Векторное произведение двух векторов.

Скалярное произведение двух векторов.

            .   Следствие: .

Геометрическое свойство: .

Алгебраические свойства: 1. ;               

                                                 2. ;

                                                 3. ;

                                                 4. ;  причем     .

Выражение скалярного произведения в декартовых координатах:

Пусть  , . Тогда .

Следствия:       1. 

                          2.

                          3. Пусть  - углы, которые вектор образует с осями координат ОХ, ОУ, ОZ.

                          Тогда , , , и

                            . (  называются направляющими 

                             косинусами).

Векторное произведение двух векторов.

            :                  ;

                                                               - правая тройка;

                                                                  .

Геометрические свойства:    1. .

                                                 2.  есть площадь параллелограмма, построенного на

                                                 приведенных к общему началу векторах .

Алгебраические свойства: 1. ;                   

                                                 2. ;

                                                 3. ;

                                                 4.  для любого .

Выражение векторного произведения в декартовых координатах:

Пусть  , . Тогда .

Следствие:                         .

                                                                            1

3. Смешанное произведение трех векторов.

 умножим векторно на ; полученный вектор  умножим скалярно на . Получившееся

число называется смешанным произведением векторов .

Геометрический смысл: Смешанное произведение векторов  равно объему параллелепипеда,

построенного на приведенных к общему началу векторах , взятому со знаком “+”, если

тройка правая , со знаком “-“, если тройка левая. Если же векторы компланарны, их смешанное

произведение равно нулю.

Следствия: 1.

                      2.  компланарны

                      3. если среди  два вектора коллинеарны, то .

Выражение смешанного произведения в декартовых координатах:

Пусть  , , . Тогда .

Следствие:           компланарны .

.

.

                                                                               2

      Вопросы к коллоквиуму по векторной алгебре и аналитической геометрии.

                   (Учебник: В.А.Ильин, Э.Г.Поздняк “ Аналитическая геометрия “)

1. Скалярное произведение двух векторов (глава 2 параграф 2 пункты 2,3,4).

2. Векторное произведение двух векторов (глава 2 параграф 3 пункты 2,3,5,6).

3. Смешанное произведение трех векторов (глава 2 параграф 3 пункт 4).

4. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости (глава 3 параграф 1).

5. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (глава 5 параграф 1 пункты 1,2,4,5,6).

6. Расстояние от точки до прямой на плоскости.

7. Плоскость в пространстве. Угол между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки (глава 5 параграф 3 пункты 1,3,4).

8. Расстояние от точки до плоскости.

9. Различные способы задания прямой линии в пространстве. Угол между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых (глава 5 параграф 4 пункты 1,2,3,4).

10. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости (глава 5 параграф 4 пункт 6).

11. Эллипс: определение, каноническое уравнение (глава 6 параграф 1 пункт 1).

12. Парабола: определение, каноническое уравнение (глава 6 параграф 1 пункт 3).

13. Гипербола: определение, каноническое уравнение, асимптоты (глава 6 параграф 1 пункт 2,

параграф 2 пункт 2).

                                   АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

                                          Прямая линия на плоскости.

1. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости.

Пусть точка О’(a,b) – начало новой системы

координат O’X’Y’, оси которой повернуты на угол .

Тогда координаты точки в исходной и новой системах

 координат связаны соотношениями

2. Общее уравнение прямой  L: .

Cледствия: а) Пусть L: . Тогда вектор - нормальный вектор прямой

                    (т.е. ).

                б) Пусть L проходит через точку и перпендикулярна вектору .

                     Тогда  L: .

3. Каноническое уравнение прямой.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору . (q называется

направляющим вектором прямой).

                     Тогда  L: .

  Следствие: Пусть L проходит через точки и .

                           Тогда L: .

4.  Параметрические уравнения прямой.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору .

                     Тогда L: .

 5.Прямая с угловым коэффициентом. 

 L: , где , b – смещение.

   Следствие: Пусть L проходит через точку

                       и имеет угловой коэффициент k.

                 Тогда L:  .

6. Угол  между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых .

Пусть  ; .

Тогда один из углов между прямыми совпадет с углом между их нормалями. Следовательно,

            а)       ,

            б)      ,

            в)       .

                                                                                    3

7. Расстояние от точки до прямой L: :

                              .

Следствие: Точки  и лежат по одну сторону от прямой L  (т.е. отрезок

                   не пересекает прямую L)  в том и только в том случае, когда числа

                        и  одного знака.

                                        Плоскость в пространстве.

1. Общее уравнение плоскости .

Cледствия: а) Пусть . Тогда вектор - нормальный вектор

                    плоскости (т.е. ).

                б) Пусть  проходит через точку и перпендикулярна вектору

                    . Тогда : .

2. Угол  между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей .

Пусть  ; .

Тогда один из углов между плоскостями совпадет с углом между их нормалями. Следовательно,

            а)       ,

            б)      ,

             в)       .

3.Уравнение плоскости , проходящей через три различные точки , ,

  , не лежащие на одной прямой:

                               :    .

4. Расстояние от точки до плоскости :

                              .

Следствие: Точки  и лежат по одну сторону от плоскости  (т.е.

                      отрезок  не пересекает плоскость ) в том и только в том случае, когда числа

                        и  одного знака.

                                                                        4

                                             Прямая линия в пространстве.

1. Прямая как пересечение двух плоскостей :

                    L: .

2. Канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору . (q называется

направляющим вектором прямой).

                     Тогда L:    .

  Следствие:  Пусть L проходит через точки и .

                           Тогда L: .

3. Параметрические уравнения прямой.

Пусть L проходит через точку и параллельна вектору .

                     Тогда L: .

4. Угол  между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых .

Пусть   ;   .

Углом между прямыми называется угол между их направляющими векторами. Следовательно,

             а)       ,

            б)      ,

             в)   .

5. Угол  между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и

плоскости .

Пусть L:       ;

        .

Тогда

            а)       ,

            б)      ,

            в)       .

                                                                          5