Цепи переменного тока (краткая теория)

Лабораторная работа № 2.11

Закон Ома для цепей переменного тока

Цель работы:изучение закона Ома для цепей переменноготока

Приборы и принадлежности:лабораторная установка, содержащая емкостное (конденсаторы), индуктивное (дроссель) и активное (омическое) (резисторы) сопротивления, источник переменного напряжения на 42 В (трансформатор), миллиамперметр и вольтметр.

Литература:[1, §§ 149-152], [2, T.III, §§ 129-131], [3, § 49-50], [5-8].

План работы:

1. Изучение цепи переменного тока.

2. Изучение мощности цепи переменного тока.

3. Изучение экспериментальной установки.

4. Проверка закона Ома и вычисление мощности цепи переменного

тока.

5. Изучение вынужденных колебаний в RLC-контуре с помощью электронного учебника “Открытая физика”.

Цепи переменного тока (краткая теория)

Переменным называется ток, который с течением времени изменяет свою величину или направление. Квазистационарными называются электрические токи и электромагнитные поля, для которых можно считать, что электромагнитные поля распространяются в пространстве мгновенно, а магнитное поле порождается только токами проводимости [3, § 49]. Первый критерий ограничивает пространственные размеры области, в которой изучается процесс. Они должны быть много меньше длины волны , где - период, а - частота процесса. Для технического переменного тока частотой 50 Гц длина волны 6000 км и его можно считать квазистационарным в масштабах предприятия или района. Для мгновенных значений квазистационарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

В промышленности наибольшее распространение получил синусоидальный переменный ток, то есть ток, величина которого изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Синусоидальный переменный ток имеет целый ряд преимуществ перед постоянным током, что и объясняет его использование в промышленности и в быту.

 В цепях переменного тока, кроме процессов нагрева проводов имеются дополнительные процессы, обусловленные изменяющимися магнитными и электрическими полями. В частности, изменение полей оказывает влияние на зависимость силы тока i(t) и напряжения u(t) на каждом участке цепи от времени более сложным образом по сравнению со случаем постоянного тока и может приводить к дополнительным потерям энергии. Функции u(t) и i(t) зависят не только от параметров электрической цепи, но и от частоты и формы импульсов приложенного напряжения. Анализ явлений, происходящих в цепях переменного тока, более сложен по сравнению со случаем постоянного тока.

Рассмотрим электрическую цепь с последовательно включенными катушкой индуктивности L, конденсатором ёмкости C и резистором с активным сопротивлением R (рис.11.1) к источнику переменного тока, напряжение которого меняется по закону

.                             

Рис. 11.1. Электрическая цепь с последовательно включенными катушкой индуктивности L, конденсатором емкости C и резистором c сопротивлением R (11.1)

Второй закон Кирхгофа для рассматриваемой замкнутой цепи запишется в виде

,                                (11.2)

где  – падение напряжения на резисторе, – э.д.с. самоиндукции, возникающей в катушке при протекании в ней переменного тока (закон Фарадея),  –- падение напряжения на конденсаторе.

Соотношение (11.2) примет вид  или

.                                         (11.3)

В формуле (11.3) слагаемое  можно рассматривать как падение напряжения на катушке. В цепи (рис.11.1) возникает переменный ток, который, как видно, может не совпадать по фазе с приложенным напряжением (11.1). Этот ток изменяется по закону

       ,                  (11.4)

где - сдвиг фаз между током и приложенным напряжением.

В условиях квазистационарности для каждого участка цепи можно использовать вытекающие из уравнения (11.3) связи между током и падением напряжения (своеобразные законы Ома для каждого участка цепи). Так, для падения напряжения на катушке

.              (11.5)

Следовательно, амплитуда напряжения на катушке равна

,                                        (11.6)

а фаза этого напряжения опережает фазу тока на π/2. Величина

,                                  (11.7)

называется реактивным индуктивным сопротивлением (или просто индуктивным сопротивлением).

Переменная часть напряжения на конденсаторе

        (11.8)

имеет амплитуду

,                                (11.9)

и фазу, отстающую от тока на π/2. Величина

,                                (11.10)

называется реактивным емкостным сопротивлением (или емкостным сопротивлением).

Напряжение на резисторе

,           (11.11)

совпадает по фазе с током и определяется законом Ома, установленным первоначально для постоянных токов. Амплитуда падения напряжения на резисторе равна

.       (11.12)

Подставляя (11.5), (11.8), (11.11) в (11.2) получаем

. (11.13)

После преобразований, приравнивая коэффициенты слева и справа перед  и , получаем два уравнения

,       (11.14)

решение которых дает

,              (11.15)

.         (11.16)

Величина

,                 (11.17)

называется полным сопротивлением или импедансом.

