Определитель матрицы.Обратная матрица

Матрицы

Определители

Практикум

Матрицы и действия над ними

Размерностью матрицы (обозначается ) называется количество её строк  и столбцов .

1) Сложение матриц:

Суммой двух матриц  и  одинаковой размерности называется матрица  той же размерности, элементы которой определяются по формулам :

                               (1.1)

. Для обозначения суммы матриц используют запись .

Свойства сложения матриц:

1. Коммутативности ;

2. Ассоциативности .

Эти свойства позволяют нам не заботиться о порядке следования слагаемых матриц.

2) Умножение матрицы на число:

Произведением матрицы  на вещественное число l называется матрица  той же размерности, что и матрица , элементы которой определяются по формуле:

                                    (1.2)

.Для обозначения произведения матрицы на число используется запись .

Свойства умножения матрицы на число:

1. Ассоциативности относительно числового множителя: ;

2. Дистрибутивности относительно суммы чисел: ;

3. Дистрибутивности относительно суммы матриц: .

Из операции умножения матрицы на число можно определить разность матриц как .

3) Транспонирование матриц:

    Матрица  называется транспонированной к матрице  (обозначается ) если ее элементы определяются по правилу:

          (1.3)

.

Свойства операции транспонирования матрицы:

1) ;

2)

3) .

4) Перемножение матриц:

Произведением матрицы на матрицу  называется матрица элементы которой определяются по формуле:

                                                    (1.4)   

.Матрица  называется произведением матрицы и что записывается .

Из формулы  видно, что матрицы перемножаются только в том случае, когда число столбцов первой матрицы, совпадает с числом строк второй матрицы.

Формулу (1.4) можно рассматривать как совокупность скалярных произведений вектор-строк матрицы  на вектор-столбцы матрицы .

Свойства перемножения матриц:

1)  - свойство ассоциативности;

2)  - свойство дистрибутивности относительно суммы матриц;

3)  - свойство ассоциативности относительно числового множителя;

4)  - свойство антикоммутативности.

Практикум

1.Вычислить :

1) , , .

2) , , .

2.Для данных матриц:

а) проставить размерность;

в) протранспонировать матрицы;

с) перемножить, если это возможно.

1) , , ,  ;       

.

2) , , , ; .

3. Решение типового задания

1.Для данных матриц , ,  вычислить :

Решение:

Прежде чем производить линейные действия над матрицами, необходимо убедится в том, что их размерности совпадают. Все три матрицы имеют размерности  по количеству строк и столбцов соответственно. Действия выполняем согласно формулам (1.1) и (1.2).

.

.

Для данных матриц , , , ,

.

а) проставить размерность; б) протранспонировать матрицы;

в) перемножить, если это возможно.

Решение:

а) Размерность матрицы определяется количеством её строк и столбцов. Матрица  имеет две строки и два столбца, матрица  - две строки и один столбец, и т.д. Поэтому:

, , , , .

б) Протранспонируем заданные матрицы. Для этого соответствующие строки матриц запишем столбцами: , ,    ; ,    .

в) Рассмотрим операцию перемножения. Перемножить можно лишь те матрицы в которых количество строк первой матрицы совпадает с количеством столбцов второй матрицы.

МатрицаА имеет размерность , а матрица – размерность , поэтому матрицы перемножить можно и в результате перемножения мы получаем матрицу-столбец размерности соответствующей крайним индексам матриц и : .

.

Рассмотрим подробно вычисление элементов матрицы . Данная матрица в символьном виде записывается так: . Она состоит из двух элементов обозначенных индексами:  и .

1) Для первого элемента  и , тогда формула (1.4) примет вид: . Индекс суммирования , изменяется от  до  т.е. суммирование элементов производится по внутренним индексам (они подчеркнуты). Распишем сумму:

.

Для следующего элемента поступаем аналогично:

.

2) Перемножение матриц можно определить через скалярное произведение вектор-строки матрицы  на вектор-столбец матрицы . Для нахождения элемента  возьмем первую вектор-строку матрицы и умножим её скалярно на первый вектор-столбец матрицы :

;

.

Т.е. матрицы умножаются -ая строка на -ый столбец.

В обратном порядке эти матрицы перемножать нельзя. Произведение  не определено, т.к. внутренние индексы (они подчеркнуты) различны и мы не можем произвести по ним суммирование.

Перемножим теперь матрицы  и . Внутренние индексы совпадают, следовательно, произведение данных матриц определено и в результате получится матрица размерности .

Матрица  в символьном виде записывается так:

.

Необходимо определить шесть элементов , для этого возьмем соответствующую -ую строку матрицы  и умножить её на -ый столбец матрицы .

Поясним, как вычисляется, например элемент . Для этого мы взяли вторую вектор-строку матрицы  и умножили ее скалярно на второй вектор-столбец матрицы : . Или для вычисления элемента .

