Основные теоретические сведения

Под аппроксимацией обычно подразумевается описание некоторой, порой не заданной явно, зависимости или совокупности представляющих ее данных с помощью другой, обычно более простой или более единообразной зависимости. Часто данные находятся в виде отдельных узловых точек, координаты которых задаются таблицей данных. Результат аппроксимации может не проходить через узловые точки. Для обработки данных MATLAB использует различные функции интерполяции и аппроксимации данных.

Одна из наиболее известных аппроксимаций — полиномиальная. В системе MATLAB определены функции аппроксимации данных полиномами по методу наименьших квадратов — полиномиальной регрессии. Это выполняет функция, приведенная ниже:

– polyfit(x, y, n) – возвращает вектор коэффициентов полинома р(х) степени n, который с наименьшей среднеквадратичной погрешностью аппроксимирует функцию у(х).

Под интерполяцией обычно подразумевают вычисление значений функции f(x) в промежутках между узловыми точками. Линейная, квадратичная и полиномиальная интерполяция реализуются при полиномиальной аппроксимации. В ряде случаев очень удобна сплайновая интерполяция и аппроксимация таблично заданных функций. При ней промежуточные точки ищутся по отрезкам полиномов третьей степени — это кубическая сплайновая интерполяция.

 При этом обычно такие полиномы вычисляются так, чтобы не только их значения совпадали с координатами узловых точек, но также, чтобы в узловых точках были непрерывны производные первого и второго порядков. Такое поведение характерно для гибкой линейки, закрепленной в узловых точках, откуда и происходит название spline (сплайн) для этого вида интерполяции (аппроксимации).

Для одномерной табличной интерполяции используется функция interpl:

– y_i = interp1(x, y, x_i) — возвращает вектор y_i, содержащий элементы, соответствующие элементам x_i и полученные интерполяцией векторов х и y. Вектор х определяет точки, в которых задано значение y.

– y_i = interp1(x, y, x_i, method) — позволяет с помощью параметра method задать метод интерполяции:

– 'nearest' — ступенчатая интерполяция;

– 'linear' — линейная интерполяция (принята по умолчанию);

– 'spline' — кубическая сплайн-интерполяция;

– 'cubic' или 'pchip' — интерполяция многочленами Эрмита.

Сплайн – интерполяция используется для представления данных отрезками полиномов невысокой степени – чаще всего третьей. При этом кубическая интерполяция обеспечивает непрерывность первой и второй производных результата интерполяции в узловых точках. Реализуется сплайн-интерполяция следующей функцией:

– y_i = spline(x, y, x_i) — использует векторы х и у, содержащие аргументы функции и ее значения, и вектор x_i, задающий новые точки.

Решение большинства задач интерполяции и аппроксимации функций и табличных данных обычно сопровождается их визуализацией. Она, как правило, заключается в построении узловых точек функции (или табличных данных) и в построении функции аппроксимации или интерполяции (рис.6.1).

В MATLAB 6.5 совмещение функций аппроксимации с графической визуализацией доведено до логического конца — предусмотрена аппроксимация рядом методов точек функции, график которой построен. И все это выполняется прямо в окне редактора графики Property Editor. Для этого в позиции Toolsграфического окна имеются две новые команды:

Basic Fitting – основные виды аппроксимации (регрессии);

Data Statistics – статистические параметры данных.

Команда Basic Fitting открывает окно, дающее доступ к ряду видов аппроксимации и регрессии: сплайновой, эрмитовой и полиномиальной со степенями от 1 (линейная аппроксимация) до 10. В том числе со степенью 2 (квадратичная аппроксимация) и 3 (кубическая аппроксимация) (рис.6.2).

Рисунок 6.1 – Пример визуализации процесса интерполяции

Рисунок 6.2 – Окно доступа к видам аппроксимации и регрессии

 Команда Data Statistics открывает окно с результатами простейшей статистической обработки данных (рис.6.3).

Рисунок 6.3 – Окно результатов статистической обработки

Анализ поведения многих систем и устройств в динамике базируются на решении систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений первого порядка в форме Коши:

                                  (2)

где — начальные и конечные точки интервалов.

Параметр t не обязательно означает время, хотя чаще всего решение дифференциальных уравнений ищется во временной области. Вектор b задает начальные и конечные условия.

Для решения систем ОДУ в MATLAB реализованы различные методы. Их реализации названы решателями ОДУ. Решатели реализуют следующие методы решения систем дифференциальных уравнений, причем для решения жестких систем уравнений рекомендуется использовать, только специальные решатели ode45, ode23:

– ode45 — одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядка. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения.

– ode23 — одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядка.

В описанных далее функциях для решения систем дифференциальных уравнений приняты следующие обозначения и правила:

– options — аргумент, создаваемый функцией odeset (еще одна функция позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию);

– tspan — вектор, определяющий интервал интегрирования [t₀ t_final]. Для получения решений в конкретные моменты времени t₀, t_l,..., t_final (расположенные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [t₀ t_l ... t_final];

– у0— вектор начальных условий;

– p_i, р₂,.. — произвольные параметры, передаваемые в функцию F;

– Т, Y — матрица решений Y, где каждая строка соответствует времени, возвращенном в векторе-столбце Т.

