Более Совершенным и точным приемом выравнивания рядов динамики, который учитывает все уровни исходного ряда является аналитическое выравнивание по способу наименьших квадратов.

Выравнивание по этому способу основывается на предположении, что изменения исследуемого ряда динамики могут быть приближенно выражены определенным математическим уравнением (апроксимуючою функцией), по которым и определяют выровненные уровни динамического ряда. Другими словами, уровни ряда динамики рассматриваются как функция времени у1 = /(') , где у1 - уровни динамического ряда, определяемые по соответствующим уравнению на момент времени '.

Аналитическое выравнивание можно провести с использованием различных типов функций: прямой линии, параболы второго порядка, показательной кривой (экспоненты), гиперболы и т.д.

Уравнение, выражающее уровни ряда динамики как некоторую функцию времени t, называют трендом. Понятие об уравнении тенденции было введено в статистику английским ученым Гукером в 1902 г. Он предложил называть такое уравнение трендом (thetrend).

Суть аналитического выравнивания динамических рядов заключается в том, что фактические уровни ряда заменяются рядом уровней, которые меняются плавно (теоретическими уровнями), вычисленными на основе определенной кривой, выбранной в предположении, что она наиболее точно отражает общую тенденцию изменения исследуемого социально-экономического явления во времени.

Подбор наиболее подходящей функции является важным и ответственным заданием, от которого в конечном итоге зависят результаты выравнивания. В основе его решения должен быть содержательный теоретический анализ существенности изучаемого явления и законы его развития. Надо подобрать такую кривую, которая бы максимально близко проходила в фактических уровней. Добиться этого можно при условии, что сумма квадратов отклонений фактических уровней (у ) от рассчитанных по уравнению (~(), будет минимальной В(в -~()2 = min.

В практике экономических исследований чаще всего применяют такой подход: подбирают несколько уравнений, определяют их параметры, а затем отдают предпочтение тому, у которого В/у ~Л )2 и коэффициент вариации самые маленькие.

Приближенно обосновать уравнения, отражающего основную тенденцию, можно с помощью построения графика (линейной диаграммы).

Выравнивание динамических рядов способом наименьших квадратов, как и выравнивание с помощью других приемов, должно осуществляться в пределах равнокачественных периодов. Если в динамическом ряду является качественно специфические периоды, то проявлять тенденцию целесообразно в пределах каждого из них.

в Зависимости от исходных данных для выравнивания рядов динамики могут быть выбраны различные типы кривых или прямая линия. Анализ динамики социально-экономических явлений показывает, что их изменение сопровождается постоянными растущими и ниспадающими абсолютными приростами, постоянными темпами роста и прироста, ускорением или замедлением, то есть их выравнивание следует проводить по уравнению прямой линии, парболи второго порядка или показательной кривой.

Основная тенденция (тренд) показывает, как воздействуют систематические факторы на уровни ряда динамики, а отклонения фактических уровней от выровненных характеризует вариацию уровней, вызванное индивидуальными особенностями каждого периода. Случайная (остаточная) вариация в рядах динамики может быть измерена способами, которыми измеряется обычная вариация, например с помощью остаточного среднего квадратического отклонения

или коэффициента вариации V = -100%.

Показатели вариации уровней динамических рядов могут быть использованы для оценки правильности выбора аппроксимирующей функции (уравнения) для выравнивания, а также сравнительной оценки устойчивости отдельных динамических рядов. Очевидно, что чем показатели вариации меньше, тем выравнивание осуществлено точнее, а ряды динамики устойчивы.

Выравнивание динамических рядов по уравнению прямой линии целесообразно проводить тогда, когда для эмпирического ряда характерны более или менее постоянные цепные абсолютные приросты, то есть тогда, когда уровни ряда изменяются приблизительно в арифметической прогрессии.

