Вступительный экзамен по математике

Вступительные испытания по математике (письменно) имеют целью оценить знания кандидатов по математике в объеме изученного материала среднего общего образования.

Сложность задач в заданиях не выходит за рамки знаний и умений, которые кандидат должен освоить по математике.

Вступительное испытание проводится в письменной форме.

Кандидаты к вступительному испытанию готовятся самостоятельно. До начала испытания с кандидатами проводятся консультации, разъясняется порядок проведения вступительного испытания и предъявляемые требования.

На вступительном испытании от кандидатов требуется продемонстрировать знания основных математических фактов из школьного курса элементарной математики, а также твердые навыки в проведении вычислений (без калькулятора!) и простейших аналитических выкладок.

Все записи при выполнении задания производятся только на специальных бланках, выдаваемых кандидату вначале экзамена.

Рекомендуется решать сначала задачи, которые видятся более легкими, и заносить их сразу в чистовик (не прибегая к черновику), а потом приступать к работе над другими. Если удалось решить все задачи до окончания испытания, не стоит торопиться сдавать работу. Лучше немного отдохнуть, а затем снова тщательно проверить работу.

На выполнение задания по математике отводится 90 минут. В течение этого времени требуется решить задачи, оформить решение на чистовике и записать ответ.

При контрольной проверке преподаватель смотрит только чистовик. Если задача не заявлена в чистовике (хотя бы указанием: задачу № – см. в черновике), она не проверяется и не учитывается.

Выполненное задание оценивается числом правильно решенных задач. Каждое задание содержит 14 задач из различных разделов математики.

ШКАЛА ОЦЕНИВАНИЯ ВЫПОЛНЕННЫХ ЗАДАНИЙ

Максимальная сумма баллов – 100.

Минимально необходимое количество баллов – 27.

Примерные варианты заданий:

Вариант 1

1. Каждый день во время конференции расходуется 120 пакетиков чая. Конференция длится 3 дня. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно купить на все дни конференции?

2. Найдите площадь трапеции, вершинами которой являются точки с координатами , , , .

3. На рисунке изображен график производной  функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка  функция  принимает наименьшее значение?

4. В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 5 из них встречается вопрос по теории вероятностей. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете курсанту достанется вопрос по теории вероятности.

5. Найти корень уравнения .

6. Площадь параллелограмма  равна . Точка  – середина стороны . Найдите площадь трапеции .

7. Найдите , если  и .

8. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально, и на исследуемом интервале температур задается выражением , где  К, , . Известно, что при температурах нагрелся выше 1550 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

9. Из пункта  круговой трассы, длина которой равна  км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобилиста. Скорость первого равна , скорость второго – . Через сколько минут первый автомобилист будет опережать второго ровно на 1 круг?

10. В прямоугольном параллелепипеде  известны длины ребер: , , . Найдите площадь сечения, проходящего через вершины ,  и .

11. Найти  от числа

.

12. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .

13. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

14. Решите неравенство .

Вариант 2

1. Летом килограмм черешни стоит 80 рублей. Мама купила 1 кг 800 г черешни. Сколько рублей сдачи она должна получить?

2. Найдите площадь треугольника . Размер каждой клетки . Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

3. На рисунке изображены график производной функции  – производной функции , и восемь точек на оси абсцисс: . В скольких из этих точек функция возрастает?

4. Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день запланировано 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьевкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5. Найти корень уравнения .

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, делит угол на два угла, один из которых равен . Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусы.

7. К источнику с ЭДС  В и внутренним сопротивлением  Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением  Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, дается формулой . При каком сопротивлении нагрузки напряжение на ней будет 50 В? Ответ выразите в Ом.

8. Найдите значение выражения .

9. Из пункта  в пункт , расстояние между которыми  км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 90 км больше, чем велосипедист. Определить скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт  на 5 часов 24 минуты позже автомобилиста. Ответ дайте в .

10. В правильной треугольной пирамиде  точка  – середина ребра ,  – вершина. Известно, что , а площадь боковой поверхности равна 72. Найдите длину отрезка .

11. Найти число, если  его равны

.

12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .

13. а) Решите уравнение .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

14. Решите неравенство .