки ПК на тестирование;

  х₁₅=600 рублей – стоимость одного рабочего места входного контроля;

  х₁₆=2000 рублей – стоимость одного рабочего места сборщика;

х₁₇=1500 рублей – стоимость одного рабочего места тестировщика.

  Все временные факторы х₁₀÷х₁₄ распределены по равномерному закону в интервалах х_i±0.2·х_i; i=10÷14. Требуется выполнить следующие работы:

1.Составить структурную схему производственного процесса. 

2.Разработать и описать блок-схему алгоритма модели.

3.Провести планирование. При проведении тактического планирования обеспечить 

доверительную вероятность результатов не меньше 0,90.

4.Промоделировать производственный процесс по стратегическому плану.

5.Провести регрессионный анализ и получить уравнения регрессии для всех результативных показателей от пяти влияющих на них факторов.

6.Найти оптимальные значения х₁,х₂,х₃ минимизирующие целевую функцию у₁ при ограничениях на результативные показатели: х₅ ≥у₂ ≥0.9·х₅,у₄≥0.80,у₅≥0.90,

у₆≥0.80,и на, у₇ не более чем на 0.25 от своих полученных средних значений. Для объективных факторов взять средние заданные значения.

7.Проанализировать и объяснить полученные результаты.

                   Студент группы 4209                                              

      Профессор кафедры АСОИУ                                     И.М. Якимов

3 февраля 2014 г.

Составление структурной схемы

Составление программы на GPSS.

Программа на GPSS:

vrema table m1,0,1000,20

     initial x$time,5

     initial x$kontra,3

     initial x$sborsha,12

     initial x$testa,4

kontr storage 3

sborsh storage 12

testr storage 4

     generate ,,,1000

kontrr gate snf kontr

     enter kontr

     advance x$time,(0.2#x$time)

     leave kontr

     transfer 0.12,sbor,brak

sbor queue sborsh

     gatesnf sborsh

     depart sborsh

     enter sborsh

     select min sbor,1,12,,fr

     gate nu p$sbor

     seize p$sbor

     advance 48,9.6

     release p$sbor

     leave sborsh          

testi gate snf testr

     enter testr

     advance 3,0.6

     leave testr

     advance 1440,288

     gatesnf testr

     enter testr

     advance 15,3

     leave testr

     transfer 0.07,vihod,razbor

razbor gate snf testr

     enter testr

     advance 12,2.4

     leave testr

     transfer ,kontrr

vihod tabulate vrema

     savevalue kol+,1

     test ne 1000,(x$kol+x$brakov),final

     terminate

brak tabulate vrema

     savevalue brakov+,1

     test ne 1000,(x$kol+x$brakov),final

     terminate

final savevalue zatratinasmenu,((x$kontra#600)+(x$sborsha#2000)+(x$testa#1500))

     savevalue smeni,(m1/480)

     terminate 1

     start 1

Построение стратегического плана моделирования

Перечень отобранных для исследования переменных приведён в таблицах 1 и 2

     Таблица 1. Перечень результативных показателей эффективности  

                         дискретного производственного процесса

Таблица 2. Перечень факторов, влияющих на эффективность

дискретного производственного процесса

в качестве целевой функции принять стоимость затрат на сборку ПК

у₁=( х₁ ·х₁₅ + х₂ ·х₁₆ + х₃ ·х₁₇)·у₂ →min.   (1)

  На остальные результативные показатели и оптимизируемые факторы х_i; i=1,3 накладываются ограничения. Объективный факторx₄в процессе оптимизации не меняется.

В качестве ядра стратегического плана принят план дробного факторного эксперимента (ДФЭ). В качестве основных факторов взяты три оптимизируемых факторов х₁ - х₃и в качестве дополнительного объективный факторх₄. К вершинам трехмерного куба добавляется центральная точка и 2·k=8 звездных точек. Таким образом, общее количество вариантов будет: N=1+2^k+2·k = 1+2³+2·4 = 17.

Дополнительный фактор х₄ будем менять по закону изменения произведения основных факторов х₄= х₁*х₂*х₃.

План экспериментов в кодированном виде представлен в таблице 3.

Таблица 3. - План экспериментов в кодированном виде

Определим границы в пределах, которых будут изменяться значения наших факторов.

Таблица 4. - Границы значений параметров

Таблица 5.  - Приведение кодированных значений к натуральным

План эксперимента для семи факторов в натуральном виде представлен в таблице6. Результаты имитационного моделирования приведены в таблице 7.

