Исходные данные для выполнения лабораторной работы

Лабораторная работа № 10. Цифровые системы управления.

Время выполнения работы: 4 часа

Исследование характеристик аналоговых и дискретных фильтров

Содержание:

1. Цель работы

2. Постановка задачи

3. Домашнее задание

4. Порядок выполнения работы

5. Содержание отчета

6. Контрольные вопросы

7. Исходные данные для выполнения лабораторной работы

Цель работы

Целью работы является:

- изучение частотных характеристик аналоговых и дискретных фильтров;

- аналитические исследования аналоговых и дискретных фильтров в пакетах Control System Toolbox;

- «экспериментальные» исследования аналоговых и дискретных фильтров в пакете Simulink.

Постановка задачи

Фильтр - это устройство или программа, которая обеспечивает частотно зависимые преобразования входного сигнала. Для фильтра низких частот устройства или программы должны обеспечивать отсутствие амплитудных искажений входного сигнала в области частот от 0 до некоторой заданной  и эффективное подавление частот, которые превышают граничную частоту .

Аналоговый фильтр может быть представлен непрерывной передаточной функцией:

где, ,  - изображение по Лапласу выходного и входного сигналов фильтра, соответственно; ,  - полинома числителя и знаменателя передаточной функции.

В качестве основных характеристик фильтра обычно принимают характеристику затухания , которая является величиной, обратной модуля частотной передаточной функции, и измеряется в децибелах

,

фазовую характеристику

и характеристику групповой задержки  

.

Функцию

называют функцией затухания.

Идеальный фильтр низких частот (ФНЧ) пропускает только низкочастотные составляющие. Его характеристика затухания имеет вид, приведенный на рис.1.

Рис.1 Частотные характеристики затухания идеального ФНЧ

Диапазон частот от 0 до  называется полосой пропускания, остальной частотный диапазон – полосой задержания. Граница между этими полосами  называется частотой среза. В реальных фильтрах переход от частоты пропускания к частоте задерживания происходит плавно (рис.2).

Рис.2 Частотные характеристики затухания реального ФНЧ

На рис.2 показаны контрольные точки ФНЧ, которые используются при его проектировании:

– граничная частота пропускания;

– граничная частота задержки;

– максимально допустимое подавление сигнала в полосе пропускания, дБ;

– минимально допустимое подавление сигнала в полосе задерживания, дБ.

Командой MatLab buttord определяетcя порядок n и частоту среза  аналогового фильтра Баттерворта по исходными данными этой команды, заданной частотой пропускания и задерживаня  и максимальным допустимым подавленим сигналов в полосе пропускания и задерживания . Причем, если команда buttord имеет параметр s

,

то  должны быть заданы в радианах в секунду, значения частоты  также будет получено в радианах за секунду, а  будет определять степень характеристического управления.

Если команда buttord записана без параметра s

,

то частоты  и  задаются в относительных единицах , изменяющихся от 0 до 1 (где 1 соответствует частоте ), определяемой выражением:

где,  - период дискретности.

Если определяется дискретный фильтр, соответствующий данному аналоговому фильтру, то  определяет частоту, при которой наблюдаются максимальное различие между амплитудными значениями аналогового и дискретного фильтрами и по этому расхождению можно оценить правильность выбора . В то же время целесообразно помнить, что  - это частота, выше которой частотными характеристиками аналогового сигнала можно пренебречь.

В пакете MatLab Control System Toolbox аналоговые и цифровые фильтры могут быть представлены:

- в виде уравнений пространства состояний – форма ss;

- через передаточные функции – форма tf;

- через нули и полюса – форма zpk.

Переход от непрерывного представления уравнений к их дискретному представлению определяется командой c2d, а переход к непрерывному представлению, если задан его дискренный аналог, определяется командой d2c.

Приведенные выше теоретические положения рассмотрены на конкретных примерах в Программе 1.

% Программа 1 (aa_anFilv_01.m)

Wr=1; %Граничная частота пропускания.

Ws=10; %Граничная частота задержки.

Rp=6; %Максимально допустимое подавление в полосе пропускания (дБ).