Соотношения (11.15) и (11.16) можно получить и графическим методом (методом векторных диаграмм). По второму закону Кирхгофа общее напряжение равно сумме падений напряжений на участках (элементах) цепи , и это соотношение иллюстрируется на векторной диаграмме (рис. 11.2а). На векторной диаграмме параметры рассматриваются как векторы, хотя знак вектора часто не ставится.

а                                                                                       б

Рис. 11.2. Векторные диаграммы напряжений (а) и сопротивлений (б)

В рассматриваемом случае изображены векторы . Складывая сначала находящиеся в противофазе векторы и , получаем вектор  с амплитудой , затем геометрически прибавляем к полученному результату перпендикулярно ориентированный вектор . По теореме Пифагора определяем длину вектора суммарного напряжения, равную , откуда получаем (11.15). Определяем также и угол между током и напряжением внешнего источника, тангенс которого точно совпадает с полученным выше результатом (см. 11.16).

Уравнение (11.15) может рассматриваться как обобщенный закон Ома для последовательной цепи переменного тока.

От векторной диаграммы (рис. 11.2а), называемой диаграммой напряжений, можно перейти, воспользовавшись законом Ома (так как R=U/I), к диаграмме сопротивлений (рис. 11.2б).

В случае  оказывается . Это соответствует условию последовательного резонанса. При этом  и .Отсюда следует

,                            (10.18)

-формула Томсона^*(соответствует периоду собственных колебаний контура).

От рис.11.2б, соответствующего треугольнику сопротивлений, легко перейти (умножением сопротивлений на значение тока ) к треугольнику мощностей (рис.11.3). Здесь S – полная мощность ( ), Q – реактивная составляющая мощности ( ) и Р– активная составляющая мощности ( ).

Рис. 11.3. Треугольник мощностей

1. Мощность в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности переменного тока равно произведению мгновенных значений напряжения и силы тока

.                     (11.19)

С учетом известной тригонометрической формулы

,       (11.20)

выражение для мощности примет вид

,                (11.21)

где первое слагаемое не зависит от времени, а второе осциллирует (колеблется), принимая попеременно положительные и отрицательные значения.

Практический интерес представляет не мгновенное значение мощности, а ее среднее значение за период колебаний

. (11.22)

Среднее по периоду от второго слагаемого в (11.21) равно нулю, поэтому средняя мощность равна первому (не зависящему от времени) слагаемому

.         (11.23)

Величины  и  соответственно называются эффективными, или действующими значениями тока и напряжения, а cosφназывается коэффициентом мощности. Большинство электроизмерительных приборов (амперметры, вольтметры) измеряют эффективные значения.

Зависимость мощности от cosφ необходимо учитывать при проектировании линий электропередачи на переменном токе. Если питаемые нагрузки имеют большое реактивное сопротивление, то cosφ может быть гораздо меньше единицы.

Для более рационального использования мощности станции надо стремиться сделать нагрузку такой, чтобы cosφ=1. Для этого достаточно обеспечить равенство индуктивного и ёмкостного сопротивлений. Однако на практике в масштабе промышленного предприятия добиться этого весьма трудно, хотя часто значение cosφ доводят до 0,9—0,95. Повышение cosφ осуществляется путём подключения конденсаторов, что не совсем выгодно. В большинстве случаев применяют электрические машины (синхронные), работающие в «ёмкостном» режиме. Повышение cosφ является важной задачей. Так, повышение cosφ в энергосистемах всего лишь на 0,01 может дать экономию электроэнергии более 500 млн. кВт·ч в год.

1. Экспериментальная установка

Электрическая схема установки показана на рис. 11.4. Сопротивление резистора R = 710 Ом. С помощью переключателя П, который может находиться в трех положениях, в цепь могут быть включены конденсаторы емкостями С1=1 мкФ, С2=6 мкФ, С3=11 мкФ. Резистор, катушка и конденсаторы вмонтированы в единый модуль. Амперметр и вольтметр подсоединяются в соответствии со схемой с помощью соединительных проводов. Цепь подключена к источнику переменного напряжения ≈ 42 В и частотой 50 Гц (или круговой частотой ω = 2πv = 2·3,14·50 = 314 рад/с) через ключ К.

Рис. 11.3. Электрическая схема установки