Растровые изображения и их основные характеристики

Ватель

Графический вывод

Визуализация, обработка изображений

Ввод информации

Описание, модель объектов

Рис. 1.2. Модель интерактивной компьютерной графики

Системы типа САПР активно используются во многих областях, например, в машиностроении и электронике. Одними из первых были созданы САПР для проектирования самолетов, автомобилей, системы для разработки микроэлектронных интегральных схем, архитектурные системы и т.п. Такие системы сначала функционировали на довольно больших компьютерах. Потом получили распространение быстродействующие компьютеры среднего класса с развитыми графическими возможностями — графические рабочие станции. С возрастанием мощностей персональных компьютеров все чаше САПР начали использовать на дешевых массовых компьютерах, которые сейчас имеют достаточное быстродействие и объемы памяти для решения многих задач. Это привело к широкому распространению систем САПР.

● Одно из главных применений составляет  их использование в различных областях

инженерной конструкторской деятельности – от проектирования микросхем до создания самолѐтов.

● Другой важной областью применения САПР является строительство и архитектура.

● САПР используется и в медицине. Например, автоматизированное проектирование  имплантантов,  особенно  для  костей  и  суставов,  позволяет

минимизировать необходимость внесения изменений в ходе операции, что сокращает время пребывания на операционном столе (результат положительный как с точки зрения

пациента, так и с точки зрения врача).

Геоинформационные системы (ГИС)

Сегодня становятся все более популярными. Это относительно новая для массовых

пользователей разновидность систем интерактивной компьютерной графики. Они интегрируют методы и технологии разнообразных областей - баз данных, геодезии, картографии, космонавтики, навигации и, конечно, компьютерной  графики.  Известны такие системы, как ArcGIS, AutoCAD Map, Maplnfo. Пример отечественных систем — ГИС "ОКО", "Визиком-Киев".

Системы типа ГИС могут использовать значительные ресурсы компьютерных систем

как в плане работы с базами данных, так и для визуализации объектов, находящихся на по- верхности Земли. Причем визуализацию необходимо делать с разными степенями детализации

— как для Земли в целом, так и в границах отдельных участков.

Типичными для любой ГИС являются такие операции — ввод и редактирование объек- тов с учетом их расположения на поверхности Земли, формирование разнообразных цифровых моделей, запись в базы данных, выполнение разнообразных запросов к базам данных Важной функцией ГИС является анализ пространственных, топологических отношений множества объектов, расположенных на какой-то территории. Одной из функций также является спутниковая GPS-навигация.

1.2. Принципы организации графических программ

Многие пользователи ПК связывают понятие компьютерной графики с

программами, предназначенными для редактирования двухмерных цифровых изображений. Это программное обеспечение по принципу действия и функциональному назначению можно разделить на 3 группы:

● растровая графика

● векторная графика

● фрактальная графика

Наиболее широко в компьютерной графике представлены первые 2 типа программ: растровые и векторные. Важно понимать принципиальные отличия между двумя этими типами ПО, так как каждый из них имеет свои сильные и слабые стороны.

О фрактальной графике разговор особый. Она занимает промежуточное положение

между растровыми и векторными программами. Кроме того, фрактальные узоры часто используют в качестве красивых фронтальных заливок в редакторах растровой и векторной графики.

Двухмерная, или 2D-графика,– это основа всей компьютерной графики (в том числе

и 3D-графики). Ни один компьютерный художник-дизайнер не может плодотворно работать над своими проектами без понимания базовых положений двухмерной графики.

Растровые программы

Большинство программ для редактирования изображений-Addobe Photoshop, Corel

PHOTO-PAINT или MS Paint являются растровыми программами. В них изображение формируется из решѐтки крошечных квадратиков, именуемых пикселами. Поскольку каждый пиксел на экране компьютера отображѐн в специальном месте экрана, то программы, которые создают изображение таким способом, называют побитовыми, или программами с побитовым отображением (bitmap). Решѐтку (или матрицу), образуемую пикселами, называют растром. Поэтому программы с побитовым отображением также называются растровыми программами.

Как создаѐтся цифровое изображение? Многие программы для обработки

изображений, такие как Addobe Photoshop, позволяют выбирать нужные электронные кисть, цвет и краску. Иногда конечный результат неотличим от традиционной живописи, но, в общем, возможности компьютера гораздо шире традиционных.

