Перечень ресурсов информационно-коммуникационной сети «Интернет»

Правила выполнения и оформления контрольных работ

1. Контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами синего, черного или фиолетового цвета. Необходимо оставлять поля шириной 4 – 5 см для замечаний рецензента.

2. В заголовке работы на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы, название дисциплины; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату и расписаться. Студент выполняет те задачи, последняя цифра которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 0, в контрольной работе решает задачи 10, 20, 30, 40, 50, 60.

3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании строго по положенному варианту. Контрольные работы, содержащие не все задачи задания, а также задачи не своего варианта, не засчитываются.

4. Решения задач надо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях, сохраняя номера задач. Оформление решения каждой задачи начинается с новой страницы.

5. Перед решением каждой задачи надо полностью выписать ее условие. В том случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи своего варианта, имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.

6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.

7. После получения прорецензированной работы, как зачтенной, так и незачтенной, студент должен исправить все, отмеченные рецензентом, ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента.

Если рецензент предлагает внести в решения задач те или иные исправления или дополнения и прислать их для повторной проверки, то это следует сделать в короткий срок.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

§1. Теоретические сведения и типовое решение задач

Задача 1

    Даны вершины пирамиды ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ).

Найти:

1. Длину ребра .

2. Угол между ребрами  и .

3. Уравнение грани  и её площадь.

4. Уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань .

Например: (3;7;10), (-2;-5;1), (6;5;1), (-4;6;-2).

Решение

Предварительно сделаем рисунок пирамиды:

– зафиксируем трехмерное геометрическое пространство с помощью декартовой прямоугольной системы координат и точками отметим вершины пирамиды по их координатам;

– соединим вершины пирамиды отрезками прямых;

– введем в рассмотрение векторы  выбирая вершину  в качестве их общего начала (рис.1).

Рис.1

1. Длину ребра  находим по формуле длины вектора , как расстояния между точками  и  в декартовой прямоугольной  системе координат

2. Для нахождения угла между ребрами   и   используем формулу скалярного произведения векторов  и , выраженного через координаты перемножаемых сомножителей.

Обозначим .

По определению скалярного произведения:

                           .                                    

Тогда

                                  .                                             

 Скалярное произведение есть сумма произведений одноименных координат перемножаемых векторов:

              .      

Подставляя в  длины векторов  и  и скалярное произведение , получим:

Таким образом:  

Угол   находим по таблице значений  по правилу:

+ ,

– .

Рекомендуется использовать таблицы ″Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М.: Дрофа, 2004″ или калькулятор.

3. Для составления уравнения грани  используем определение понятия "плоскость" и геометрический смысл смешанного произведения трех векторов.

Из школьного курса математики известно, что плоскость однозначно определена, если заданы её три любые точки. Отсюда следует, что плоскость можно определить с помощью двух векторов, расположенных в плоскости и имеющих общее начало.

Векторы  и  имеют общее начало точку , называемую начальной точкой плоскости. Векторы  и  называются направляющими векторами плоскости. Мысленно проведем ещё один вектор  , конец которого точка А является произвольной точкой плоскости. Векторы, располагаемые в одной плоскости, называются компланарными. В соответствии с геометрическим смыслом величина смешанного произведения трех векторов   выражает объем параллелепипеда, построенного на этих векторах как на сторонах. Очевидно, что если векторы располагаются в одной плоскости, то объем равен нулю. Таким образом, приравнивая смешенное произведение нулю, получим условие компланарности трех векторов. Учитывая также, что точка  является произвольной точкой плоскости, это условие рассматривается в качестве уравнения плоскости:

                                = 0                                                                                            

Выражение  определяет плоскость двумя способами:

1) тремя точками , , ,

2) начальной точной  и двумя направляющими векторами  и .

Во втором случае присутствует идея зафиксировать множество точек плоскости посредством системы координат.

Смешанное произведение трех векторов находится через координаты перемножаемых сомножителей с помощью определителя 3-го порядка, каждая строка которого состоит из координат соответствующего вектора, поэтому  примет вид:

                                 .                                 

 Раскроем определитель  по элементам 1-ой строки:

.

 Обозначим:

тогда

.

Пусть , ,

 тогда

                                          .                                                                                    

Уравнение  называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки ,  Коэффициенты  по своему смыслу суть координаты вектора, нормального к плоскости.

Для числовых данных примера имеем:

Уравнение грани  принимает вид:

Любая точка этой грани с координатами   должна удовлетворять уравнению

Для нахождения площади грани   воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения , равного площади параллелограмма, построенного на векторах   и , как на сторонах

Имеем:

Координаты полученного вектора, который по определению векторного произведения  является нормальным к плоскости перемножаемых векторов, совпали с коэффициентами уравнения грани , что подтверждает правильность выполненных расчетов.

