Выбор метода расчета коэффициентов БИХ-фильтров

При использовании метода инвариантного преобразования импульсной характеристики после оцифровки аналогового фильтра импульсная характеристика исходного аналогового фильтра сохраняется, а амплитудно-частотная характеристика – нет. Вследствие присущего методу наложения он не подходит для разработки фильтров верхних частот или режекторных фильтров. Метод билинейного z–преобразования, с другой стороны, дает весьма эффективные фильтры и прекрасно подходит для расчета коэф­фициентов частотно-избирательных фильтров. Он позволяет разрабатывать цифровые фильтры с такими широко известными классическими характеристиками, как Баттерворта, Чебышева и эллиптические. Цифровые фильтры, полученные с помощью метода билинейного z–преобразования, будут, в общем случае, сохранять специфические особенности амплитудной характеристики аналогового фильтра (например, граничные частоты, неравномерность в полосе пропускания и затухание в полосе подавления), но не свойства, связанные с временной областью. Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики хорош для моделирования аналоговых систем с характеристиками фильтров нижних частот, но для частотно-избирательных БИХ–фильтр наилучшим является билинейный метод. Согласованное z–преобразование порождает большинство проблем, присущих методу инвариантного преобразования импульсной характеристики. Если поставленная задача проста, то простым и эффективным методом расчета коэффициентов является метод размещения нулей и полюсов.

Эффект Найквиста

Три метода преобразования аналоговых фильтров в эквивалентные фильтры дискретного времени (а именно, согласованное z–преобразование, метод инвариантного преобразования импульсной характеристики и билинейное z–преобразование) могут в некоторых случаях значительно влиять на характеристики фильтра (например, амплитудную характеристику, фазовую и групповую задержки и т.д.). Как отмечалось ранее, доступная полоса частот аналогового фильтра простирается от нуля до бесконечности, тогда как для цифрового фильтра – от нуля до частоты Найквиста (половина частоты дискретизации). Следовательно, амплитудно-частотная характеристика цифровых фильтров, разработанных с помощью любого из названных методов, может значительно отличаться от характеристики аналогового фильтра, поскольку теперь аналоговая полоса частот (от нуля до бесконечности) сжата до узкой полосы (от нуля до частоты Найквиста). Данное отличие характеристик представляет искажение, которое иногда называют эффектом Найквиста.

Во многих приложениях эффект Найквиста не вреден, просто он вызывает определенное дополнительное искажение. Впрочем, если в некоторой ситуации следует сохранить характеристику аналогового фильтра, например, при профессиональной или полупрофессиональной работе с аудио, данный эффект все же представляет нежелательное искажение. В таких случаях при выборе метода преобразования аналогового фильтра в эквивалентный фильтр дискретного времени может учитываться степень искажения. При выборе метода также следует учитывать влияние метода на такие характеристики фильтра, как групповая задержка и импульсная характеристика. Далее кратко рассматриваются последствия эффекта Найквиста.

Пример 4. Требуется фильтр нижних частот дискретного времени с характеристикой Баттерворта согласно следующей спецификации:

частота среза                    300 Гц,

порядок фильтра                       5,

частота дискретизации   1000 Гц.

С помощью MATLAB получите и изобразите следующие характеристики:

a. амплитудно-частотную характеристику и характеристику групповой задержки (используйте метод инвариантного преобразования импульсной характеристики);

b. амплитудно-частотную характеристику и характеристику групповой задержки (используйте метод билинейного z–преобразования).

Сравните два метода с позиции искажения амплитудной характеристики вследствие эффекта Найквиста

Решение

1, а. Начнем с разработки аналогового фильтра, который будет служить эталоном. Расчет аналогового фильтра производится с помощью программы:

FN=1000/2; fc=300;         % частота среза

N=5;                       % порядок фильтра

[z, p, k]=buttap(N);       % создание аналогового фильтра

w=linspace(0, FN/fc, 1000); % вывод характеристики фильтра

h=freqs(k*poly(z), poly(p), w);

f=fc*w;

plot(f, 20*log10(abs(h))), grid

ylabel('Амплитудная характеристика (дБ)')

xlabel('Частота (Гц)')