Большинство цифровых изображений сначала поступают в компьютер при помощи

сканера или цифрового фотоаппарата. С помощью сканера можно оцифровать слайд, фотографию путѐм преобразования изображения в цифровые данные. Методика сканирования изображения с последующими операциями цветокоррекции и ретуширования наиболее часто используется в печатной компьютерной продукции, в первую очередь при создании рекламных объявлений и обложек журналов. Компьютер может поменять цвет вашей причѐски или глаз, отретушировать родинку на щеке, изменить цвет или фон вашей фотографии, а также убрать все недостатки и дефекты. Для привлечения внимания зрителей компьютерные художники часто добавляют к фотографиям в журналах и рекламным объявлениям специальные эффекты, создавая сложные коллажи.

Процесс оцифровывания изображения посредством цифрового фотоаппарата несложен – человек просто направляет аппарат на объект съѐмки и нажимает спуск. Изображение мгновенно оцифровывается и записывается в запоминающее устройство внутри фотоаппарата. Вам не нужно покупать и проявлять плѐнку – еѐ просто нет. Вместо вывода изображения на слайды или печати фотографий оно загружается в компьютер по кабельной линии. Когда изображение появляется на экране компьютера, вы можете изменять его цвета, ретушировать, крутить-вертеть, изгибать, искажать для создания специальных эффектов в программах-редакторах изображений: Adobe Photoshop, Corel PHOTO-PAINT или каких-то других, более удобных для пользователя.

Растровые программы предназначены в основном для редактирования изображений, обеспечивая возможность цветокоррекции, ретуши и создания специальных эффектов на базе цифровых изображений. Пользуясь программными продуктами для формирования изображений, такими как Adobe Photoshop или Corel PHOTO-PAINT, вы можете создавать коллажи, виньетки, фотомонтажи и подготавливать цветные изображения для вывода на печать. На сегодняшний день программы редактирования изображений используются при производстве практически всех печатных изображений, где необходима фотография. Их применяют для стирания морщин с лиц моделей, придания ярких красок мрачным и пасмурным дням и изменения общего настроения посредством специальных световых эффектов. Они также широко используются производителями мультимедиа для создания текстовых и фоновых эффектов и для изменения количества цветов изображения.

Векторные программы

Изображение, созданное в векторных программах, основывается на математических формулах,  а  не  на  координатах  пикселов.  Составляющие  основу  таких  изображений

кривые и прямые линии называются векторами. Так как при задании объектов на экране используются математические формулы, то отдельные элементы, изображения, создаваемые в векторных программах, – например, Adobe Illustrator, CorelDRAW и Macromedia FreeHand, – можно легко перемещать, увеличивать или уменьшать без проявления «эффекта ступенек». Так, для перемещения объекта достаточно перетащить его мышью. Компьютер автоматически пересчитывает его размер и новое местоположение.

Поскольку  в  этом  случае  изображение  создаѐтся  математически,  векторные

программы используются тогда, когда нужны чѐткие линии. Они часто применяются при создании логотипов, шрифтов для вывода на плоттер и различных чертежей.

Когда вы видите изображение, созданное в векторной программе, его качество зависит  не  от  исходного  разрешения  изображения,  а  от  разрешающей  способности

устройства вывода (монитора, принтера, плоттера…). Так как качество изображения не основывается на разрешении, то изображение, созданное в векторных программах, как

правило, имеет меньший объѐм файлов, чем построенное в программах побитового отображения.  В векторных  программах  нет  проблем  и  со  шрифтами  –  большие

шрифтовые массивы не образуют файлов огромного размера.

Фрактальные программы

Фрактал - это объект довольно сложной формы, которая получена в результате

выполнения простого итерационного цикла над формой начальной, элементарной.

Одним из основных свойств фракталов является  самоподобие. Объект называют

самоподобным, когда увеличенные части объекта походят на сам объект и друг на друга.

Таким образом, в простейшем случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале. Например, снежинка несет информацию о снежном сугробе, а горный камень имеет те же самые очертания, и что и горный хребет. Благодаря этому свойству можно использовать фракталы для генерирования поверхности местности, которая походит на саму себя, независимо от масштаба, в котором она отображена. Программы, получающие в последнее время широкое распространение и созданные по принципу генерации самоподобных фигур, явлются прекрасным инструментом в руках дизайнера, художника, разработчика WEB-приложений.