Rs=20; %Минимально допустимое подавление в полосе задерживания (дБ)  

[n,Wn]=buttord(Wr,Ws,Rp,Rs,'s') %Определение параметров

                            %аналогового фильтра Баттерворта.

[z,p,k]=buttap(n); %Определение нулей и полюсов фильтра Баттерворта.

[b,a]=zp2tf(z,p,k) %Определение коэффициентов фильтра Баттерворта.

h=tf([b],[a]) %Определение передаточной функции

              %аналогового фильтра Баттерворта.

%Проектирование фильтра Баттерворта с более жесткими требованиями: в полосе пропускания уменьшено максимально допустимое подавление

Wr=1;

Ws=10;

Rp=2;

Rs=20;

[n2,Wn2]=buttord(Wr,Ws,Rp,Rs,'s')

[z,p,k]=buttap(n2);

[b2,a2]=zp2tf(z,p,k)

h2=tf([b2],[a2]) %Определение передаточной функции аналогового

               %фильтра Баттерворта.

%Проектирование фильтра Баттерворта с более жесткими требованиями: в полосе задерживания увеличено максимально допустимое подавление

Wr=1;

Ws=10;

Rp=2;

Rs=52;

[n3,Wn2]=buttord(Wr,Ws,Rp,Rs,'s')

[z,p,k]=buttap(n3);

[b3,a3]=zp2tf(z,p,k)

h3=tf([b3],[a3]) %Определение передаточной функции аналогового

                %фильтра Баттерворта.

figure(1)       %Построение ЛЧХ для трех фильтров Баттерворта.

Bode(h,h2,h3),grid on

%Проектирование дискретных фильтров Баттерворта при t=0,2.

t=0.2;  %Интервал дискретности.

hd=c2d(h,t) %Передаточная функция дискретного Фильтра,

        %соответствующая аналоговому фильтру h.

h2d=c2d(h2,t)%Передаточная функция дискретного Фильтра,

           %соответствующая аналоговому фильтру h2.

h3d=c2d(h3,t)%Передаточная функция дискретного Фильтра,

        %соответствующая аналоговому фильтру h3.

figure(2) %ЛАЧ и ЛФЧ характеристики фильтров h и hd.

Bode(h,hd),grid on

figure(3) %ЛАЧ и ЛФЧ характеристики фильтров h2 и h2d.

Bode(h2,h2d),grid on

figure(4) %ЛАЧ и ЛФЧ характеристики фильтров h3 и h3d.

Bode(h3,h3d),grid on

%Проектирование дискретных фильтров Баттерворта при t=0,05.

t=0.05;        %Интервал дискретности.

hd=c2d(h,t)    %Определение параметров дискретных фильтров

h2d=c2d(h2,t)  %для спроектированных непрерывных фильтров

h3d=c2d(h3,t)  %при новых интервалах дискретности.

figure(5)      %Построение ЛАЧ и ЛФЧ характеристик

bode(h,hd),grid on %аналоговых и дискретных (при измененном

figure(6)      %интервале дискретности)фильтров.

Bode(h2,h2d),grid on

Figure(7)

Bode(h3,h3d),grid on

В этой программе последовательно исследуется три фильтра Баттерворта, имеющие одинаковые частоты пропускания  и задерживания , но разные величины допустимого подавления сигнала в полосе пропускания  и полосе задерживания . Параметры , , ,  определяют частоту среза  и порядок фильтров Баттерворта . Причем, чем ближе частотные характеристики реального фильтра приближаются к частотным характеристикам идеального фильтра, тем больше величина . Таким образом, порядок фильтра будет увеличиваться при увеличении протяженности горизонтального участка в полосе пропускания (уменьшением ), при увеличении требования к подавлению сигнала в полосе задерживания (увеличению ) или при уменьшении частотного диапазона между  и . Связь между параметрами , ,  и  (требования к фильтру) и порядком фильтра иллюстрируется примерами Программы 1.