Площадь грани  равна:

4. Чтобы найти уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань , предварительно составим уравнения прямой в пространстве.

Прямая линия в пространстве, как и на плоскости, однозначно определена, если известны координаты любой одной точки, принадлежащей прямой, а также задан вектор, параллельный прямой. При этом точка называется начальной точкой, а вектор – направляющим вектором прямой.

В качестве начальной точки рассматривается точка , направляющий вектор представлен вектором .Возьмем на прямой произвольную точку (  и проведем вектор . Поскольку векторы   и  коллинеарны, то                                   

=  ,                                                  

 где – некоторое действительное число (параметр).

 Отсюда

            .                

Уравнения  называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Если вектор  лежит на прямой и задан координатами точек его начала и конца, например, точками  и , то  можно записать в виде уравнений прямой, проходящей через две заданные точки:

Уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань , ищем в виде , где в качестве направляющего вектора возьмем вектор, нормальный к грани . Таким вектором является вектор, равный векторному произведению векторов  и . Его координаты получим, вычисляя векторное произведение через координаты перемножаемых векторов, или непосредственно из выражения уравнения плоскости .

Для данных числового примера уравнения высоты, опущенной из вершины  на грани , имеют вид

                                          .                                          

Определим длину высоты, используя : 

– запишем уравнение высоты в параметрическом виде

– подставим  в уравнение  грани

– из  находим ,

– обозначим точку пересечения высоты с гранью  через , подставим  в уравнения высоты , найдем координаты точки

– определяем длину высоты по формуле :

Ответ:

1. Длина ребра

2. Угол между ребрами  и

3. Уравнение грани : ; площадь грани :

4. Уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань :                                                                                                                                                                                               .

Задача 2

Составить уравнение множества точек, для каждой из которых выполняется следующее условие:

1. Сумма квадратов расстояний до точек и  равна 20.

2. Сумма квадратов расстояний до точек  и  равна 28.

3. Сумма квадратов расстояний до точек , ,  и  равна 58.

4. Квадрат расстояния до точки  на 3 больше квадрата расстояния до оси абсцисс.

5. Сумма расстояний до точек  и  равна 10.

6. Квадрат расстояния до точки  на 16 больше квадрата расстояния до оси ординат.

7. Сумма квадратов расстояний до сторон прямоугольника, образованного прямыми , , , , равна 20.

8. Расстояние до точки  равно расстоянию до оси абсцисс.

9. Разность расстояний до точек  и  равна 8.

10. Расстояние до точки  равно расстоянию до оси ординат.

Решение

    Линии на плоскости, определяемые алгебраическими уравнениями второй степени относительно координат их точек вида

        ,                                

называются кривыми линиями второго порядка, а уравнения – общими уравнениями этих линий. Коэффициенты – действительные числа.

В задаче 2 изучаются кривые линии второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Каждая линия образуется в соответствии с её определяющим свойством. Логика вывода уравнения линии строится на основе этого свойства.

Окружность: множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от точки плоскости, называемой центром окружности (рис.2).

Рис.2

Основное свойство окружности:

                                             r.                                                           

Уравнение окружности:

                                         ,                                                    

где r – радиус.

Если центр окружности  перемещается в положение точки  и располагается в первом квадранте, то уравнение окружности  примет вид:

                              .                                         

В   координата центра окружности, как по оси абсцисс, так и по оси ординат, входит с противоположным знаком. Если, например, в уравнении  имеем  и , то центр окружности находится в точке

Задание уравнения  позволяет по его виду установить координаты центра окружности и, зная радиус, построить окружность.

 Эллипс: множество точек плоскости, каждая из которых удалена от двух точек плоскости, называемых фокусами эллипса, на равную сумму расстояний (рис.3).

Рис.3

На рис.3:

– длины большой и малой полуосей,

 – фокусы эллипса, с – расстояние от центра до фокуса,

r , r  – фокальные радиусы точки ,

, , ,  – вершины.

Основное свойство эллипса:

                                            .                                                                             

Уравнение эллипса: 

Имеет место соотношение:

Если центр эллипса  перемещается в положение , то уравнение  принимает вид:

                                  .                                                                                                        

Гипербола: множество точек плоскости, каждая из которых удалена от двух точек плоскости, называемых фокусами гиперболы, на равную по абсолютной величине разность расстояний (рис.4).

Рис.4

На рис.4:

 – длина действительной полуоси, 

 – длина мнимой полуоси,

, – фокусы гиперболы,

– расстояние от центра до фокуса;

 – фокальные радиусы точки  

 – действительные вершины,

 – мнимые вершины,

 – асимптоты.

Основное свойство гиперболы:

                                     .                                                

Уравнение гиперболы:

Имеет место соотношение: .

При перемещении центра гиперболы  в положение точки  уравнение  принимает вид:

 Парабола: множество точек плоскости, каждая из которых удалена от точки плоскости, называемой фокусом параболы, на расстояние, равное расстоянию удаления от прямой, называемой директрисой параболы (рис.5).

Рис.5

На рис.5:

– вершина параболы,

 – фокус,

 – уравнение директрисы,

Основное свойство параболы:

                                                .                                              

Уравнение параболы:

                                                  ,                                                     

где , – параметр параболы.

Если вершину параболы переместить в точку , то уравнение  принимает вид:

                                           .                                         

Поменяв переменные  и  местами, получим уравнение:

                                 или                                    

с осью   в качестве оси симметрии.

Уравнения , , , , , , ,   называются каноническими, т.е. простейшими. Вид уравнений содержит всю необходимую информацию для построения кривой линии.

Уравнение  при =0

называется общим уравнением окружности, эллипса, гиперболы, параболы.

Утверждение: уравнение   определяет окружность при , эллипс при , гиперболу при , параболу при .

Перейдем от уравнения  к каноническому виду уравнений окружности , эллипса , гиперболы , параболы .

Преобразование  к виду уравнения окружности

Пусть . Из  получим:

                                .

Здесь: координаты центра окружности ,                  

Радиус окружности .                                                 

 Пример 1. Составить уравнение множества точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до точек  равна

Решение

1. Обозначим произвольную точку искомого множества точек через  и запишем её заданное свойство

                                          .

Или  .

2. Приведем это выражение к виду :

                                   .                                      

Уравнение  соответствует виду  при Следовательно,  является общим уравнением окружности, представляющим заданное множество точек,

3. По формулам  и  находим координаты центра окружности и радиус:

,

,

             .

4. По выражению  составим каноническое уравнение окружности, представляющее заданное множество точек:

                                 .                                              

Выражение  можно получить также непосредственным преобразованием  в соответствии с порядком вывода уравнения .

                Преобразование  к виду уравнения эллипса

Пусть  ,

Получим ,

               ,

                                 .                                

Здесь: координаты центра эллипса

большая полуось ,                                                  

малая полуось .                                                       

Пример 2. Составить уравнение множества точек для каждой из которых сумма расстояний до точек   равна 5.

Решение

1. Пусть – произвольная точка заданного множества точек. Запишем её заданное свойство

                                             .

Или             .

2. Приведем это выражение к виду :

                    .                                             

Уравнение  соответствует виду  при , .

Следовательно,  является общим уравнением эллипса, представляющим заданное множество точек,  

3. По формулам , ,    находим координаты центра эллипса, большую и малую полуоси.

        ,

       .

4. По выражению  составим каноническое уравнение эллипса

Уравнение  можно получить также преобразованием выражения  в соответствии с порядком вывода уравнения .

                Преобразование  к виду уравнения гиперболы

Порядок вывода уравнения гиперболы  и его вид не отличаются от порядка вывода и вида уравнения эллипса  с учетом замечания: поскольку для эллипса имеет место , а для гиперболы , то уравнение  в форме  отличается от уравнения гиперболы в форме  знаком в левой части перед вторым слагаемым (см.  и  ).

Уравнение  используется в качестве уравнения гиперболы, при этом необходимо иметь ввиду, что

координаты центра гиперболы

действительная полуось

                                       ,                                     

мнимая полуось

                                      ,                                       

где , .

Пример 3. Составить уравнение множества точек, для каждой из которых разность расстояний до точек  и  равна 8.

Решение

1. Пусть – произвольная точка заданного множества точек. По условию имеем

                                    .

Или       .                                   

2. Приведем это выражение к виду , получим

                            ,

   В уравнении , , что соответствует условию описания гиперболы и представления таким образом заданного множества точек.

3. По формулам , ,  находим координаты центра гиперболы, действительную и мнимую полуоси

            ,

            ,

                                                                                                         .

4. По выражению  составим каноническое уравнение гиперболы

                                          .                                        

Уравнение  можно получить также преобразованием выражения

 в соответствии с порядком вывода уравнения .

Преобразование  к виду уравнения параболы ,

Имеем

                                     .

1. Пусть , .

 Тогда  принимает вид

                                          ,        

,