Отдельное перспективно напрвление развития фрактальных программ  — создание

алгоритма фрактального сжатия графической информации.

Более подробно о фрактальной графике будет рассказано в главе 5.

Глава 2. Координаты и преобразования

Координатный метод

Координатный метод был введен в XVII веке французскими математиками Р. Декартом и П. Ферма. На этом методе основывается аналитическая геометрия, которую

можно  считать  фундаментом  КГ.  В  современной  КГ  координатный  метод  широко используется.

2.1.1. Преобразование координат

Сначала рассмотрим общие вопросы преобразования координат. Пусть задана п- мерная система координат в базисе (k1, k2,.... kn), которая описывает положение точки в пространстве с помощью числовых значений кi. В КГ наиболее часто используются двумерная (n = 2) и трехмерная (n = 3) системы координат.

Если задать другую, N-мерную, систему координат в базисе (m1, m2,..., т) и поставить задачу определения координат в новой системе, зная координаты в старой, то решение (если оно существует) можно записать в таком виде:

где Fi — функции обратного преобразования.

В случае если размерности систем координат не совпадают (п ≠ N), осуществить

однозначное преобразование координат чаще всего не удается. Например, по двумерным

экранным  координатам  нельзя  без  дополнительных  условий  однозначно  определить трехмерные координаты отображаемых объектов.

Линейные преобразования наглядно записываются в матричной форме:

Здесь матрица коэффициентов (аij) умножается на матрицу-столбец (ki), и в результате будем иметь матрицу-столбец (mi ).

Мы  и  дальше  часто  будем  использовать  умножение  матриц,  поэтому  сделаем небольшой экскурс в матричную алгебру. Для двух матриц —

матрицы А размерами (т х п) и В — (n x p):

матричным произведением является матрица С = АВ размерами (m х р):

С                       =  

Простейшие двумерные преобразования

Точки  на  xy-плоскости  можно  перенести  в  новые  позиции  путем  добавления  к координатам  этих  точек  констант  переноса.  Для  каждой  точки                       Р(х,  у),  которая

перемещается в новую точку Р'(х, у), сдвигаясь на Dx единиц параллельно оси x и на Dy

единиц параллельно оси у, можно написать уравнения:

На рис. 2.1 показана точка с координатами (1, 2), которая смещается на расстояние (5, 7), преобразуясь в точку (6, 9). Определяя векторы-строки

можно переписать это уравнение в векторной форме или более кратко

Объект можно перенести, применяя вышевыведенное уравнения к каждой его точке. Однако, поскольку каждый отрезок, описывающий объект, состоит из бесконечного числа точек, такой процесс длился бы бесконечно долго. К счастью, все точки, принадлежащие отрезку, можно перенести путем перемещения одних лишь крайних точек отрезка и последующего вычерчивания нового отрезка между получившимися в результате точками. Это справедливо также для масштабирования (растяжения) и поворота. На рис.

2.1 показан результат действия на контур домика операции переноса на расстояние (3, -4).

Рис. 2.1 Простейший перенос

Точки можно промасштабировать (растянуть) в Sx раз вдоль оси x: и в Sy раз вдоль оси у, получив в результате новые точки, с помощью умножения

Определяя S           как  , можно записать в матричной форме

или

На рис. 2.2 отдельная точка (6, 6) масштабируется с коэффициентами 1/2 по оси X и 1/3 по оси у. На этом же рисунке показан контур домика, промасштабированный с коэффициентами 1/2 по оси x и 1/4 по оси у. Отметим, что масштабирование производится относительно начала координат; в результате преобразования домик стал меньше и ближе к началу координат. Если бы масштабные множители были больше 1, то домик увеличился бы и отдалился от начала координат. Способы проведения масштабирования относительно других точек, отличных от начала координат, рассматриваются в одном из последующих разделов главы. Пропорции домика также изменились· было применено

неоднородное масштабирование, при котором Sх≠ Sу. Однородное масштабирование, для

которого Sx=Sy, не влияет на пропорции.