Относительно рядов динамики аналитическое уравнение прямой линии имеет вид:

где уг - выровненные значения уровней динамического ряда;

г - время, т.е. порядковые номера периодов;

а0 и а1 - параметры уравнения искомой прямой;

а0 - начало отсчета (экономического содержания не имеет);

а1 - коэффициент регрессии или пропорциональности, который показывает средний ежегодный прирост (снижения) изучаемого явления (тангенс угла наклона прямой линии к оси абсцисс).

Параметры а0 и а1 искомой прямой, удовлетворяющие требованию способа наименьших квадратов, находят решая следующую систему нормальных уравнений:

где п - число уровней ряда динамики.

Техника создания системы уравнений такая. Первое уравнение получают умножением всех членов исходного уравнения (~г = а0 + а1г) на коэффициент при а0(на единицу) и суммирования найденных произведений. Чтобы иметь второе уравнение, все члены исходного уравнения необходимо умножить на коэффициент при а1(г) и найденные произведения просуммировать. Аналогично строят систему нормальных уравнений и для других кривых (параболы второго порядка, гиперболы и т.д.).

Расчет параметров уравнения (а0 и а1 ) можно значительно упростить, если отсчет времени (г) проводить так, чтобы сумма показателей времени равнялась нулю X г = 0). Этого достигают так. Уровень, находящийся в середине ряда динамики, принимают за условное начало отсчета, или нулевое значение. Для того, чтобы сумма показателей времени равнялась нулю, условные обозначения дат нужно давать так.

При нечетном числе уровней ряда динамики для получения Xг = 0 уровень, находящийся в середине ряда, приравнивают к нулю, а уровни, расположенные выше его обозначают числами со знаком минус -1, -2, -3 и т.д., а ниже - числами со знаком плюс+1, +2, +3 и т. д.

При парном числе уровней ряда динамики уровни, лежащие выше срединного значения (оно находится в середине между двумя срединными датами), обозначаются натуральными числами со знаком минус- 1, - 3, - 5 и т.д., а уровни, лежащие ниже срединного значения - натуральными числами со знаком плюс +1, +3, +5 и т.д.

С условием, что Xи = 0, система нормальных уравнений упрощается и

Решая исходную систему нормальных уравнений способом определителей, параметры а0 и а1 можно вычислить по другим формулам, которые дают возможность получить более точные результаты за счет сведения к минимуму ошибки из-за округления в вычислениях параметров:

Следовательно, для определения параметрова0 и а1 необходимо иметь четыре суммы: Иу; Іуі; "/

ЕслиXi = 0, то тогда формулы для вычисления параметрова0 иа1, упрощаются, набирая такого вида:

ЗначениеX можно вычислить по формуле:

При условии, что X г = 0, значение X г2 можно отыскать по формулам:

. . " 2 (п - 1)п(п +1) п(п -1) при парном числе уровней ^ г =---- = --

. . " 2 (п - 1)п(п +1) п(п -1) при нечетном числе уровней ^ г =-12-= -12-;

Для расчета параметров а0 и а1 можно пользоваться формулами:

Порядок выравнивания по уравнению прямой линии проиллюстрируем на примере ряда динамики урожайности подсолнечника (табл.10).

Обоснуем выбор математического уравнения для выравнивания динамического ряда. Из данных таблицы видно, что рост урожайности происходит равномерно. Построение линейной диаграммы (см. рис. 1) показывает, что ломаная кривая по своей форме близка к прямой линии. Исходя из этого, целесообразнее этот ряд динамики выравнивание по уравнению прямой линии (линейного тренда):

Параметры а0 и а1 искомой прямой, которая удовлетворяет способа наименьших квадратов, найдем, решив следующую систему нормальных уравнений:

Итак, чтобы определить параметры уравнения, необходимо найти такие четыре суммы:Ху; Иуг; Иг; Хг2.

Все расчеты сведем в табл.10.

Выравнивание динамического ряда проведем двумя способами - обычным и упрощенным (способом отсчета от условного начала),

Способ.