В первом варианте допустимого уменьшения амплитуды в конце полосы пропускания в два раза, что определяет величину

Во втором варианте ФНЧ в полосе пропускания имеет более плоскую характеристику и допустимое уменьшение амплитуды на частоте среза составляет 20%

В третьем варианте проектируемого фильтра повышены требования к подавлению сигнала в полосе задержки (сигнал уменьшается в 400 раз)

.

С повышением фильтрующих свойств увеличивается порядок фильтра, что иллюстрируется на рис.1.

Рис.1. ЛАЧХ фильтров Баттерворта (1 – фильтр первого порядка (-20 дБ/дек); 2 – второго порядка (-40 дБ/дек); 3 – третьего порядка (-60 дБ/дек))

Во второй части Программы 1 командой определяются –передаточные функции фильтров для фильтров первого, втолрого и третьего порядков при разных интервалах дискретности. Для имеем три передаточные функции

                             ,                                                            (1)

                             ,                                             (2)

                             ,                        (3)

Z–передаточные функции для  представлены ниже

                          ,                                                               (4)

                          ,                                          (5)

                                              (6)

В Программе 1 имется команда bode для построения логарифимических характеристик непрерывных и дискретных систем (рис.2). Результаты выыполнения этой команды представлены на рис.2.

Рис.2. Логарифмические характеристики непрерывного и дискретного ФНЧ первого порядка для  (1 – непрерывный фильтр; 2 – дискретный фильтр)

Из-за периодичности частотные характеристики дискретного фильтра рассчитываются от нуля до частоты  (рис.2). Из рис.2 следует, что между амплитудными и фазовыми характеристиками непрерывного и дискретного фильтров на частоте  наблюдаются значительные различия: для амплитудных характеристик различия достигают 6 дБ, для фазовых – 90^о. В некоторых случаях величины указанных различий недопустимы. К полученным результатам следует относиться с осторожностью еще и потому, что различие между ЛАЧХ непрерывного и дискретного фильтра проявляется при недостаточном ослаблении выходного сигнала, которое составляет (-20) дБ. Рекомендуемые ослабления выходного сигнала, при котором переход к дискретному представлении практически не вносит ошибки, составляет -(30-60) дБ. Уменьшение  позволит приблизить характеристики дискретного фильтра к аналоговому в области высоких частот.

На рис.3 и рис.4 приведены графики непрерывных и дискретных ФНЧ при увеличении требований к частотным характеристикам фильтров (уменьшились искажения в полосе прпускания и увеличилосьподавление частот в полосе задерживания). Результаты Программы 1 показывают, что увеличился порядок фильтра и при этом:

- частота  не изменилась;

- уменьшилась амплитудная ошибка на частоте ;

- уменьшилась фазовая ошибка.

Причем, уменьшение амплитудных и фазовых ошибок наблюдается при значительных ослаблениях выходного сигнала –(50-70) дБ.

Рис.3. Логарифмические характеристики непрерывного и дискретного ФНЧ второго порядка для  (1 – непрерывный фильтр; 2 – дискретный фильтр)

Рис.4. Логарифмические характеристики непрерывного и дискретного ФНЧ третьего порядка для  (1 – непрерывный фильтр; 2 – дискретный фильтр)

На рисунках 5 6 и 7 приведены графики непрерывных и дискретных систем ФНЧ при .

Рис.5. Логарифмические характеристики непрерывного и дискретного ФНЧ первого порядка для  (1 – непрерывный фильтр; 2 – дискретный фильтр)

Рис.6. Логарифмические характеристики непрерывного и дискретного ФНЧ второго порядка для  (1 – непрерывный фильтр; 2 – дискретный фильтр)

Рис.7. Логарифмические характеристики непрерывного и дискретного ФНЧ третьего порядка для  (1 – непрерывный фильтр; 2 – дискретный фильтр)

Анализ графиков показывает, что уменьшение  приводит к увеличению границы частотного диапазона  и приближению частотных характеристик дискретных фильтров к частотным характеристикам аналоговых фильтров. Причем, наблюдаеме отличия частотных характеристик происходит при значительных ослаблениях выходного сигнала (-35-110) дБ.