Точки могут быть повернуты на угол θ относительно начала координат, как показано на рис. 2.2 для точки Ρ (6, 1) и угла θ = 30°. Математически поворот определяется следующим образом:

В матричной форме мы имеем

или

где через R обозначена матрица поворота. На рис. 2.2 показан квадрат, повернутый на 45°. Как и в случае масштабирования, поворот производится относительно начала координат.

Рис. 2.2 Простейшие поворот и масштабирование

Однородные координаты и матричное представление двумерных

Преобразований

Преобразования переноса, масштабирования и поворота в матричной форме записываются в виде

К сожалению, перенос реализуется отдельно (с помощью сложения) от масштабирования и поворота (с помощью умножения). Хотелось бы представить их таким способом, чтобы все эти три элементарных преобразования можно было легко объединять вместе. Ниже в этом разделе показано, как это можно сделать.

Если мы  выразим  точки в  однородных координатах,  то  все три преобразования

можно реализовать с помощью умножений. Однородные координаты были введены в геометрии и впоследствии использованы в графике. С однородными координатами и преобразованиями над ними работают многие пакеты графических подпрограмм и некоторые дисплейные процессоры. В одних случаях эти координаты используются прикладной программой непосредственно при задании параметров для графического пакета, в других — применяются лишь внутри самого пакета и недоступны для программиста.

В однородных координатах точка Р (х, у) записывается как P(W∙ x, W ∙ y, W) для любого масштабного множителя W≠0. При этом если для точки задано ее представление в

однородных координатах Р(Х, Y, W), то можно найти ее двумерные декартовы координаты

как x=X/W и y=Y/W. В этой главе W всегда будет равно 1, поэтому операция деления не

требуется. Однородные координаты можно представить как вложение промасштабированной с коэффициентом W двумерной плоскости в плоскость z=W (здесь z = 1) в трехмерном пространстве.

Точки теперь описываются  трехэлементными  вектор-строками,  поэтому матрицы

преобразований, на которые умножается вектор точки, чтобы получить другой вектор точки, должны иметь размер 3x3. Уравнения переноса записываются в виде матрицы преобразования однородных  координат следующим образом:

где

Теперь получим:

Действительно, результирующий перенос есть (Dx1+Dx2, Dy1+ Dy2). Матричное произведение в разных случаях называют объединением, соединением, конкатенацией и композицией матриц T(Dx1, Dy2) и T(Dx2, Dy2). В этой главе мы будем использовать термин композиция.

виде

Так же как последовательные переносы являются аддитивными, можно ожидать, что последовательные масштабирования будут мультипликативными. Если заданы

то получим:

Таким  образом,  масштабирования  в  самом  деле  мультипликативны.  И,  наконец, уравнения поворота можно представить в виде:

Полагая

Имеем

Композиция двумерных преобразований

Понятие композиции было введено в предыдущем разделе. В данном разделе мы покажем,               каким образом можно использовать композицию преобразований для

объединения фундаментальных матриц R, S и Τ с целью получения желаемых общих результатов. Основное преимущество объединенных преобразований состоит в том, что к

точке более эффективно применять одно результирующее преобразование, чем ряд преобразований друг за другом.

Рассмотрим,  например,  поворот  объекта  относительно  некоторой  произвольной точки  Pi.  Поскольку нам  известно,  лишь  как  поворачивать  вокруг  начала  координат,

разобьем исходную (трудную) проблему на три более легкие задачи. Таким образом, чтобы  произвести  поворот  относительно  точки  Pi,  необходимо  выполнить

последовательно три элементарных преобразования:

1. Перенос, при котором точка Pi перемещается в начало координат.

2. Поворот.

3. Перенос, при котором точка из начала координат возвращается в первоначальное

положение Ρi.

Эта  последовательность  показана  на  рис.  2.3,  на  котором  вокруг  точки  Ρi(x,  у)

поворачивается контур домика. Первый перенос производится на (-x1, -y1), в то время как последующий — на (x1, y1) — является обратным ему. Результат существенно отличается от того, который получился бы, если бы применялся один только поворот.

Результирующее  преобразование имеет вид

Эта композиция преобразований путем умножения матриц служит примером того, как применение однородных координат упрощает задачу.

