Средняя гармоническая взвешенная

(4)

где - произведение варианты на частоту.

Средняя геометрическая.

Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

(5)

где x₁, x₂,..., x_n - значения цепных коэффициентов роста;

П - знак перемножения

Средняя геометрическая взвешенная рассчитывается по формуле:

(6)

Применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства или снижение уровня преступности по сравнению с уровнем предыдущего года.

Средняя хронологическая

Средняя хронологическая применяется когда значения признака Х заданы на несколько дат внутри периода. Формула средней хронологической простой:

(7)

где, n- число дат, на которые известны значения Х.

С редний уровень моментного ряда динамики с неравноотстоящими уровнями характеризуетсредняя хронологическая взвешенная, которая исчисляется по формуле:

(32)

где, X_i и X_i+1 – значение уровня моментного ряда динамики и уровня, следующего за ним;

f_i – промежуток времени между датами

Для изучения внутреннего строения совокупности применяют структурные средние - моду и медиану.

Мода ( ) - наиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. В дискретном ряду мода определяется по наибольшей частоте. Для интервального ряда с равными интервалами мода определяется по формуле:

,

(8)

где - нижнее значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту);

- ширина (шаг) интервала;

- частота модального интервала;

и - соответственно: частота интервала, предшествующего (последующего) модальному.

Медиана ( ) - середина ранжированного ряда, т.е. величина признака, делящая ряд на две равные части. Для дискретного с нечетным числом уровней медианой будет варианта, находящаяся в середине ряда:

,

(9)

где – номер медианы.

Для дискретного ряда с четным числом медианой будет средняя арифметическая из двух вариант, расположенных в середине ряда:

.

(10)

Для интервального вариационного ряда медиана определяется по формуле:

,

(11)

где - нижняя граница медианного интервала;

-его величина; - его частота;

-сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

-сумма частот ряда.

Не каждая средняя величина является объективной характеристикой изучаемой совокупности. Для расчета типичности средней, колеблемости признака применяются показатели вариации.

Показатели вариации

Колеблемость, изменяемость величины признака у единиц совокупности называется вариацией.

Для характеристики вариационного ряда рассчитываются показатели вариации:

1. Размах вариации (R) - разница между наибольшим и наименьшим значением признака

(12)

2. Среднее линейное отклонение ( d ) - средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней величины:

• простое

(13)

• взвешенное

(14)

3. Наиболее распространенным показателем вариации является среднее квадратическое отклонение .

,

(15)

где - дисперсия изучаемого признака в изучаемой совокупности. Дисперсия рассчитывается как база исчисления .

простая ,	(16)
взвешенная	(17)

Дисперсия – это средняя из квадратов отклонений вариант от средней. Она не имеет единиц измерения. Среднее квадратическое отклонение имеет ту же единицу измерения, что и значение Х и показывает, как в среднем конкретные значения Х отклоняются в ту или иную сторону от среднего значения:

Чем больше отклонение, тем менее типична средняя.

4. Коэффициент вариации характеризует колеблемость признака, однородность (неоднородность), совокупность, типичность (нетипичность) средней величины.

%,

(18)

Если коэффициент вариации менее 10% - вариация слабая, совокупность однородная, средняя типична.

Если коэффициент вариации находится в пределах от 10 до 33% - вариация умеренная, совокупность однородная, средняя типична.

Если коэффициент вариации находится в пределах от 33 до 60% - вариация признака сильная, совокупность не однородная, средняя не типична.

Если коэффициент вариации от 60 до 100% - вариация очень сильная, совокупность качественно неоднородная и средняя не является типичной характеристикой совокупности.

Для расчета показателей вариации используют вспомогательную таблицу.

Таблица 1. Расчет показателей вариации

Интервал	Частота	Расчетные показатели
		Середина интервала

Для характеристики ряда распределения рассчитывают:

• коэффициент асимметрии

;

(19)

• коэффициент эксцесса

,

(20)

где, (21) коэффициент осцилляции отражает относительную меру колеблемости крайних значений признака вокруг средней величины % (22)

Задача

Определить среднюю зарплату одного рабочего, моду и медиану, дисперсию, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Задача

На основании данных таблицы определите среднедневную выработку рабочих, моду, медиану, показатели вариации:

Задача

Рабочие завода «Теплоход» распределены по возрасту следующим образом:

Определите: средний возраст рабочих, моду, медиану, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты вариации, концентрации и ассиметрии.

Задача

По следующим данным определите среднюю величину каждого показателя по трем бригадам вместе:

Задача

Имеются данные о количестве произведенной продукции заводом ежемесячно в 2003г. (млн. руб.):

I – 2,0; II – III – 2,3; IV – VI – 2,4; VII – XII – 2,7.

Определите среднемесячный объем производства продукции за год.

Задача

Имеются следующие данные о запасах материалов на начало месяца (тыс. руб.):

Вычислите среднемесячный запас материалов за полугодие.

Задача

Имеются следующие данные об остатках полуфабрикатов в цехе:

Вычислите среднемесячные остатки полуфабрикатов:

1) за 3-й квартал;

2) за 4-й квартал;

3) за 2-е полугодие.

Задача

Имеются данные о производстве продукции малых предприятий района, млн. руб.;

20,32,45,52,29,28,38,57,70,48,39,33,43,42,48,51,44,65,54,36,64,27,31,34,55,56,45,47,47,49,65,35,45, 48,53,54,58,57,62,63

1. Постройте ряд распределения предприятий по объему производства продукции, образовав пять групп с равными интервалами.

2. По данным ряда распределения определите:

а) структуру предприятий по объему производства продукции;

б) средний объем продукции на одно предприятие;

в) дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

г).коэффициент вариации;

д) структурные средние: моду и медиану.

3. Постройте график ряда распределения и покажите на нем исчисленные средние показатели. Сделайте выводы.

Задача

По следующим данным о кредитных вложениях в экономику России в текущем году (млрд. руб.) определите: средний размер кредитных вложений по всей совокупности и по видам кредитов, показатели вариации и структуры. Сделайте выводы.

Исходные данные: