Неравенство Клаузиуса-Дюгема.

Лемма Фурье

(10)

Из (2) и (3) следует Фундаментальная теорема Фурье-Стокса:

Если - непрерывная функция по , удовлетворяющая (10), то существует такое векторное поле теплового потока , что

(11)

Минус перед вектором берется для того, чтобы подчеркнуть, что мы описываем именно приток тепла – то есть вектор направлен навстречу вектору внешней нормали .

Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского мы можем выразить скорость подвода тепла в виде единого интеграла по объему

(12)

Первый закон термодинамики

Скорость изменения полной энергии системы равна сумме мощности работы внешних сил и скорости притока тепла извне

(13)

Полная энергия системы представляется в виде суммы кинетической энергии и внутренней энергии.

, ,

(14)

Из(14)получаем с учетом уравнения неразрывности

(15)

Из (5), (12), (13) и (15) получаем уравнение энергии

(16)

В силу произвольности объема получаем дифференциальное уравнение энергии для точки среды

(17)

Но с учетом уравнения движения, слагаемые при сомножителе – компоненте скорости сокращаются

(18)

Мы получили уравнение притока тепла (уравнение баланса энергии) в простом виде для точки среды:

(19)

Для некоторого объема среды мы получим его , проинтегрировав (19) по объему

(20)

где  - мощность работы внутренних поверхностных сил.

Второй закон термодинамики

Один из видов формулировка второго закона термодинамики состоит из четырех утверждений для новой функции состояния системы , называемой энтропией:

, при этом

(21)

если процесс обратимый

- приток энтропии извне определяется либо притоком массы, либо притоком тепла.

, если нет притока массы к системе и во всех ее точках температура одинакова.

(22)

То есть на основании равенств (21)и (22) и неравенства из (21) мы имеем важное неравенство

(23)

Выражая скорость притока тепла из (19) в виде , получаем из (23)

Неравенство Клаузиуса-Дюгема.

(24)

Или, переходя к подынтегральным выражениям, вводя плотность энтропии как

(25)

Итак, на данный момент мы имеем следующие уравнения, которые выполняются для любой сплошной среды, некоего термомеханического континуума.

уравнение неразрывности	(26)
уравнение движения	(27)
уравнение притока тепла (ур-е энергии)	(28)
неравенство Клаузиуса-Дюгема	(29)

Мы имеем пять независимых уравнений, одно неравенство и… шестнадцать неизвестных!

Плотность, три компоненты вектора скорости, шесть компонент тензора напряжений, три компоненты вектора потока тепла, плотность внутренней энергии, температура и плотность энтропии.

Где взять ещеодиннадцать уравнений?

Шесть дают определяющие соотношения, связывающие в единую энергетическую пару некий тензор деформации и соответствующий ему тензор напряжений , так, что плотность мощности работы внутренних сил представима в виде свертки одного тензора на полную производную по времени от второго . При условии введения параметров состояния для плотности внутренней энергии в виде пары – энтропия и тензор деформаций, мы получаем следующее определяющее соотношение

(30)

Одно уравнение дает связь плотности энтропии, внутренней энергии и температуры

(31)

Вводя температуру как еще одну степень свободы наравне с деформацией, мы можем, согласно закону Фурье для изотропного тела, выразить вектор потока тепла через температуру:

, где - коэффициент теплопроводности.

(32)

Это еще три уравнения. И последнее уравнение постулируется в виде калорического уравнения