Используя полученные величины, решим систему уравнений:

Таблица 10. Расчетные данные для аналитического выравнивания динамического ряда урожайности подсолнечника способом наименьших квадратов

Разделим оба уравнения на коэффициенты при а0 первое уравнение на 15, а второе - на 120, а затем вычтем из второго уравнения первое:

Отсюда а1 = 0,5279 = 0,53 ц/га.Определим а0, подставив в одно из уравнений значения а1:

Параметры уравнения можно определить и по другим, более удобными, формулами:

Проверим правильность решения системы уравнений, исходя из равенства:

Таким образом, уравнение прямой линии, выравнивает ряд динамики имеет вид:

Коэффициент регрессии а1 = 0,53 ц/га показывает, что в среднем за исследуемый период урожайность подсолнечника ежегодно повышалась на 0,53 ц/га. Коэффициент а0 = 10,48 ц/га - значение выровненной урожайности для года в динамическом ряду, взятого за начало отсчета (2003 г., когда г = 0).Подставляя в полученное уравнение значения (и= 1, 2,..., 15), получим выровненные (расчетные) значения урожайности. Например.

для 1998г. ~г=1 = 10,48 + 0,53 -1 = 11,0 ц/га;

для 1997г. ~г=2 = 10,48 + 0,53 o 2 = 11,5 ц/га и т.д.

Проверим правильность всех расчетов, сравнивая суммы фактической и выровненной урожайности:

II способ.

Для упрощения расчетов используем способ отсчета от условного начала. Выразим значения дат (г) в отклонениях от даты, взятой за условное начало (она находится в центре ряда динамики; г = 0 в 2003г.; табл., 10.10). Система уравнений упрощается, поскольку Хг = 0:

Параметры уравнения можно найти и за другими, приведенными в первом способе, формулами решение примера.их значения будут такими же.

Уравнение линейного тренда имеет вид:

у, = а0 + а1і = 14,69 + 0,53і.

Параметр а0 = 14,69 ц/га - значение выровненной урожайности для центрального в динамическом ряду года, взятого за начало отсчета. Для 2000 г. и = 0, тогда у1 = 14,69 + 0,53-0 = 14,69 ц/га. Параметр а0 равна средней урожайности в динамическом ряду в = £: п = 220,4:15 = 14,69 ц/га. Коэффициент регрессии а1 = 0,53 ц/га характеризует среднее ежегодное увеличение урожайности. Он имеет такое же значение и содержание, что и при выравнивании первым способом.

Выровненные (теоретические) уровни урожайности (у) вычисляют аналогично тому, как это было сделано в первом способе расчетов.

Чтобы оценить степень приближения линейного тренда к фактическим данным динамического ряда, рассчитаем остаточное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Для этого вычислим отклонения фактической урожайности от выровненной (у - уі), их квадраты (у - в )2 и их сумму £ (у - у1 )2 (гр.11 и 12 табл. 10.10).

Остаточное среднее квадратическое отклонение составит:

Итак, колебания фактической урожайности вокруг прямой линии в среднем составляет 1,04 ц/га, или 7,1%. Небольшой коэффициент вариации указывает на то, что уравнение прямой линии достаточно точно отражает тенденцию изменения урожайности во времени.

в то же Время анализ динамического ряда урожайности свидетельствует о том, что несмотря на значительное колебание урожайности по годам, четко прослеживается тенденция ее повышения и ускорения приростов в последние годы. Поэтому логично предположить, что исследуемый ряд динамики можно выравнивать по уравнению параболы второго порядка.

Выравнивание рядов динамики попараболой второго порядка осуществляется в тех случаях, когда изменение уровней ряда происходит примерно равномерным ускорением или замедлением цепных абсолютных приростов.

Уравнения параболы второго порядка характеризуется тремя параметрами:

где а2 - показатель ежегодного ускорение (или замедление, если а2 со знаком минус) абсолютного прироста уровней ряда.

Параметры параболы второго порядка аи и а2 находят из следующей системы нормальных уравнений:

При 2г = 0 и 2 г3 = 0 система уравнений значительно упрощается, приобретая такого вида:

Из этой системы а1 определяют элементарно из второго уравнения

а а0 и а1 из системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Таблица 11. Расчет данных для выравнивания динамического ряда урожайности подсолнечника за параболой второго порядка способом наименьших квадратов

Используя данные предыдущего примера о динамике урожайности подсолнечника за 1996 - 2010 гг. (табл. 10.10), проведем выравнивание ряда по уравнению параболы второго порядка способом наименьших квадратов (табл. 10.11). Для упрощения расчетов возьмем и и = 0 и 2 и^ = 0.

Чтобы определить параметры а0, а1 и а2, уравнение параболы второго порядка, решим следующую систему уравнений:

Подставим найденные величины в систему уравнений:

Из второго уравнения определим значение а1:

Решив первое и третье уравнения, получим значения параметров

а0и а2:

Для выравнивания коэффициентов при а0 разделим первое уравнение на 15, а второе - на 280. Получим:

Вычтя из второго уравнения первое, получим:

0,02 = 14,73 а2

Отсюда

= и0,02= 0,0014 ц/га. 2 14,73

Определим значение параметра а0, подставив значения а2 в первое уравнение:

220,4 = 15 а2 + 280-0,0014;

220,4 - 0,39 220,01 л лґп .

а0 =-=-= 14,67 ц/га.

0 15 15

Решение системы уравнений дает следующие значения искомых параметров уравнения ( в ц/га ):

а0= 14,67; а1= 0,53; а2= 0,0014. Параметры уравнения параболы второго порядка можно определить не только способом подстановки, но и непосредственно пользуясь формулами, упрощающих расчеты:

Проверим правильность расчета параметров, подставляя в нормальное уравнение их числовые значения:

Итак, параболический тренд имеет такой вид:

Поясним значения найденных коэффициентов: а0= 14,67 ц/га - это начало отсчета или выровненное значение урожайности для центрального в ряду динамики года, взятого за начало условного отсчета (2003 г., когда и = 0); а1 = 0,53 ц/га - средний ежегодный прирост урожайности: а2= 0,0014 ц/га - среднее ежегодное ускорение прироста урожайности.

Вычислим по уравнению параболы сглаженное значение урожайности, подставляя в уравнение вместо и его числовые значения ( от - 7 до +7; гр. 8 табл. 10.11):

в 1996г. при и= -7; ~ = 14,67 + 0,53(-7) + 0,0014(-7)2= 10,8 ц/га;

в 1997г. при и= -6; ~ = 14,67 + 0,53(-6) + 0,0014(-6)2= 11,5 ц/га и т. д.

Проверим правильность расчетов:

Как видно из расчетов, выровненные уровни урожайности очень близки к фактическим уровням. Следовательно, парабола второго порядка достаточно точно отражает тенденцию изменения урожайности на исследуемом отрезке времени.

Чтобы оценить степень приближения параболического тренда к фактическим данным динамического ряда, вычислим остаточное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. Для этого определим отклонение (у -~), квадрат отклонения (в -уі )2 и их сумму £ (у - и )2 (гр. 9 и 10 табл. 10.11). Остаточное среднее квадратическое отклонение составит:

Коэффициент вариации равен:

Итак, колебания фактической урожайности вокруг параболы второго порядка в среднем составляет 1,01 ц/га, или 6,9%.

Небольшой коэффициент вариации указывает на то, что параболический тренд достаточно точно отражает тенденцию изменения урожайности за исследуемый отрезок времени.

Сравним результаты выравнивание динамического ряда урожайности по линейным и параболическим трендом. Остаточное среднее квадратическое отклонение, добытое по уравнению параболы второго порядка, несколько меньше, чем остаточное среднее квадратическое отклонение, полученное по уравнению прямой линии (1,01 < 1,04). Следовательно, парабола второго порядка точнее воспроизводит тенденцию изменения урожайности во времени, чем прямая линия.

Однако несущественные отличия в а и V допускают возможность выравнивания данного ряда динамики и по линейным трендом.

