Технико-экономические задачи

1. Выбор целей исследования.

2. Выбор и построение критериев в задачах векторной
оптимизация.

3. Принятие решений при управлении производством и
выбор наилучшего варианта решения любой достаточно
сложной проблемы в условиях неопределенности.

Задачи идентификации, начиная от выбора структуры
модели и определяющих факторов и кончая приближенным
построением зависимостей и их интерпретацией.

5. Построение эвристических алгоритмов управления.

6. Эргонометрические исследования.

7. Оценка качества продукции.

Системы обучения, основанные на построении различного вида сценариев и целенаправленном использовании результатов опроса.

9. Планирование производства. НИР и ОКР.

10. Классификация однотипных объектов по степени выраженности тех или иных характерных свойств.

11. Прогнозирование научно-технического прогресса.

9. Методы получения экспертных оценок.

Существует две группы экспертных оценок:

· Индивидуальные оценки основаны на использовании мнения отдельных экспертов, независимых друг от друга.

· Коллективные оценки основаны на использовании коллективного мнения экспертов.

Совместное мнение обладает большей точностью, чем индивидуальное мнение каждого из специалистов. Данный метод применяют для получения количественных оценок качественных характеристик и свойств. Например, оценка нескольких технических проектов по их степени соответствия заданному критерию, во время соревнования оценка судьями выступления фигуриста.

Известны следующие методы экспертных оценок:

· Метод ассоциаций. Основан на изучении схожего по свойствам объекта с другим объектом.

· Метод парных (бинарных) сравнений. Основан на сопоставлении экспертом альтернативных вариантов, из которых надо выбрать наиболее предпочтительные.

· Метод векторов предпочтений. Эксперт анализирует весь набор альтернативных вариантов и выбирает наиболее предпочтительные.

· Метод фокальных объектов. Основан на перенесении признаков случайно отобранных аналогов на исследуемый объект.

· Индивидуальный экспертный опрос. Опрос в форме интервью или в виде анализа экспертных оценок. Означает беседу заказчика с экспертом, в ходе которой заказчик ставит перед экспертом вопросы, ответы на которые значимы для достижения программных целей. Анализ экспертных оценок предполагает индивидуальное заполнение экспертом разработанного заказчиком формуляра, по результатам которого производится всесторонний анализ проблемной ситуации и выявляются возможные пути её решения. Свои соображения эксперт выносит в виде отдельного документа.

· Метод средней точки. Формулируются два альтернативных варианта решения, один из которых менее предпочтителен. После этого эксперту необходимо подобрать третий альтернативный вариант, оценка которого расположена между значений первой и второй альтернативы.

10. Системный анализ процесса возникновения происшествий в техносфере.

Общие принципы системного анализа и моделирования сложных процессов позволяют перейти к изучению тех их особенностей, которые свойственны появлению происшествий в техносфере. Рассмотрим

моделирование опасных процессов с помощью диаграмм причинно-следственных связей типа «дерево», «граф» и «сеть».

На рисунке 5.4 рассмотрена структура системного анализа и моделирования процессов в техносфере, основанная преимущественно на применении гибкой системной методологии прогнозирования и перераспределения техногенного риска.

Самым первым и довольно важным этапом системного исследования техносферы считается эмпирический системный анализ рассматриваемых там проблемных ситуаций с обеспечением безопасности техносферы. Он основывается на изучении требований и сборе статистических данных по аварийности и травматизму, выявлении несоответствий между желаемым и действительным состояниями исследуемых опасных процессов, определении состава существенных факторов – тех свойств человеко-машинной системы, которые наиболее часто фигурируют в анализируемых данных.

В процессе осуществления рассматриваемого этапа широко используются различные способы сбора и преобразования статистических данных, направленные на повышение информативности изучаемых признаков или снижение их размерности. Наиболее предпочтительны для этого следующие: проверка статистических гипотез, регрессионные алгоритмы, дискриминантный и факторный анализы, кластер-процедуры.

Рисунок 5.4 –Структура системного исследования безопасности в техносфере

Важность данного этапа состоит в его значимости для последующих рассуждений: в случае недобросовестности проведения эмпирического системного анализа возможны так называемые ошибки третьего рода –неверные выводы при ошибочных исходных предположениях. И наоборот, качественное проведение сбора и обработки статистических данных обеспечивает адекватность отображения реальности, необходимую для дальнейшего моделирования, поскольку любые эмпирические данные –следствие объективно существующих законов природы и общества.