Полученная амплитудно–частотная характеристика показана на рис. 5. Амплитудно–частотная характеристика и характеристика групповой задержки эквивалентного дискретного фильтра показаны на рис. 6. а и б. Для расчета этого фильтра использовалась программа:

Fs=1000;                   % частота дискретизации

fc=300;                    % частота среза

WC=2*pi*fc;                % частота среза в радианах

N=5;                       % порядок фильтра

[b,a]=butter(N,WC,'s');    % создание аналогового фильтра

[z, p, k]=butter(N, WC, 's');      

[bz, az]=impinvar(b,a,Fs); % определение коэффициентов БИХ-фильтра

[h, f]=freqz(bz, az, 512,Fs);

plot(f, 20*log10(abs(h))), grid

xlabel('Frequency (Hz)')

ylabel('Magnitude (dB)')

Для получения характеристики групповой задержки использовалась команда grpdelay из MATLAB Signal Processing Toolbox.

Рис. 5. Амплитудная характеристика аналогового фильтра

а)                                                                                      б)

Рис.6. Инвариантное преобразование импульсной характеристики. Амплитудно-частотная характеристика фильтра (панель а); групповая задержка фильтра (панель б)

1.б. Амплитудно–частотная характеристика и групповая задержка эквивалентного дискретного фильтра, разработанного с помощью метода билинейного z-преобразования, показаны на рис. 7, а и б. Для расчета этого фильтра использовалась программа:

Fs=1000;               % частота дискретизации

FN=Fs/2;

fc=300;                % частота среза

N=5;                               

[z, p, k]=butter(N, fc/FN);    

[h, f]=freqz(k*poly(z), poly(p), 512, Fs);

plot(f, 20*log10(abs(h))), grid

ylabel('Magnitude (dB)')

xlabel('Frequency (Hz)')

Рис.7. Метод билинейного z–преобразования. Амплитудно–частотная характеристика фильтра (панель а); групповая задержка фильтра (панель б)

2. Если сравнить амплитудно–частотные характеристики фильтра, полученного методом инвариантного преобразования импульсной характеристики, и фильтра, полученного с помощью билинейного z–преобразования, очевидно, что первый фильтр дает меньшее, а второй – большее затухание возле частоты Найквиста. Например, на частоте 500 Гц фильтр, полученный методом инвариантного преобразования импульсной характеристики, дает затухание порядка 17 дБ, тогда как фильтр, полученный методом билинейного z–преобразования, имеет затухание более 200 дБ.

Анализ фильтра, полученного с помощью билинейного z–преобразования, показывает, что передаточная функция имеет пять нулей на частоте Найквиста, которые отвечают за быстрый спад амплитудной характеристики. Такая ситуация характерна для дискретных фильтров, полученных с помощью билинейного z–преобразования, и это является причиной, по которой данные цифровые фильтры дают большее затухание, чем исходные аналоговые фильтры. Дискретный фильтр, полученный методом инвариантного преобразования импульсной характеристики, наоборот, имеет нуль в начале координат и нуль вне единичной окружности. Получившееся искажение представляет отличие амплитудных характеристик двух дискретных и аналогового фильтров.

Во многих случаях искажения амплитудной характеристики фильтров, полученных методом согласованного z–преобразования или инвариантного преобразования импульсной характеристики, и фильтров, полученных методом билинейного z–преобразования, противоположны по знаку. Первая группа фильтров дает меньшее затухание, чем вторая. При низких и средних частотах (относительно частоты Найквиста) амплитудные характеристики фильтров нижних частот и верхних частот, разработанных с помощью согласованного z–преобразования и метода инвариантного преобразования импульсной характеристики, разумно близки к характеристикам исходных аналоговых фильтров, но искажаются возле частоты Найквиста. То же справедливо и для фильтров, разработанных с помощью билинейного z-преобразования, только искажение характеристики ближе к частоте Найквиста происходит в противоположном смысле. Для простого и эффективного подавления искажения характеристики фильтров нижних и верхних частот можно объединить билинейное z–преобразование с согласованным z–преобразованием либо методом инвариантного преобразования импульсной характеристики, усреднив их коэффициенты. При таком подходе фильтр нижних частот или полосовой фильтр вначале разрабатывается отдельно с помощью билинейного z–преобразования и согласованного z–преобразования. Затем коэффициенты этих двух фильтров объединяются для получения коэффициентов нового фильтра.