По полиномам числителя и знаменателя передаточной функции ФНЧ команда lp2lpопределяет передаточные функции ФНЧ с новыми частотами среза:

[b1,a1]=lp2lp(b,a,W₀)

где, b, а– коэффициенты исходного фильтра низких частот;

W₀ – желаемая частота среза проектируемого фильтра;

b1, a1– коэффициенты спроектированного фильтра с новыми частотами среза.

В Программе 2 приведены примеры определения передаточных функций ФНЧ (фильтра Баттерворта) для трех частот среза. Командой buttap определяют нули, пояса и коеффициент усиления фильтра Баттерворта заданного порядка n. Команда zp2tf преобразует математическую модель ФНЧ: от информации заданной нулями, полосами и коэффициентом усиления, к информации представленной передаточными функциями.

%Программа 2

wr=0.1;   %Частота пропускания в относительных единицах.

ws=0.6;   %Частота задерживания в относительных единицах.

rp=6;     %Допустимое подавление в полосе пропускания.

rs=40;    %Допустимое подавление в полосе задерживания.

[n1,wc1]=buttord(wr,ws,rp,rs) %Определение параметров фильтра    

                           %Баттерворта.

[z1,p1,k1]=buttap(n1); %Определение фильтра Баттерворта в форме ZPK

[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k1)%Определение полинома числителя и знаменателя

                  %фильтра Баттерворта.

h1=tf([b1],[a1])  %Определение фильтра Баттерворта в форме TF.

w1=10;       %Частота среза проектируемого фильтра Баттерворта.

[b10,a10]=lp2lp(b1,a1,w1)Параметры фильтра Баттерворта на частоте w1.

w2=100;  %Частота среза проектируемого фильтра Баттерворта.

[b100,a100]=lp2lp(b1,a1,w2) %Параметры фильтра Баттерворта

                         %с частотой среза w2.

q1=tf([b10],[a10]) %Передаточная функция фильтра Баттерворта   

                  %с частотой среза w1

q2=tf([b100],[a100]) %Передаточная функция фильтра Баттерворта

                  %с частотой среза w2.

figure(1) %Логарифмические характеристики проектируемых фильтров

bode(h1,'g',q1,'k',q2,'r'),grid on %при разных частотах среза

                               %(w=1;w=10;w=100).

Результаты выполнения Программы 2 приведены на рис.8.

Рис.8. Логарифмические характеристики непрерывного ФНЧ второго порядка для разных частот среза (1 - частота среза 1 р/с.; 2 - частота среза 10 р/с; 3 - частота среза 100 р/с.)

По передаточным функциям, определённым в программе 2, на рис.9 в пакете Simulik представлены структурные схемы непрерывных и дискретных фильтров нижних частот.

Рис.9. Структурные схемы ФНЧ (А, C, E – непрерывная передаточная функция в форме tf фильтров I, II, III порядков соответственно; B, D, F - реализация их Z-передаточной функции на регистрах сдвига)

Домашнее задание

1. По заданным (табл.1) параметрам проектируемого ФНЧ ( – граничная частота пропускания,  – граничная частота задерживания,  – значение максимально допустимого подавления сигнала в полосе пропускания,  – значение максимально допустимого подавления сигнала в полосе задерживания) определить его передаточную функцию.

2. Определить передаточную функцию ФНЧ, изменяя исходные данные так, чтобы частоты пропускания и задерживания оставались неизменными, а максимально допустимое подавление в полосе пропускания уменьшалось в 3 раза.

3. Определить передаточную функцию ФНЧ, изменяя исходные данные так, чтобы частоты пропускания и задерживания оставались неизменными, а максимально допустимое подавление в полосе задерживания увеличивалось в 3 раза.

4. Для заданного интервала дискретности  (табл.1) определить граничную частоту.

5. Пересчитать частоты пропускания и задерживания ФНЧ заданного в табл.1, в относительные единицы и определить передаточную функцию фильтра Баттерворта.

6. Определить параметры фильтра Баттерворта при увеличенных в 10 и 100 раз частотах среза.

7. Для одного из спроектированных аналоговых фильтров Баттерворта передаточную функцию дискретного фильтра.