Следующим (после эмпирического системного анализа) этапом служит, проблемно-ориентированное описание объекта и цели моделирования – тех опасных техносферных процессов, которые могут сопровождаться появлением происшествий, а также выявление соответствующих закономерностей и оценка их параметров. Этот этап обычно включает более четкое формулирование проблемной ситуации, идентификацию связанной с ней человеко-машинной системы, уточнение характера ее взаимодействия с внешней средой, определение цели предстоящего моделирования и системного анализа, выбор соответствующих показателей и критериев.

При этом подразумевается следующее:

а) выявление сущности противоречий – породивших факторов, а также организаций или лиц, заинтересованных в их ликвидации;

б) уточнение цели моделирования – определение необходимых для этого изменений, соответствующих методов, показателей и критериев;

в) идентификация объекта – уточнение структуры, свойств и характера взаимодействия его элементов, определение учитываемых и игнорируемых факторов, а также параметров тех из них, которые наиболее существенны для появления и устранения происшествий.

Завершающий этап системного анализа и моделирования конкретных процессов в техносфере связан с проведением их теоретического системного анализа. Такое исследование должно быть направлено на уточнение представлений об условиях возникновения и предупреждения происшествий при функционировании человеко-машинных систем.

Особое место при проведении теоретического системного анализа техносферы принадлежит моделированию процессов, связанных с возникновением там происшествий. Это обусловлено, прежде всего, неприемлемостью по этическим и экономическим соображениям экспериментального изучения тех аспектов, которые касаются жизни и здоровья людей, значительного ущерба материальным ценностям и природным ресурсам. В этих условиях только моделирование позволяет заблаговременно пополнить представления об условиях, закономерностях возникновения и предупреждения техногенных происшествий, компенсировать дефицит в соответствующих статистических данных.

Важным условием успешного завершения теоретического системного анализа опасных техносферных процессов является выявление объективных закономерностей возникновения техногенных происшествий и априорная оценка соответствующего риска. Подобный прогноз предполагает разработку

моделей, пригодных для количественной оценки: а) вероятности появления конкретных происшествий –Q (?);

б) величины соответствующего ущерба от них людским, материальным и природным ресурсам – У(?).

Вся процедура системного исследования должна завершаться проверкой полученных на каждой ее итерации результатов на новизну и достоверность. Необходимость и особенности такой проверки проиллюстрированы на рисунке 5.4 текстом и линиями со стрелками, указывающими на сведения, нуждающиеся в дополнительном контроле. При этом также предполагается, что проведение всей процедуры системного анализа и моделирования процессов техносферы должно осуществляется непрерывно, с периодическим информированием должностных лиц системы обеспечения ее безопасности

11. Системный подход при анализе сложных систем.

Классификация проблем по степени их структуризации

1. Хорошо структурированные или количественно выраженные проблемы;

2. Неструктуризованные или качественно выраженные проблемы;

3. Слабоструктуризованные (смешанные проблемы).

1.Принципы решения хорошо структуризованных проблем

Для решения проблем этого класса используются математические методы:

1. Определение конкурирующих стратегий достижения цели.

2. Построение математической модели операции.

3. Оценка эффективностей конкурирующих стратегий.

4. Выбор оптимальной стратегии достижения целей.

2.Принципы решения неструктуризованных проблем

Для решения проблем этого класса целесообразно использовать методы экспертных оценок.

Методы экспертных оценок применяются, когда математическая формализация проблем либо невозможна в силу их новизны и сложности, либо требует больших затрат времени и средств. Общим для всех методов экспертных оценок является обращение к опыту, указанию и интуиции специалистов, выполняющих функции экспертов.

3.Принципы решения слабоструктуризованных проблем

Для решения проблем этого класса целесообразно использовать методы системного анализа.

1. Принимаемое решение относится к будущему (завод, которого пока нет)

2. Имеется широкий диапазон альтернатив

3. Решения зависят от текущей неполноты технологических достижений

4. Принимаемые решения требуют больших вложений ресурсов и содержат элементы риска

5. Не полностью определены требования, относящиеся к стоимости и времени решения проблемы

6. Проблема внутренняя сложна в следствие того, что для ее решения необходимо комбинирование различных ресурсов.

12. Теория моделирования (12).

При анализе сложных систем придерживаются системного подхода. Это предполагает максимальный охват всех взаимосвязей и анализ последствий приятого решения. Основные моменты: -Уточнение предметной области исследования, ее структуризация на задачи. -Выбор нужных матем. моделей -Уточнение деталей и целей анализа системы -Синтезирование математических моделей, обеспечивающих достижение поставленных целей. Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта. Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов- оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

13. Классификация моделей (13).

Математические модели могут быть детерменированными и стохастическими.

Детерменированные модели- это модели, в которых установлено взаимно-однозначное соответствие между переменными описывающими объект или явления.