                              Таблица 6. Стратегический план проведения экспериментов

Таблица 7. Результаты имитационного моделирования

Тактическое планирование

По неравенству Чебышева доверительная вероятность вычисляется по формуле:

Рекомендовано, чтобы доверительная вероятность лежала в диапазоне от 0,9. Рассчитаем доверительную вероятность по 17-ми экспериментам для времени выполнения работ по договору по формуле:

Q = количество транзактов пришедших в таблицу.

где y₃ – среднее время сборки одного ПК;

у₁₀ – среднее квадратическое отклонение времени сборки одного ПК;;

Результаты расчетов по 17-и вариантам представлены в таблице 8.

                                                      Таблица 8. – Доверительная вероятность

По полученным результатам видно, что доверительная вероятность выше 0,9, что вполне приемлемо.

Уравнения регрессии для всех результирующих показателей

Повторим постановку задачи построения математической модели в виде совокупности уравнений регрессии.

где: y_j – j-й результативный показатель эффективности (отклик);

К – общее количество результативных показателей эффективности;

х_i – i-й фактор, влияющий на отклики;

М – общее количество факторов.

Основной показатель качества представления экспериментальных данных. В т.ч. результатов имитационного моделирования, уравнениями регрессии – величина стандартной ошибки.

                 Полученные значения стандартной ошибки, критерия Фишера, коэффициента множественной детерминации и скорректированного коэффициента множественной детерминации приведем ниже, после полученных уравнений.

                 Для построения уравнений регрессии применяем программу «СТАТИСТИКА 12.0»

Найдём уравнение регрессии для Y1:

Первый отчёт для Y1:

ВторойотчётдляY1:

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у1:

y1 = -582521+ x1*238211 + x2* 73808 - x3*45905 - x4*494 - x1*x1*25162- x2*x2*1246 + x3*x3*4313 + x4*x4*0,32 + x1*x4*28 + x2*x4*5 + x3*x4*33

       Настораживает величина стандартной ошибки S_ст= 34194. Хорошо это, или плохо можно сказать после сравнения со средним значением  у₁. Для этого получим таблицу остатков.

Таблица Анализ остатков у₁

По таблице у_1ср=1015553.

Вычислим S_ст1/у_1ср=34194/1015553=0,03363. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.

Найдём уравнение регрессии для Y2:

Первый отчёт для Y2:

ВторойотчётдляY2:

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у2:

y2 = 2.7513 + x1*2.50702 + x2*1.01783 - x3*2.39650 + x4*0.00991 - x1*x1*0.28933 - x2*x2* 0,02087+ x3*x3* 0,18721+ x1*x4*0,00050 - x2*x4*0,00042+ x3*x4*0,00025

Вычислим S_ст1/у_1ср=0.722/21.0582=0,03423. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.

Найдём уравнение регрессии для Y4:

Первый отчёт для Y4:

ВторойотчётдляY4:

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у4:

y3 = 2,75130 + x1* 2,50702 + x2* 1,01783 - x3* 2,39650 + x4* 0,00991 - x1*x1* 0,28933 - x2*x2* 0,02087+ x3*x3* 0,18721 + x1*x4*0,00050 - x2*x4*0,00042+ x3*x4*0,00025

Вычислим S_ст1/у_1ср=0.1148/21.0582=0.0147. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.

Найдём уравнение регрессии для Y5:

Первый отчёт для Y5:

ВторойотчётдляY5:

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у5:

y4 = 0,758064 - x1* 0,065778 - x2*-0,066336 + x3* 0,059742 + x4* 0,000760 + x1*x1*0,007141+ x2*x2* 0,001446 - x3*x3* 0,004739 - x1*x4* 0,000007 - x2*x4* 0,000005 - x3*x4*0,000004

Вычислим S_ст1/у_1ср=0.02841/0.6002=0.0229. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.

Найдём уравнение регрессии для Y6:

Первый отчёт для Y6:

ВторойотчётдляY6:

Таким образом, получили уравнение множественной регрессии для переменной у6:

y5 = 1,013940 - x1* 0,069257 - x2*0,037255 - x3* 0,185716 + x4* 0,000825 + х1*x1*0,007251 + x2*x2* 0,000933 + x3*x3* 0,013276 - x1*x4* 0,000007 + x2*x4* 0,000006 - x3*x4* 0,000029

Вычислим S_ст1/у_1ср=0.01661/0.3012=0.0043. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.

