Приближенные методы решения уравнений.

Министерство образования и науки РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ

(МИИГАиК)

Факультет дистанционных форм обучения

Заочное отделение

Г.П.Емгушева, М.Д.Улымжиев

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по курсу:

«Высшая математика»

Для студентов 3 курса всех специальностей

Москва 2016

Составители:

Емгушева Г.П. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» МГУГиК.

Улымжиев М.Д. – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика»  МГУГиК.

«Вычислительная математика»: учебно-методическое пособие по курсу «Высшая математика» для студентов 3 курса всех специальностей факультета дистанционных форм обучения. – М.: МГУГиК, 2016, 37с.

Учебно-методическое пособие разработано в соответствии с утвержденной программой курса «Высшая математика», рекомендованы кафедрой высшей математики и утверждены к изданию Методической комиссией факультета дистанционных форм обучения МГУГиК.

Учебно-методическое пособие представляет собой руководство к выполнению лабораторно-практических работ по курсу «Вычислительная математика». Материал разбит на шесть параграфов, в которых содержатся необходимые теоретические сведения по темам: приближенные методы решения уравнений, численные методы решения уравнений,интерполирование, аппроксимация функций по методу наименьших квадратов, численное интегрирование с использованием       формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, квадратурная формула Гаусса, сопровождающиеся чертежами.   Приводятся решения типичных примеров. В конце каждого параграфа даны вопросы для самопроверки.

Рецензенты:

профессор кафедры «Высшая математика» МГУГиК Е.Г. Маркарян,

доцент кафедры «Теория вероятностей и математическая статистика» Финансового Университета при правительстве РФ О.А. Баюк.

Приближенные методы решения уравнений.

 При постановке математической задачи возникает вопрос о методе ее решения. Точный метод решения иногда или не нужен, или им  не всегда удается воспользоваться, достаточно найти приближенное решение с определенной степенью точности. В этом случае применяют численные методы решений, это относится к решению некоторых трансцендентных уравнений, то есть уравнений, в которых неизвестная находится под знаком трансцендентных функций, алгебраических уравнений степени выше третьей, приближенному вычислению интегралов, рядов и т.д.

Пусть задано уравнение

                               ,                                                      (1.1)

где функция определена и непрерывна на интервале (конечном или бесконечном). Допустим, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для любого корня найдется окрестность, не содержащая других корней уравнения.

Приближенное нахождение изолированных корней уравнения (1.1) складывается из двух этапов:

1. Отделение корней, то есть установление интервалов изоляции корней, внутри каждого из которых содержится только один корень уравнения.

2. Уточнение корней, то есть доведение их до заданной степени точности.  

Первый этап осуществляется графически или аналитически, где используется известная из курса математического анализа теорема  Больцано- Коши:

Теорема. Если непрерывная  функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , то есть , то внутри  отрезка  существует, по крайней мере, один корень уравнения (1.1).

Заметим, что этот корень будет единственным, если функция  имеет производную одного знака внутри отрезка .

 На втором этапе уточнение корней нелинейных уравнений можно проводить, используя различные итерационные методы.

Рассмотрим  примеры.

 Пример 1.1. Решить графически уравнение .

Решение. Запишем уравнение в виде . Построим графики функций .

                  Y

                    1         

                  0                                  X

Абсцисса точки пересечения графиков этих функций , что является приближенным значением корня заданного уравнения.

Пример 1.2. Отделить аналитически корни уравнения .

Решение. Обозначим . Составим таблицу знаков функции

		-1	0
	-	-	+	+

Следовательно, уравнение имеет один действительный корень, лежащий в промежутке . Для уточнения корня, найдем первую и вторую производную.

  В промежутке справедливо неравенство  значит, сохраняют знаки, то есть промежуток имеет один корень.

Замечание. При решении примера 1.2 применили итерационный метод, суть которого заключается в следующем. На каждом из интервалов изоляции корня функция  удовлетворяет условиям: 1) непрерывна вместе с  2)  3) сохраняют знаки .