Используя аналогичный подход,  можно  промасштабировать объект относительно произвольной точки Рi: перенести Ρi в начало координат, промасштабировать, перенести

назад в точку Ρi. Результирующее преобразование в этом случае будет иметь вид

Предположим, что нам необходимо промасштабировать, повернуть и расположить в нужном месте домик, показанный на рис.2.3, где центром поворота и масштабирования является точка Ρ1. Последовательность преобразований заключается в переносе точки Ρ1 в начало координат, проведении масштабирования и поворота, а затем переносе из начала координат в новую позицию Р2, в которой домик должен оказаться (эта последовательность показана на рис. 2.3). В структуре данных, в которой содержится это преобразование, могут находиться масштабный множитель (множители), угол поворота и величины переноса или может быть записана матрица результирующего преобразования:

Если известно, что M1 и M2 представляют собой элементарные перенос, масштабирование или поворот, то при каких условиях Μ1 и Μ2 коммутативны? В общем случае умножение матриц некоммутативно. Однако легко показать, что в следующих частных случаях коммутативность имеет место (в этих случаях можно не беспокоиться о порядке перемножения матриц – см. Таблицу 2.1).

Рис. 2.3 Композиция преобразований

Таблица 2.1

Матричное представление трехмерных преобразований

Аналогично тому, как двумерные преобразования описываются матрицами размером 3x3, трехмерные преобразования могут быть представлены в виде матриц размером 4x4. И

тогда трехмерная точка (x, у, z) записывается в однородных координатах как (W∙x, W∙y, W∙z, W), где W≠0. Если W≠1, для получения трехмерных декартовых координат точки (х,

у, z) первые три однородные координаты делятся на W. Отсюда, в частности, следует, что

две точки Η1 и H2 в пространстве однородных координат описывают одну и ту же точку трехмерного пространства в том и только в том случае, когда H1=cH2 для любой константы с, не равной нулю.

Трехмерная система координат, применяемая в этой книге, является правосторонней (рис.2.4). Примем соглашение, в соответствии с которым положительными будем считать такие повороты, при которых (если смотреть с конца положительной полуоси в направлении начала координат) поворот на 90° против часовой стрелки будет переводить одну положительную полуось в другую. На основе этого соглашения строится следующая таблица, которую можно использовать как для правых, так и для левых систем координат:

Мы применяем здесь правостороннюю систему координат, поскольку она хорошо знакома большинству людей, хотя в трехмерной графике чаще более удобна левосторонняя система, так как ее легче представить наложенной на поверхность экрана дисплея. Это позволяет естественно интерпретировать тот факт, что точки с большими значениями z находятся дальше от наблюдателя. Отметим, что в левосторонней системе положительными будут повороты, выполняемые по часовой стрелке, если смотреть с конца положительной полуоси в направлении начала координат.

Трехмерный перенос является простым расширением двумерного:

Масштабирование расширяется  аналогичным образом:

В самом деле,

Двумерный поворот является в то же время трехмерным поворотом вокруг оси z. В трехмерном пространстве поворот вокруг оси z описывается выражением

Это легко проверить: в результате поворота на 90° вектора [1 0 0 1], являющегося единичным вектором оси х, должен получиться единичный вектор [0 1 0 1] оси y. Вычисляя произведение

вид

получаем предсказанный результат [0 1 0 1]. Матрица поворота вокруг оси x имеет

Матрица поворота вокруг оси у записывается в виде

Столбцы (и строки) верхней левой подматрицы размером 3x3 матриц Rz, Rx и Ry

представляют собой взаимно ортогональные единичные векторы, интерпретация которых такая же, что и в двумерном случае.

Все эти матрицы преобразований имеют обратные матрицы. Матрица, обратная Т,

получается подстановкой знака минус перед Dx, Dy и Dz; обратная S — заменой Sx, Sy и

Sz на обратные им значения, а для каждой из трех матриц поворота — выбором отрицательного угла поворота.

Композиция трехмерных преобразований

Путем  объединения  элементарных  трехмерных  преобразований  можно  получить другие преобразования. В этом разделе показано, как это сделать. Задача состоит в том,

чтобы преобразовать отрезки P1P2 и P1P3 (рис. 2.5) из начальной позиции в конечную. Точка Pi переносится в начало координат, P1P2 располагается вдоль отрицательной полуоси x, а P1P3 помещается в плоскости yz в той ее половине, где ось у положительна. На длины отрезков преобразование не воздействует.

Как  и  прежде,  разобьем  сложную  задачу  на  более  простые.  В  данном  случае преобразование можно выполнить за четыре шага:

1. Перенос точки Pi в начало координат.

2. Поворот вокруг оси у до совмещения P1P2 с плоскостью уz.

3. Поворот вокруг оси x до совмещения P1P2 с отрицательной полуосью Z.

4.

Шаг 2. Поворот вокруг оси у. На рис. 2.5 показаны отрезки P1P2  после шага 1 и

проекция P1P2  на плоскость xz. Поворот производится на положительный угол  θ, для

которого

Как и ожидалось, x-компонента Р2 равна нулю.

Рис. 2.5. Композиция преобразований

где

Запись        обозначает длину      Результатом поворота  на шаге 3 является

т. е.     теперь совпадает с отрицательной полуосью z.

Шаг 4. Поворот вокруг оси z. На рис. 2.6              показаны и после шага 3, когда

Р2'" лежит на отрицательной полуоси z, а Р3'" - в точке

Поворот производится на

положительный угол , для которого Шаг 4 является последним шагом, после которого получается конечный результат, показанный на рис. 2.6. Результирующая матрица

описывает искомое  преобразование, где

Рис. 2.6. Окончание композиции преобразований

Преобразование объектов

Преобразование объектов можно описать так. Пусть любая точка, принадлежащая

определенному объекту, имеет координаты (k1, k2,..., kn ) в n-мерной системе координат. Тогда преобразование объекта можно определить как изменение положения точек объекта. Новое положение точки пространства соответствует новым значениям координат (т1, т2,..., тn).

Соотношение между старыми и новыми координатами для всех точек объекта (т1, т2,..., тn) = F(k1, k2,..., kn ) и будет определять преобразование объекта, где F—функция преобразования.

Классифицировать преобразования объектов можно согласно типу функции преобразования и типу системы координат.

Например, преобразование объектов на плоскости можно определить так:

В трехмерном пространстве:

Преобразование как изменение систем координат

Мы  рассматриваем  преобразование  множества  точек,  принадлежащих объекту,  в

некоторое другое множество точек, причем оба этих множества описаны в одной и той же системе координат. Таким образом, система координат остается неизменной, а сам объект преобразуется относительно начала координат до получения желаемого размера. Другим эквивалентным способом описания преобразования является смена систем координат. Такой подход оказывается полезным, когда желательно собрать вместе много объектов, каждый из которых описан в своей собственной локальной системе координат, и выразить их координаты в одной глобальной системе координат. Существует и еще один, третий подход, при котром происходит изменение глобальной системы координат по отношению к локальной системе координат объекта (см. рис.2.7).

Рис. 2.7. Преобразования как изменение системы координат

Рис. 2.8. Пример преобразования с изменением системы координат

Описание всех объектов (символов) в мировой системе координат и последующее размещение их в желаемом месте, приводит до некоторой степени к нереалистичному изображению всех символов, первоначально заданных один поверх другого в одной и той же мировой системе координат. Более естественно полагать, что каждый символ задан в своей собственной системе координат и затем промасштабирован, повернут и перенесен путем преобразования координат в новую мировую систему координат. Второй подход легко представить себе как сжатие или растяжение, поворот и позиционирование на мировой координатной плоскости отдельных листков бумаги, на каждом из которых изображен символ (или наоборот, сжатие или растяжение, поворот и перемещение плоскости относительно каждого из листков бумаги). С математической точки зрения оба подхода идентичны.

Подход, основанный на изменении систем координат, удобен в тех случаях, когда задается дополнительная информация для подобъектов в их локальных системах координат. Например, если к переднему колесу трехколесного велосипеда (рис. 2.8) приложить крутящий момент, то все его колеса повернутся. Нам необходимо определить, насколько велосипед переместится в пространстве как единое целое. Эта задача более сложная, чем та, которая связана с размещением символов, поскольку здесь требуется несколько последовательных изменений систем координат. В начальный момент системы координат велосипеда и его  переднего  колеса заданы  относительно  мировой  системы

координат. При движении велосипеда вперед переднее колесо поворачивается вокруг оси z системы координат колеса, и одновременно системы координат колеса и велосипеда перемещаются относительно мировой системы координат. Системы координат колеса и велосипеда связаны с мировой системой координат с помощью зависящих от времени переносов вдоль осей x и у и поворота вокруг оси у. Координатные системы велосипеда и колеса между собой связаны с помощью зависящего от времени поворота вокруг оси у, вызываемого поворотом руля. (Система координат велосипеда связана с рамой велосипеда, а не с рулем).

2.1.2 Аффинные преобразования на плоскости

Это частный случай преобразований, который достаточно часто используется при

создании графических пакетов.

Зададим некоторую двумерную систему координат (x,у). Аффинное преобразование

на плоскости описывается формулами

где А, В,..., F— константы. Значение (X, Y) можно рассматривать как координаты в новой системе координат.

Обратное преобразование (X, Y) в (х, у) также является аффинным:

Аффинное преобразование удобно записывать в матричном виде. Константы А, В..... F образуют матрицу преобразования, которая, будучи умноженной на матрицу-столбец координат (x, у), дает матрицу-столбец (X, Y). Однако, чтобы учесть константы С и F, необходимо перейти к так называемым однородным координатам — прибавим еще одну строку в матрицах координат:

Теперь рассмотрим частные случаи аффинного преобразования.

1. Параллельный сдвиг координат (рис. 2. 9).

Рис. 2.9. Параллельный сдвиг координат

В матричной форме

Обратное преобразование:

2. Растяжение-сжатие осей координат (рис. 2. 10).

Рис. 2.10. Растяжение-сжатие осей координат

Коэффициенты kx и ky могут быть отрицательными. Например, kx = -1 соответствует зеркальному отражению относительно оси y.

3. Поворот (рис. 2. 11).

Рис.2.11. Поворот

Свойства аффинного преобразования.

• Любое аффинное преобразование может быть представлено как последовательность операций из числа указанных простейших: сдвиг, растяжение/сжатие и поворот.

• Сохраняются прямизна линии, параллельность прямых, отношение длин отрезков,

лежащих на одной прямой, и соотношение площадей фигур.

Трехмерное аффинное преобразование

Запишем в виде формулы:

Для трехмерного пространства любое аффинное преобразование также может быть представлено последовательностью простейших операций. Рассмотрим их.

1. Сдвиг осей координат соответственно на dx, dy, dz:

2. Растяжение/сжатие на кx, кy, кz.

3. Повороты. Можно сказать, что в трехмерном пространстве существует больше разновидностей поворота, сравнительно с двумерным пространством. Рассмотрим несколько частных случаев поворота.

Поворот вокруг оси x на угол φ (рис. 2. 12).

Рис. 2.12. Поворот вокруг оси X

Поворот вокруг оси у на угол ψ (рис. 2. 13, сверху).

Рис. 2.13. Поворот вокруг осей y и z

2.2 Проекции

При использовании любых графических устройств обычно используют проекции.

Проекция задает способ отображения объектов на графическом устройстве. Мы будем рассматривать только проекции на плоскость.

Проецирование - отображение точек, заданных в системе координат с размерностью N, в точки в системе меньшей размерности.

Проекторы (проецирующие лучи) - отрезки прямых, идущие из центра проекции через  каждую  точку  объекта  до  пересечения  с  плоскостью проекции  (картинной

плоскостью).

2.2.1 Мировые и экранные координаты

При  отображении  пространственных объектов  на  экране  или  на  листе  бумаги  с

помощью принтера необходимо знать координаты объектов. Мы рассмотрим две системы координат. Первая — мировые координаты, которые описывают истинное положение объектов в пространстве с заданной точностью. Вторая — система координат устройства отображения, в котором осуществляется вывод изображения объектов в заданной проекции. Назовем систему координат графического устройства экранными координатами (хотя это устройство и не обязательно должно быть подобно монитору компьютера).

Пусть мировые координаты будут трехмерными прямоугольными  координатами. Где должен размещаться центр координат, и какими будут единицы измерения вдоль каждой оси, для нас сейчас не очень важно. Важно то, что для отображения мы будем знать любые числовые значения координат отображаемых объектов.

Для получения изображения в определенной проекции необходимо вычислить координаты проекции. Для синтеза изображения на плоскости экрана или бумаге используем двумерную систему координат. Основная задача — задать преобразования координат из мировых в экранные.

2.2.2 Основные типы проекций

Изображение объектов на плоскости (экране дисплея) связано с геометрической операцией  проектированием.  В  компьютерной  графике  используется  несколько  видов

проектирования, но основных - два вида: параллельноеицентральное.

через объект на картинную плоскость, на которую в дальнейшем находят координаты пересечения лучей (или прямых) с этой плоскостью.

Рис. 2.14. Основные типы проекций

Прицентральномпроектировании все прямые исходят из одной точки.

При параллельном - считается, что центр лучей (прямых) бесконечно удален, а прямые параллельны.

Каждый из этих основных классов разбивается еще на несколько подклассов в

зависимости от взаимного расположения картинной плоскости и координатных осей.

Перспективные (центральные) проекции

Одноточечная проекция

Трехточечная проекция

Двухточечная проекция

Параллельные проекции

Аксонометрическая проекция

Триметрическая проекция

Диметрическая проекция

Косоугольная проекция

Свободная проекция

Ортографическая проекция

Кабинетная проекция

Изометрическая проекция

Рис. 2.15. Классификация плоских проекций

ортографические (ортогональные),

аксонометрические  (прямоугольные  аксонометрические)  -  проекторы перпендикулярны к плоскости проекции, расположенной под углом к главной оси,

косоугольные (косоугольные аксонометрические) - плоскость проекции перпендикулярна  к главной оси, проекторы расположены под углом к плоскости

проекции.

У центральных проекций центр проекции находится на конечном расстоянии от

плоскости проекции. Имеют место так называемые перспективные искажения.

Ортогональные проекции (основные виды)

Рис. 2.16. Ортогональные проекции

1. Вид спереди, главный вид, фронтальная проекция, (на заднюю грань V),

2. Вид сверху, план, горизонтальная проекция, (на нижнюю грань H),

3. Вид слева, профильная проекция, (на правую грань W),

4. Вид справа (на левую грань),

5. Вид снизу (на верхнюю грань),

6. Вид сзади (на переднюю грань).

Матрица ортогональной проекции на плоскость YZ вдоль оси Х имеет вид:

0 0 0 0

0 1 0 0

PX

0 0 1 0

0 0 0 1

тогда:

Если же плоскость параллельна, то эту матрицу надо умножить на матрицу сдвига,

0 0 0 0

0 1 0 0

PX

, где р - сдвиг по оси Х;

0 0 1 0

p 0 0 1

Для плоскости ZX вдоль оси Y

0 0 0 0

0 0 0 0

PX

, где q - сдвиг по оси Y;

0 0 1 0

0 q 0 1

Для плоскости XY вдоль оси Z:

0 0 0 0

0 1 0 0

PX

, где R - сдвиг по оси Z.

0 0 0 0

0 0 R 1

При  аксонометрической  проекции  проектирующие  прямые  перпендикулярны плоскости картинки.

Изометрия -  все три  угла между нормалью картинки и координатными осями

равны.

Диметрия -два угла между нормалью картинки и координатными осями равны.

Триметрия -нормальный вектор плоскости картинки образует с координатными

осями различные углы.

Каждый  из  трех  видов  этих  проекций  получается  комбинацией  поворотов,  за которой следует параллельное проектирование.

сos sin cos 0 0 cos 0 sin 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 cos 0 0 0 1 0 0 0 cos sin 0 0 1 0 0 sin sin cos 0 0 sin 0 cos 0 0 sin cos 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1

Изометрическая проекция

Диметрическая проекция

Рис. 2.17. Изометрические  проекции

Рис. 2.18. Диметрические  проекции

Косоугольныепроекции

Здесь, как и раньше, ось Υпр направлена вниз.

Для косоугольных параллельных проекций лучи  проецирования не

перпендикулярны плоскости проецирования.

Рис. 2.19. Косоугольные  проекции

Теперь относительно центральной проекции. Поскольку для нее лучи проецирования не параллельны, то будем считать нормальной такую центральную проекцию, главная ось которой перпендикулярна плоскости проецирования. Для центральной косоугольной проекции главная ось не перпендикулярна плоскости проецирования.

Рассмотрим  пример  центральной  косоугольной  проекции,  которая  показывает