Найдём уравнение регрессии для Y7:

Первый отчёт для Y7:

ВторойотчётдляY7:

       Настораживает величина стандартной ошибки S_ст= 2204,5. Хорошо это, или плохо можно сказать после сравнения со средним значением  у₁. Для этого получим таблицу остатков.

Таблица Анализ остатков у₇

По таблице у_6ср=135374.

Вычислим S_ст1/у_1ср=2204,5/135374=0,016284. Так какэтот показатель не превышает 0,10 будем считать результаты регрессионного анализа приемлимыми.

       При проведении регрессионного анализа для всех результативных показателей выполнены все требования, принятые при постановке задачи. Построим таблицу результатов регрессионного анализа (таблица 9).

Таблица 9. - Сводная таблица результатов регрессионного анализа

Оптимизация

Перед началом оптимизации оценим качество полученного уравнения регрессии для у1:

Уравнение регрессии имеет вид:

y1 = -582521+ x1*238211 + x2* 73808 - x3*45905 - x4*494 - x1*x1*25162- x2*x2*1246 + x3*x3*4313 + x4*x4*0,32 + x1*x4*28 + x2*x4*5 + x3*x4*33

Подставив в полином кодированные значения x₁,x₂x₃x₄, получим значения f(x1,x2,x3,x4).

Вычислим СКО. Для вычислений воспользуемся пакетом прикладных программ MicrosoftExcel:

n - q - 1 = 17 - 11 - 1 = 5

= 5846033528

= 5846033528 / 5 = 34193,6647

= 34193,6647

Поставим задачу оптимизации как задачу нахождения минимального значения результативного показателя эффективности у₁ - стоимость затрат на сборку ПК, за счет выбора оптимальных значений x_i, i =  при ограничениях на другие результативные показатели эффективности и факторы.

Таким образом, ставится задача поиска минимального значения стоимости затрат:

f₁(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, х₆, х₇) →min                            

При ограничениях на переменные х_i, j=1,3

3 7;    

12 24;      

4 8;   

х4 = 1000.

Ограничения на показатели эффективности y2,y4, y5, y6, y7 заданы так, что фактически не превышают лучшие результаты, достигнутые путем проведения экспериментов по стратегическому планированию, и представляют собой минимальные и максимальные из ранее достигнутых значений.

Объективный факторы x4 в процессе оптимизации не меняется.

Для нахождения точки минимума функции воспользуемся методом Ньютона. Метод Ньютона требует, чтобы оптимизируемая функция была дважды дифференцируема. В экстремальной точке производная функции   равна нулю и корень уравнения  можно искать приближённо методом касательных, который заключается в построении последовательных приближённых ,  следующим образом. В точке  строится касательная и точка пересечения касательной с осью абсцисс берётся в качестве следующего приближения .

,                                                    (1.0)

       Вычисления  по формуле (1.0) продолжают до тех пор, пока не выполнится неравенство , после чего полагают экстремальное значение .

    Вычислим первую и вторую производные функции для каждого фактора отдельно.

-582521+ x1*238211 + x2* 73808 - x3*45905 - x4*494 - x1*x1*25162- x2*x2*1246 + x3*x3*4313 + x4*x4*0,32 + x1*x4*28 + x2*x4*5 + x3*x4*33

       Производные для фактора х1:

= 238211 - x1*25162*2 + x4*28

= -25162*2

Производные для фактора х2:

= 73808 - 2*x2*1246 + x4*5

= - 2*1246

Производные для фактора х3:

= - 45905 + x3*2*4313 + x4*33

=2*4313

        Диапазон поиска экстремального значения от х1_лев=3  до х1_прав=7, от х2_лев=12  до х2_прав=20, от х3_лев=4 дох3_прав=8. Убедимся, что на выбранном диапазоне поиска первая производная хотя бы один раз поменяла знак, для этого воспользуемся ППП Excel:

(Х1лев) = 115239, (Х1прав) = -86057

(Х2лев) = 28904, (Х2прав) = -1000

(Х3лев) = -8401, (Х3прав) = 26103

Требуемое условие выполнено. Начнём процедуру поиска. Для нахождения экстремума используем программу следующего вида, где исходные точки х1=3, x2=12, х3=4.