Такой подход основан на знании механизма функционирования объектов. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может оказаться очень трудоемкой и длинной во времени. В этом случае поступают следующим образом: на оригинале проводят эксперименты, обрабатывают полученные результаты и, не вникая в механизм и теорию моделируемого объекта с помощью методов математической статистики и теории вероятности, устанавливают связи между переменными, описывающими объект. В этом случае получают стахостическую модель. В стахостической модели связь между переменными носит случайный характер, иногда это бывает принципиально. Воздействие огромного количества факторов, их сочетание приводит к случайному набору переменных описывающих объект или явление. По характеру режимов модель бывают статистическими и динамическими.

Статистическая модель включает описание связей между основными переменными моделируемого объекта в установившемся режиме без учета изменения параметров во времени.

В динамической модели описываются связи между основными переменными моделируемого объекта при переходе от одного режима к другому.

Модели бывают дискретными и непрерывными, а также смешанного типа. В непрерывных переменные принимают значения из некоторого промежутка, в дискретных переменные принимают изолированные значения.

Линейные модели- все функции и отношения, описывающие модель линейно зависят от переменных и не линейные в противном случае.

На этапе выбора математической модели устанавливаются:

1. линейность и нелинейность объекта, процесса или системы

2. динамичность или статичность

3. стационарность или нестационарность

4. степень детерминированности исследуемого объекта или процесса

14. Математическая модель. Математическое моделирование.

При анализе сложных систем придерживаются системного подхода. Это предполагает максимальный охват всех взаимосвязей и анализ последствий принятого решения.

Основные моменты:

а) уточнение предметной области исследования, ее структуризация на задачи

б) выбор параметров и критериев оценки эффективности системы

в) подбор нужных математических моделей

г) уточнение деталей и целей анализа системы

д) синтезирование математических моделей, обеспечивающих достижение поставленных целей.

Целью моделирования являются получение, обработка, представление и использование информации об объектах, которые взаимодействуют между собой и внешней средой; а модель здесь выступает как средство познания свойств и закономерности поведения объекта.

Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия

Все модели можно разделить на два класса:

• вещественные (натурные, физические, математические)

• идеальные (наглядные, знаковые, математические)

15. Детерминированные и стохастические модели (13).

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

· детерминированные,

· стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить.

При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

16. Особенности построения математических моделей.

Для построения математической модели необходимо:

1) тщательно проанализировать реальный объект или процесс;

2) выделить его наиболее существенные черты и свойства;

3) определить переменные, т.е. параметры, значения которых влияют на основные черты и свойства объекта;

4) описать зависимость основных свойств объекта, процесса или системы от значения переменных с помощью логико-математических соотношений (уравнения, равенства, неравенства, логико-математические конструкций);

5) выделить внутренние связи объекта, процесса или системы с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций;

6) определить внешние связи и описать их с помощью ограничений, уравнений, равенств, неравенств, логико-математических конструкций.

Математическое моделирование, кроме исследования объекта, процесса или системы и составления их математического описания, также включает:

1) построение алгоритма, моделирующего поведение объекта, процесса или системы;

2) проверка адекватности модели и объекта, процесса или системы на основе вычислительного и натурного эксперимента;

3) корректировка модели;

4) использование модели

Математическое описание исследуемых процессов и систем зависит от:

1) природы реального процесса или системы и составляется на основе законов физики, химии, механики, термодинамики, гидродинамики, электротехники, теории пластичности, теории упругости и т.д.

2) требуемой достоверности и точности изучения и исследования реальных процессов и систем.

На этапе выбора математической модели устанавливаются:
линейность и нелинейность объекта, процесса или системы,
динамичность или статичность,
стационарность или нестационарность,
степень детерминированности исследуемого объекта или процесса.

При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической природы объектов, процессов или систем и, в основном, сосредотачиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.

Математическая модель никогда не бывает полностью тождественна рассматриваемому объекту, процессу или системе.

Основанная на упрощении, идеализации она является приближенным описанием объекта. Результаты, полученные при анализе модели, носят приближенный характер. Их точность определяется степенью адекватности (соответствия) модели и объекта.

Построение математической модели обычно начинается с построения и анализа простейшей, наиболее грубой математической модели рассматриваемого объекта, процесса или системы.

В дальнейшем, в случае необходимости, модель уточняется, делается ее соответствие объекту более полным.

Чем выше требования к точности результатов решения задачи, тем больше необходимость учитывать при построении математической модели особенности изучаемого объекта, процесса или системы.

Однако, здесь важно во время остановиться, так как сложная математическая модель может превратиться в трудно разрешимую задачу.

Наиболее просто строится модель, когда хорошо известны законы, определяющие поведение и свойства объекта, процесса или системы, и имеется большой практический опыт их применения.

Построение математической модели в прикладных задачах – один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Построить модель – значит решить проблему более, чем наполовину.

Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний.

Поэтому очень важно, чтобы при решении прикладных задач математики обладали специальными знаниями об объекте, а их партнеры, специалисты, – определенной математической культурой, опытом исследования в своей области, знанием ЭВМ и программирования.

17. Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент.

Компьютерное моделирование как новый метод научных исследований основывается на:

1) построении математических моделей для описания изучаемых процессов;

2) использовании новейших вычислительных машин, обладающих высоким быстродействием (миллионы операций в секунду) и способных вести диалог с человеком.

Суть компьютерного моделирования состоит в следующем:

1) на основе математической модели с помощью ЭВМ проводится серия вычислительных экспериментов, т.е. исследуются свойства объектов или процессов,

2) находятся их оптимальные параметры и режимы работы,

3) уточняется модель.

Вычислительный эксперимент позволяет

1) заменить дорогостоящий натурный эксперимент расчетами на ЭВМ,

2) в короткие сроки и без значительных материальных затрат осуществить исследование большого числа вариантов проектируемого объекта или процесса для различных режимов его эксплуатации,

3) это значительно сокращает сроки разработки сложных систем и их внедрение в производство.

Для проверки адекватности математической модели и реального объекта, процесса или системы результаты исследований на ЭВМ сравниваются с результатами эксперимента на опытном натурном образце.

Результаты проверки используются для корректировки математической модели или решается вопрос о применимости построенной математической модели к проектированию либо исследованию заданных объектов, процессов или систем.

Компьютерное моделирование и вычислительный эксперимент позволяют свести исследование "нематематического" объекта к решению математической задачи.

Этим самым открывается возможность использования для его изучения хорошо разработанного математического аппарата в сочетании с мощной вычислительной техникой.

На этом основано применение математики и ЭВМ для познания законов реального мира и их использования на практике.

18. Методы решения математических задач с помощью математического моделирования.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала.

Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

• В общем случае математическая модель реального объекта, процесса или системы представляется в виде системы функционалов

• Ф_i (X,Y,Z,t)=0,

• где X - вектор входных переменных, X=[x₁,x₂,x₃, ... , x_N]^t,

• Y - вектор выходных переменных, Y=[y₁,y₂,y₃, ... , y_N]^t,

• Z - вектор внешних воздействий, Z=[z₁,z₂,z₃, ... , z_N]^t,

• t - координата времени.

Построение математической модели заключается:

 в определении связей между теми или иными процессами и явлениями,

 создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Построение математической модели заключается:

 в определении связей между теми или иными процессами и явлениями,

 создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

По принципам построения математические модели разделяют на:

· аналитические;

· имитационные.

В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей.

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

· уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),

· аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование),

· задачи оптимизации,

· стохастические проблемы

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

· детерминированные,

· стохастические.

В детерминированных моделях предполагается

отсутствие всяких случайных воздействий,

элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные,

поведение системы можно точно определить.

При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистик

По виду входной информации модели разделяются на:

· непрерывные,

· дискретные.

Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

По поведению моделей во времени они разделяются на:

· статические,

· динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

№29 Метод конечного (контрольного) объема

Метод конечных объёмов — численный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных.

Описания

Выбирается некоторая замкнутая область течения жидкости или газа, для которой производится поиск полей макроскопических величин (например, скорости, давления), описывающих состояние среды во времени и удовлетворяющих определенным законам, сформулированным математически. Наиболее используемыми являются законы сохранения в Эйлеровых переменных.

Для любой величины , в каждой точке O(x,y,z,t) пространства, окруженной некоторым замкнутым конечным объемом, в момент времени t существует следующая зависимость: общее количество величины \phi в объеме может изменяться за счет следующих факторов:

· транспорт количества этой величины через поверхность, ограничивающую контрольный объем — поток;

· генерация (уничтожение) некоторого количества величины  внутри контрольного объема — источники (стоки).

Другими словами, при формулировке МКО используется физическая интерпретация исследуемой величины. Например, при решении задач переноса тепла используется закон сохранения тепла в каждом контрольном объеме.

Математическое

где:

· — изменение некоторой физической величины

· — реактивное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины

· — конвективное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины

· — диффузное слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины

· — источниковое слагаемое в абстрактном законе сохранения физической величины

Этот метод применяется, в частности, при моделировании задач гидрогазодинамики в свободном пакете OpenFOAM.