Для обоснования выбора выравнивания ряда динамики по линейным или параболическим трендом можно оценить существенность различий между остаточными дисперсиями по критерию Б - Фишера по правилам, изложенным в курсе математической статистики.

Фактическое дисперсионное отношение составит:

Табличное значение критерия при количестве степеней свободы вариации к = п -1 = 15 -1 = 14 и уровне значимости а = 0,05 составит 3,74.

Поскольку Ртабг> ¥фшт (3,74 > 1,06), то различия в остаточных дисперсиях являются случайными, поэтому нельзя отдать предпочтение какому-либо способу выравнивания.

Если уровни ряда динамики проявляют тенденцию к постоянству цепных темпов роста, т.е. уровни ряда изменяются в геометрической прогрессии, то выравнивать этот ряд следует за уравнение показательной кривой:

где а0 и и имеют прежний смысл, а1 - средний темп роста выровненного уровня за единицу времени.

Техника выравнивания по уравнению показательной кривой аналогична технике выравнивания по уравнению прямой линии, отличие лишь в том, что выравниваются здесь не уровни ряда, а их логарифмы.

Прологарифмувавши уравнения показательной кривой, получим уравнение прямой линии, в котором уровни ряда динамики заменены на их логарифмы:

Параметры уравнения а0 и а1 достанем из такой системы нормальных уравнений:

Приравняв £и = 0, получим:

Итак, для вычисления параметров уравнения а0 и а1 нужно найти три суммы: £ Ьгу;£ 1 Иду;£ И2 .

Порядок выравнивания ряда динамики по уравнению показательной кривой способом наименьших квадратов проиллюстрируем на следующем примере (табл. 12).

Используя найденные величины, определим параметры уравнения:

По таблицам антилогарифмів а0= 101,58; а1 = 1,06.

Итак, уравнение показательной кривой, что отражает тенденцию изменения урожайности помидоров будет таким:

= ^ а0 + и lg а1 = 2,0068 + 0.0253г, или потенцюючи приведенное уравнение, получим: ~~и = а0 а1і = 101,58 -1,06і.

Таблица 12.Розрахунок данных для выравнивания динамического ряда урожайности помидоров за показательной кривой способом наименьших квадратов

Найденное уравнение имеет такой смысл: параметр а0 является средней геометрической фактического ряда динамики, а параметр - а1 является средним коэффициентом роста этого же ряда динамики. Отняв от него единицу и умножив на 100%, получим темп роста. Следовательно, за 2004-2010гг. среднегодовой темп роста урожайности помидоров составил:

(1,06 - 1) 100% = 6,0%.

Выравнивание по показниковою кривой осуществляется с учетом всех значений уровней исходного ряда динамики в отличие от выравнивания по среднему коэффициенту роста, которое проводится только на основе соотношения двух крайних уровней ряда.

Рассчитаем по уравнению показательной кривой выровненные значения урожайности помидоров, подставляя в уравнение вместо г его числовые значения (от - 3 до +3).

Например, для 2001 г. это выровненное значение будет таким: = 2,0068 + 0,0253 (- 3) = 1,9309.

Потенціюючи, получаем \%гу1=_3 = 85,3 ц/га.

Аналогично определяют выровненные уровни динамики и для остальных периодов времени.

Выровненные уровни можно также рассчитать пообычным уравнением показательной кривой:

~г = а0 а1г = 101,58 o 1,06г, подставляя вместо г его числовые значения (от - 3 до +3).

Например, для 2004 года выровненное значение будет таким:

Логарифмы выровненных уровней и сами уровни приведены в двух последних графах табл. 10.12. Результаты вычисления двумя способами совпадают.

Как видно из расчетов выровненные уровни урожайности очень близки к фактическим уровням ряда динамики. Итак, показательная кривая достаточно точно отражает тенденцию изменения урожайности помидоров за исследуемый отрезок времени.

При выравнивании по гиперболе, уравнение которой имеет вид

параметры a0 и a1 находят способом наименьших квадратов из системы нормальных уравнений: