Практические занятия 5, 6, 7. Применение метода наименьших квадратов в случае показательной, логарифмической и гиперболической зависимостей.

Пример 1. Результаты экспериментального исследования величины y от величины x представлены в таблице.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	3	6	9	14	26	38	70	105	180	290

Методом наименьших квадратов найти формулу функциональной зависимости .

Нанесем табличные данные на график. Расположение точек позволяет сделать вывод: функция при малых значениях переменной (x < 5) меняется слабо, а при больших значениях – резко возрастает, что свидетельствует в пользу выбора экспоненциальной зависимости . Для определения её числовых параметров используем формулы (3) и (4) из лекции 3.

Проведем необходимые вычисления.

;

Заполним таблицу значениями функции.

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	3,3	5,4	9,0	14,8	24,4	40,2	66,2	109,2	180,0	296,8

Нанесем полученные точки на график и соединим плавной линией, которая весьма удовлетворительно соответствует исходным данным.

Пример 2. Результаты экспериментального исследования величины y от величины x представлены в таблице.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	4,2	3,2	2,9	2,5	2,45	2,15	2	1,75	1,9	1,6

Методом наименьших квадратов найти формулу функциональной зависимости .

Отметим табличные значения на координатной плоскости (нанесение точек выполнить самостоятельно). Плавное изменение значений функции свидетельствует в пользу выбора логарифмической зависимости .

Числовые параметры выбранной зависимости найдём по формулам (5) и (6), представленным в лекции 3. Чтобы воспользоваться формулами, вычислим необходимые для этого суммы.

;

;

;

;

Вычислим отдельно знаменатель в формулах (7) и (8), обозначив его Δ.

.

Формула искомой зависимости будет иметь вид: .

Для проверки результата составим таблицу значений (округлённых так же, как и обрабатываемые данные, до сотых) найденной аналитической зависимости и нарисуем её график вместе с исходными данными.

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	4,08	3,34	2,90	2,60	2,36	2,16	2,00	1,85	1,73	1,62

Построенный график очень хорошо соответствует экспериментальным данным, значит, выбор аналитической зависимости можно считать верным.

Пример 3. Результаты экспериментального исследования величины y от величины x представлены в таблице.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	7,5	2,5	0,5	1,1	- 0,5	- 1,2	- 1,2	- 1,7	- 1,5	- 1

Методом наименьших квадратов найти формулу функциональной зависимости .

Нанесем табличные данные на график. Сильное изменение функции при небольших  и очень незначительное при больших  указывает на возможность выбрать для данного случая гиперболическую зависимость    .

Параметры выбранной зависимости найдём по формулам (7) и (8), представленным в лекции 3. Выполним необходимые вычисления:

;

;

;

;

;

;  

.

Составим таблицу значений функции, округлив их до десятых, как и в исходной таблице.

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	7,5	2,5	0,9	0,0	–0,5	–0,8	–1,1	–1,2	–1,4	–1,5

Нанесем рассчитанные значения на график и соединим плавной линией. Точки, соответствующие исходным данным хорошо группируются вблизи проведенной линии, значит, зависимость выбрана удовлетворительно.

Задание 1 для самостоятельной работы.

Результаты экспериментального исследования величины y от величины x представлены в таблице.

Методом наименьших квадратов найти формулу функциональной зависимости .

Задание 2 для самостоятельной работы.

Результаты экспериментального исследования величины y от величины x представлены в таблице.

Методом наименьших квадратов найти формулу функциональной зависимости .

Задание 3 для самостоятельной работы.

Результаты экспериментального исследования величины y от величины x представлены в таблице.

Методом наименьших квадратов найти формулу функциональной зависимости .