Перейдем к описанию функций для решения систем дифференциальных уравнений:

– [T, Y] = solver(@F,tspan,у0) — где вместо solver подставляем имя конкретного решателя — интегрирует систему дифференциальных уравнений вида у'=F(t,y) на интервале tspan с начальными условиями у0, @F — дескриптор ODE-функции. Каждая строка в массиве решений Y соответствует значению времени, возвращаемому в векторе-столбце Т;

– [T, Y] = solver(@F, tspan, y0, options) — дает решение, подобное описанному выше, но с параметрами, определяемыми значениями аргумента options, созданного функцией odeset.

Технология решения дифференциальных уравнений в системе MATLAB такова:

1) Создание m–файла. Независимо от вида системы он имеет вид:

function dy = solverDE(t, y)

dy = zeros(n, 1);

dy(1) = f1 (t, y(1), y(2), …, y(n));

dy(2) = f2 (t, y(1), y(2), …, y(n));

……………………………

dy(n) = fn (t, y(1), y(2), …, y(n));

2) Получение решения и сопровождающий его график:

>> [T, Y] = solver(‘solverDE’, [t0 tfinal], [y10 y20 … yn0]);

>> plot(T, Y)

Пусть, к примеру, требуется решить дифференциальное уравнение:

                                 (3)

с единичными начальными условиями.

Данное дифференциальное уравнение второго порядка приведем к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

                           (4)

с начальными условиями у₁(0)=1, у₂(0)=1, у₃(0)=1.

Вектор  правых частей системы уравнений, вычисляем с помощью собственной функции ex21 (рисунок 6.4):

Рисунок 6.4 – Пример создания функции для решения системы ОДУ

Теперь можно вызывать функцию ode45, находящую решение нашей системы дифференциальных уравнений с начальными условиями [1,1,1] на отрезке [0,20] (рисунок 6.5)

>> y0=[1 1 1 ];

>> tspan=[0 20];

>> [T,Y]=ode45('ex21',tspan,y0);

>> plot(T,Y)

Рисунок 6.5 – Результат работы программы

Для решения дифференциальных уравнений в MATLAB зарезервирована функция dsolve, которая имеет следующие форматы обращения и возвращает аналитическое решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями:

– y=dsolve( 'Dy(x)' ), где Dу(х) – уравнение, у–возвращаемые функцией dsolve решения.

– y=dsolve ('Dy(x)', 'НУ') , где Dу(х) – уравнение,  НУ –  начальные условия.

Первая производная функции обозначается Dу, вторая производная – D2у и так далее. Функция dsolve предназначена также для решения системы дифференциальных уравнений.  В этом случае она имеет следующий формат обращения:

– [f,g] =dsolve('Df(x),Dg(x)', 'НУ'), где Df(x) ,Dg(x) – система уравнений, НУ – начальные условия.

Решить дифференциальное уравнение (3) и использованием функции dsolve(рисунок 6.6).

Рисунок 6.6 – Пример использования команды dsolve

Порядок выполнения

1. С помощью интерполяции найти значение таблично заданной функции в указанной точке таблица 6.1.

2. Выполнить аппроксимацию таблично заданной функции таблица 6.1.

Таблица 6.1– Варианты заданий

3. На отрезке [a, b] найти решение дифференциального уравнения в виде  с начальными условиями , . Варианты заданий представлены в таблице 6.2. Построить график функции.

Таблица 6.2– Варианты заданий

№ варианта		Начальные условия
		a	b
1	2	3	4	5	6
1		1	5	0	0
2		2	3	1	0
3		0	1	0	0
4		0	1	0	1
5		2	4	0	0
6		1	3	0	0
7		1	2	0	0
8		0	3	0	1
9		2	4	0	1
10		0	1.5	1	0
11		-3	-2	1	1
12		2	4	0	0
13		1	5	1	1
14		0	1	0	1
Продолжение таблицы 6.2
1	2	3	4	5	6
15		0	1	0	0

4. Решить систему ОДУ, представленную в таблице 6.3, при заданных начальных условиях с помощью функции dsolve.

Таблица 6.3 Варианты заданий

№ варианта	Система ОДУ	Начальные условия
1	2	3	4	5	6
1		1.5	1.5	1	1
2		-1	1	-1.5	3
3		1.5	1.5	1	1
4		1	1.5	0	2
5		0.5	1.5	-1	2
6		0.5	2	1	2
7		5	5	-1	1
8		1.5	1	3	1
9		2	0	-1	1
10		-1	2	-1.5	0
11		1.5	1.5	-1	-1
12		-1	1.5	0	2
Продолжение таблицы 6.3
1	2	3	4	5	6
13		0.5	1	-1	2
14		0	-2	0	2
15		3	3	-1	1

Содержание отчета

1. Цель занятия.

2. Листинг программы.

3. Результаты выполнения.

Контрольные вопросы

1.Для чего служит функция interp1?

2. Какой функцией реализуется сплайн-интерполяция в MATLAB?

3. Какие существуют методы решения систем дифференциальных уравнений?

Практическое занятие № 7