Дизъюнктивные нормальные формы

Определение. Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция литералов (переменных или их отрицаний), взятых не более чем по одному разу.

Например, конъюнкции , , 1 являются элементарными. Причем первая элементарная конъюнкция имеет ранг (число литералов) 2, вторая - 3, а третья - 0.

Следующие конъюнкции: , , , , 0 не являются элементарными.

Определение.Элементарная конъюнкция булевой функции , содержащая n литералов, называется полной (или минтермом).

Определение. Дизъюнкция любого конечного множества элементарных конъюнкций булевой функции F называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) функции F. Число элементарных конъюнкций (слагаемых, термов), составляющих ДНФ, называется длиной ДНФ.

Например, ДНФ  имеет длину, равную 3.

Для произвольной булевой функции F существует, вообще говоря, много различных реализующих ее ДНФ, отличающихся друг от друга длиной, числом вхождений литералов и т.д.

Определение. Две (или несколько) ДНФ, реализующих одну и ту же булеву функцию F , называются эквивалентными (или равносильными).

Например, для функции , заданной булевым вектором w(F)=(00100111), существуют следующие эквивалентные ДНФ:

,                                           (1)

,                                                            (2)

,                                                              (3)

,                                                             (4)

.                                                                             (5)

Определение. ДНФ булевой функции F, состоящая только из полных элементарных конъюнкций, называется совершеннойДНФ(СДНФ).

Например, (1) - СДНФ функции F.

Отметим, что СДНФ является единственной (с точностью перестановки слагаемых) для конкретной булевой функции F .

Любую булеву функцию F, заданную формулой, можно с помощью основных равносильностей преобразовать к ДНФ, а затем к СДНФ.

Пример.Привести к виду СДНФ булеву функцию F= .

Решение.С помощью основных равносильностей преобразуем к ДНФ:

= = = =

=  - ДНФ.

Применяя закон склеивания (в обратном порядке: ), дополняем конъюнкции ,  до полных элементарных конъюнкций:

= .

Так как , то после сокращения одинаковых конъюнкций, получаем СДНФ: F= .

Составим таблицу истинности для булевой функции F= (функция из предыдущего примера). Отметим связь между СДНФ и таблицей истинности.

Таблица истинности                                     СДНФ

					F=	Элементарные конъюнкции СДНФ
0	0	0	1	0	0
0	0	1	1	0	0
0	1	0	1	0	1
0	1	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1
1	0	1	0	0	0
1	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	1

В общем случае также можно вывести закономерности построения СДНФ по таблице истинности булевой функции, что является очень удобным.

СДНФ состоит из дизъюнкций полных элементарных конъюнкций наборов переменных , на которых функция принимает значение 1. Переменные берутся без отрицания, если им соответствует в таблице истинности 1, с отрицанием, если 0.

Пример. По таблице истинности составить СДНФ

			F
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

Решение: СДНФ: .

Пример. Для булевой функции, заданной в виде ДНФ , составить СДНФ и выполнить проверку по таблице истинности.

Решение: Применяя закон склеивания (в обратном порядке: ), дополняем конъюнкции, до полных элементарных конъюнкций. Конъюнкцию  дополняем в два этапа, так как не является элементарной конъюнкцией:

.

Так как , после сокращения одинаковых конъюнкций получаем СДНФ:

.

Таблица истинности                                  СДНФ

						Элементарные конъюнкции СДНФ
0	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	1

Минимизация ДНФ

Определение. Элементарная конъюнкция u называется импликантой булевой функции F , если . 

Например, элементарная конъюнкция  является импликантой функции .

Определение. Если никакая собственная часть  импликанты u (т.е. ) булевой функции F не является импликантой F, то u называется простойимпликантой (т.е. если удаление из u хотя бы одного литерала нарушает условие , то u – простаяимпликанта).

Например,  – простая импликанта булевой функции , а импликанта  не является простой для этой функции , так как  (собственная часть импликанты ) является импликантой функции F .

Определение. Дизъюнкция всех простых импликант булевой функции F называется сокращенной ДНФ (СкДНФ)функции F .

Например,   – СкДНФ булевой функции . Отметим, что СкДНФ является единственной для конкретной булевой функции F .                                            

Определение.ДНФ булевой функции F , содер­жащая наименьшее число слагаемых среди всех ДНФ, реализующих функцию F , называется кратчайшей ДНФ (КрДНФ).

Например, – КрДНФ этой же булевой функции F .

Вообще говоря, для заданной булевой функции F существу­ет несколько различных по числу вхождений литералов КрДНФ.

Определение.ДНФ булевой функции F , содер­жавшая наименьшее число вхождений литералов среди всех ДНФ, ре­ализующих функцию F , называется минимальной ДНФ (МДНФ).

Отметим, что для заданной булевой функции F существует, вообще говоря, несколько МДНФ, отличающихся друг от друга чис­лом слагаемых.

Более того, МДНФ не всегда совпадает с КрДНФ булевой функции n переменных F . Хотя для начальных значе­ний n ( n = 2 или n = 3 ) МДНФ всегда совпадает с КрДНФ). Например,  является КрДНФ и МДНФ рассматриваемой функции F.

Задача минимизации булевой функции  в классе ДНФ формулируется следующим образом: тре­буется для булевой функции n переменных F построить ДНФ с минимально возможным числом слагаемых (КрДНФ) или с мини­мально возможным числом вхождений литералов (МДНФ).

Причем, если раньше (при синтезе контактных схем) основное внимание уделялось построению МДНФ, то в настоящее время (при синтезе логических схем на элементах И,ИЛИ,НЕ, И-НЕ и др.) требуется построение КрДНФ.

Также отметим, что задача минимизации булевых функций n переменных F в классе ДНФ является чрезвычайно громоз­дкой и ее трудоемкость с ростом n  возрастает по экспонен­циальному закону.

К настоящему времени разработано около 200 различных ме­тодов минимизации булевых функций в классе ДНФ, наиболее из­вестными среди которых являются метод Квайна - Мак-класки, метод Блейк-Порецкого, метод Нельсона, метод неопределенных коэффициентов и др.

Пример. Составить по таблице истинности СДНФ булевой функции   и минимизировать ее, применяя законы склеивания.

Решение

0	0	0	1	1	1
0	0	1	0	1	1
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1
1	1	0	1	0	0
1	1	1	1	0	0

СДНФ будет иметь вид .

Минимизируем ее, применяя законы склеивания. Подчеркнем конъюнкции, которые можно склеить. Очевидно, что это можно сделать различными способами, например:

,

,

,

.

Выберем один из возможных вариантов склеивания, например:  и минимизируем ДНФ:

.

Замечание.При минимизации ДНФ достаточно часто (но не всегда!) удается получить лучшие результаты, если «нарастить» данную ДНФ, используя свойство идемпотентности дизъюнкции: .

Например, в рассматриваемом примере пятую, последнюю конъюнкцию  можно было бы склеить со второй конъюнкцией . Добавив вторую конъюнкцию еще раз, мы не изменим саму булеву функцию, но получим в результате минимизации ДНФ более короткое ее представление:

.

Пример. Составить СДНФ булевой функции, заданной вектором значений таблицы истинности w(F)=(10010010), и минимизировать ее, применяя законы склеивания.

Решение.Так как вектор значений заданной булевой функции имеет 8=2³ разрядов, следовательно, булевой функции соответствует следующая таблица истинности:

			F
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

СДНФ будет иметь вид: .

К сожалению, минимизировать ее, применяя законы склеивания, невозможно.