8. Уменьшить интервал дискретности в 4 раза и при новых параметрах определить передаточную функцию дискретного фильтра.

Порядок выполнения работы

Лабораторная работа выполнятся на персональной ЭВМ с использованием пакета MatLab. Порядок выполнения следующий:

1. По заданным параметрам (табл.1) составить программу расчета аналоговых фильтров Баттерворта.

2. Выполнить программу и построить логарифмические характеристики аналоговых фильтров.

3. По заданным параметрам (табл.1) составить программу расчета дискретных фильтров Баттерворта.

4. Выполнить программу и построить логарифмические характеристики дискретных фильтров.

5. По передаточным функциям аналоговых и дискретных фильтров в пакете Simulink сотавить структурные схемы.

4. В пакете Simulink промоделировать структурные схемы аналоговых и дискретных фильтров.

Содержание отчета

1. Цель лабораторной работы.

2. Краткая характеристика фильтра.

3. Методика расчёта непрерывных фильтров Баттерворта по заданным техническим требованиям.

4. Методика расчёта дискретных фильтров Баттерворта по заданным техническим требованиям.

5. Структурные схемы, реализующие дискретные фильтры по передаточным функциям и на блоках задержки.

6. Анализ результатов расчета и моделирования аналоговых и дискретных фильтров.

7. Выводы.

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеют логарифмические характеристики фильтров низких частот?

2. Какой вид имеют логарифмические характеристики фильтров высоких частот?

3. Укажите на графиках точку, определяющую граничную частоту пропускания, и обоснуйте методику ее определения.

4. Укажите на графиках точку, определяющую граничную частоту задерживания, и обоснуйте методику ее определения.

5. Во сколько раз амплитуда выходного сигнала будет меньше амплитуды входного сигнала, если величина подавления составляет 6 дБ?

6. Во сколько раз амплитуда выходного сигнала будет меньше амплитуды входного сигнала, если величина подавления составляет 2 дБ?

7. Укажите расположение корней характеристического уравнения фильтра Баттерворта для n=1,2,3,4,5 (n – степень характеристического уравнения).

8. В какую сторону и почему будет изменяться степень характеристического уравнения фильтра Баттерворта, если интервал между граничной частотой пропускания и задерживания будет уменьшаться?

9. В какую сторону и почему будет изменяться степень характеристического уравнения фильтра Баттерворта, если интервал между граничной частотой пропускания и задерживания будет увеличиваться?

10. В какую сторону и почему будет изменяться степень характеристического уравнения фильтра Баттерворта, если максимально допустимое подавление в полосе частот пропускания будет уменьшаться?

11. В какую сторону и почему будет изменяться степень характеристического уравнения фильтра Баттерворта, если максимально допустимое подавление в полосе частот пропускания будет увеличиваться?

12. В какую сторону и почему будет изменяться степень характеристического уравнения фильтра Баттерворта, если максимально допустимое подавление в полосе частот подавления будет уменьшаться?

13. В какую сторону и почему будет изменяться степень характеристического уравнения фильтра Баттерворта, если максимально допустимое подавление в полосе частот подавления будет увеличиваться?

14. Обоснуйте методику получения передаточной функции дискретного фильтра по её непрерывному аналогу.

15. Как по анализу логарифмических характеристик непрерывного и дискретного фильтров определить правильность частоты дискретизации?

16. Какие исходные данные следует знать, чтобы определить порядок и частоту среза фильтра Баттерворта в абсолютных единицах?

17. Какие исходные данные следует знать, чтобы получить передаточную функцию фильтра Баттерворта с заданной частотой среза?

18. Как определяется, и какой график имеет характеристика затухания для фильтра Баттерворта?

19. Представьте фрагмент программы, позволяющий определять передаточную функцию дискретного фильтра по его непрерывному аналогу.

20. Представьте фрагмент программы, позволяющий определять передаточную функцию аналогового фильтра по его дискретному аналогу.

21. При выполнении каких условий считается, что частотные характеристики дискретного фильтра будут представлять частотные характеристики аналогового фильтра.

Исходные данные для выполнения лабораторной работы