#include"stdafx.h"

#include"conio.h"

#include"stdio.h"

#include"math.h"

int main()

{

  int n = 0;

  float x0, y0, x1,x2,x3, y1, f, A1,A2,A3, E=0.001,x10,x20,x30;

  x10 = 3;

  x20 = 12;

  x30 = 4;

  float y,x4;

  x4=1000;

  do

  {

y=-582521+ x10*238211 + x20* 73808 - x30*45905 - x4*494 - x10*x10*25162- x20*x20*1246 + x30*x30*4313 + x4*x4*0.32 + x10*x4*28 + x20*x4*5 + x30*x4*33;

x1=x10-(238211 - x10*25162*2 + x4*28)/(-25162*2);

x2=x20-(73808 - 2*x2*1246 + x4*5 )/(- 2*1246);

x3=x30-(- 45905 + x3*2*4313 + x4*33)/(2*4313 );

A1=fabs(x1-x10);

        A2=fabs(x2-x20);

        A3=fabs(x3-x30);

n++;

        printf("%d %.4f %.4f %.4f %.4f\n", n, x10, x20, x30, y);

        x10=x1;

        x20=x2;

        x30=x3;

  }

  while(A1>E || A2>E || A3>E);

  getch();

  return 0;

}

В результате решения программы получено экстремальное значение равное 5.28, 31.62, 1.49.

Значение функции в этой точке менялось по шагам от 727455.23 в исходной точке и до 1184073,7500 после 11-го шага, т.е. поиск вел к точке максимума заданной функции. Следовательно, за точку минимума принимаем минимальное полученное значение в ходе решения программы.

Этой точке соответствует значение 727455.2500, и переменные соответственно:

х1=2.75, x2=12.25, х3=4.15.

   Подставим значения х1=3, x2=12, х3=4 в программу, в результате получим:

GPSS World Simulation Report - Untitled Model 1.8.1

              Tuesday, May 27, 2014 16:48:08 

      START TIME      END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES

           0.000     10724.667 42  12     3

         NAME                  VALUE 

     BRAK                      36.000

     BRAKOV                 10008.000

     FINAL                     40.000

     KOL                    10009.000

     KONTR                  10005.000

     KONTRA                 10002.000

     KONTRR                     2.000

     RAZBOR                    27.000

     SBOR                       7.000

     SBORSH                 10006.000

     SBORSHA                10003.000

     SMENI                  10011.000

     TESTA                  10004.000

     TESTI                     17.000

     TESTR                  10007.000

     TIME                   10001.000

     VIHOD                     32.000

     VREMA                  10000.000

     ZATRATI                10010.000

 LABEL         LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY

               1 GENERATE      1000        0  0

KONTRR         2 GATE         1052        0  0

               3 ENTER        1052        0  0

               4 ADVANCE      1052        0  0

               5 LEAVE        1052        0  0

               6 TRANSFER     1052        0  0

SBOR           7 QUEUE         930        0  0

               8 GATE          930        0  0

               9 DEPART        930        0  0

              10 ENTER         930        0  0

              11 SELECT        930        0  0

              12    GATE          930        0  0

              13 SEIZE         930        0  0

              14 ADVANCE       930        0  0

              15 RELEASE       930        0  0

              16 LEAVE         930        0  0

TESTI         17 GATE          930        0  0

              18 ENTER         930        0  0

              19 ADVANCE       930        0  0

              20 LEAVE         930        0  0

              21 ADVANCE       930        0  0

              22    GATE          930        0  0

              23 ENTER         930        0  0

              24 ADVANCE       930        0  0

              25 LEAVE         930        0  0

              26 TRANSFER      930        0  0

RAZBOR        27 GATE           52        0  0

              28 ENTER          52        0  0

              29 ADVANCE        52        0  0

              30 LEAVE          52        0  0

              31 TRANSFER       52        0  0

VIHOD         32 TABULATE      878        0  0

              33 SAVEVALUE     878        0  0

              34 TEST          878        0  0

              35 TERMINATE     877        0  0

BRAK          36 TABULATE      122        0  0

              37 SAVEVALUE     122        0  0

              38 TEST          122        0  0

              39 TERMINATE     122        0  0

FINAL         40    SAVEVALUE       1        0  0

              41 SAVEVALUE       1        0  0

              42 TERMINATE       1        0  0

FACILITY    ENTRIES UTIL. AVE. TIME AVAIL. OWNER PEND INTER RETRY DELAY

 1              76 0.350 49.435 1   0 0 0 0 0

 2              78 0.349 48.015 1   0 0 0 0 0

 3              78 0.350 48.055 1   0 0 0 0 0

 4              78 0.347 47.711 1   0 0 0 0 0

 5              77 0.350 48.738 1   0 0 0 0 0

 6              77 0.348 48.482 1   0 0 0 0 0

 7              77 0.347 48.311 1   0 0 0 0 0

 8              77 0.349 48.554 1   0 0 0 0 0

 9              79 0.350 47.539 1   0 0 0 0 0

 10             78 0.348     47.906 1   0 0 0 0 0

 11             77 0.349 48.660 1   0 0 0 0 0

 12             78 0.348 47.902 1   0 0 0 0 0

QUEUE         MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY

SBORSH       647 0 930 26 207.303 2390.600 2459.356 0

STORAGE       CAP. REM. MIN. MAX. ENTRIES AVL. AVE.C. UTIL. RETRY DELAY

 KONTR          3 3 0 3 1052 1 0.489 0.163 0 0

 SBORSH        12 12 0 12 930 1 7.746 0.646 0 0

 TESTR          4 4 0 4 1912 1 1.619 0.405 0 0

TABLE         MEAN STD.DEV.  RANGE      RETRY FREQUENCY CUM.%

VREMA     4498.027 2372.654                      0

0.000 - 1000.000       71 7.10

1000.000 - 2000.000      118 18.90

2000.000 - 3000.000      125 31.40

3000.000 - 4000.000      118 43.20

4000.000 - 5000.000      123 55.50

5000.000 - 6000.000      136 69.10

6000.000 - 7000.000      120 81.10

7000.000 - 8000.000      121 93.20

8000.000 - 9000.000       61 99.30

9000.000 - 10000.000           6 99.90

10000.000 - 11000.000        1 100.00

SAVEVALUE          RETRY  VALUE

 TIME                0     5.000                           

 KONTRA              0     3.000                           

 SBORSHA             0    12.000                           

 TESTA               0     4.000                           

 BRAKOV              0   122.000                           

 KOL                 0   878.000                           

 ZATRATINASMENU      0 31800.000                           

SMENI           0    22.343 

Результаты:

Значения результативных показателей в области допустимых значений, следовательно из полученных результатов оптимальной точкой можно считать точку с координатами х1=3, х2=12, х3=4.

По результатам оптимизации проведем регрессионный анализ с помощью программы Statistica 12.0 и выведем формулу, характеризующую зависимость оптимизируемых факторов от объективного фактора.

Результаты множественной регрессии для оптимизируемого фактора Х1:

В результате регрессионного анализа было получено следующее уравнение для x1:

x1= 4,571429 + 0,001143 * х4  -0,000001 * х4*х4

Результаты множественной регрессии для оптимизируемого фактора Х2:

В результате регрессионного анализа было получено следующее уравнение для x2:

x2= 18,00000+ 0,0000014 * х4 - -0,000000000014 * х4*х4

Результаты множественной регрессии для оптимизируемого фактора Х3:

В результате регрессионного анализа было получено следующее уравнение для x3:

x3= 6,000000+ 0,00000027 * х4 - -0,00000000000027 * х4*х4

Для оптимизации выбран метод Ньютона и использована программа на С++.

По результатам оптимизации проведён регрессионный анализ с помощью стандартной процедуры программы Statistica 12.0 и выведены формулы для вычисления значений оптимизируемых факторов по объективным факторам.

Выводы

В ходе выполнения курсовой работы была создана имитационная модель функционирование сборки персональных компьютеров на языке GPSSWorld. В процессе работы была проведена оптимизация факторов, влияющих на поведение исследуемого объекта. За факторы, влияющие на исследуемый объект, были взяты х1, х2, х3 –диапазоны изменения количества работников и х4 - количество ПК.

В результате оптимизации были получены следующие результаты: при сборке 1000 ПК минимум затрат будет осуществляться при х1=3, х2=12 и х3=4, за 23 смены.

Используемая литература.

1. Якимов И.М., Трегубов В.М. “Основы программирования и отладки имитационных моделей на языке GPSS/PC” – Казань, КГТУ, 1996

2. Якимов И.М. “Моделирование систем” – Казань, КАИ, 1980

3. Шрайбер Т.Д. “Моделирование на GPSS-V” – Москва, Машиностроение, 1980

4. Венцель “Теория вероятностей ” 1954

5. Справочник “Статистика”, т. 2 1983