Определитель матрицы.Обратная матрица

Определитель (детерминант) матрицы – это число, (обозначаемое , ∆, ) которое сопоставляется квадратной матрице и может быть вычислено по ее элементам в соответствии со следующими правилами.

1) Детерминантом матрицы  порядка 1 называется единственный элемент этой матрицы:

                                            (2.1)

2) Для матрицы второго порядка мы имеем следующую формулу:

                          (2.2)

из произведения элементов главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали.

3) Для определителя третьего порядка применяют следующее правило:

1)Правило параллельного переноса.

                       (2.3)

т.е. дописываем первые два столбца определителя матрицы. Далее суммируем произведения элементов главной диагонали и двух параллельных и вычитаем из них произведения элементов побочной диагонали и двух ей параллельных (над верхними элементами диагоналей проставлены соответствующие знаки).

2) Правило треугольника.

   (2.4) 

4) Детерминантом матрицы

 порядка , при , называется число, определяемое формулой:

                               (2.5)

или

                               (2.6)

где  - определитель матрицы А, порядка , полученный вычеркиванием из начальной матрицы i–ой строки и j–го столбца, и называемый минором элемента   матрицы А. Формула (2.5) называется разложением определителя по строке, формула (2.6) – разложением по столбцу.

Алгебраическим дополнением элемента  матрицы А, называется произведение числа  на минор данного элемента и обозначается

.                                          (2.7)

Свойства определителя:

1)(равноправность строк и столбцов) Определитель не изменится, если поменять местами строки со столбцами (т.е. ).

2) Перестановка двух строк определителя (или двух столбцов) равносильна умножению определителя на . Четное количество перестановок не меняет знака определителя.

3)Если определитель имеет две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

4)Умножение всех элементов некоторой строки на число  равносильно умножению определителя на число .

5) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и определитель равен нулю.

6) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя пропорциональны какой-нибудь другой строке (столбцу), то определитель равен нулю. (Следует из свойств 3 и 4).

7)(Линейное свойство определителя)Если в определителе -го порядка некоторая -ая строка является линейной комбинацией двух других строк  и с коэффициентами  и , то

,

 где - определитель у которого -ая строка равна , а - определитель у которого -ая строка равна , а все остальные строки те же, что и у основного определителя.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие преобразования:

1) умножение строки (столбца) на число отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке (столбца) другую строку (столбец);

3) перестановка строк(столбцов).

8) Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца) умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится.

9.)Треугольный определитель равен произведению диагональных элементов

= .

нижний треугольный верхний треугольный

определитель        определитель

Матрица  - называется невырожденной (неособенной или несингулярной)матрицей если . В противном случае  - особенная (вырожденная или сингулярная).

Теорема:Всякая неособенная матрица имеет обратную матрицу, вычисляемую по формуле:

.                                      (2.8)

Свойства обратной матрицы:

1. ,

2. ,

3.  если  - неособенные матрицы одного порядка.

5. Практикум

1.Для данной матрицы  вычислить определитель:

1) методом параллельного переноса;

2) методом треугольника;

3) разложением по -ой строке и по -му столбцу;

4) вычислить, получив нулевые элементы в первом столбце используя элементарные преобразования со строками;

5) вычислить обратную матрицу .

1) , ,   2) , ;

6. Решение типового задания

Для данной матрицы ,  вычислить определитель:

1) методом параллельного переноса;

2) методом треугольника;

3) разложением по -ой строке и по -му столбцу;

4) вычислить, получив нулевые элементы в первом столбце используя элементарные преобразования со строками;

5) вычислить обратную матрицу  и проверить равенство .

Решение.

1) Согласно правила параллельного переноса, допишем к нашему определителю две первые строки и сделаем действия согласно схеме (2.3)

.

2) согласно схеме (2.4) вычислим определитель методом треугольников:

.

3) разложением по элементам 2-ой строки:

Выпишем миноры и вычислим их:

    , , .

Наше разложение по второй строке имеет вид:

.

Разложением по элементам 3-его столбца:

Аналогично предыдущего пункта записываем миноры, вычисляем их, получаем:

.

4) Используя элементарные преобразования со строками, получим нулевые элементы в первом столбце. Для этого:

1) умножим третью строку на (-2) и прибавим к первой строке,

;

2) умножим третью строку на (-3) и прибавим ко второй строке.

;

Получили определитель эквивалентный исходному

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца

5) Вычислить обратную матрицу и проверить равенство .  

Решение:

 Вычислим определитель матрицы:  

.

 Т.к. определитель отличен от нуля, то матрица не является вырожденной и для нее определена обратная матрица. Для её нахождения протранспонируем матрицу  и вычислим её алгебраические дополнения по формулам (2.7)

; 

;      ; ; ; 

;    ;

;          ;      .

Тогда обратная матрица согласно формуле (2.8) запишется в виде:

 .

Сделаем проверку и убедимся, что

Вынесем числовой множитель и перемножим матрицы согласно формуле (1.4)

.

Обратная матрица вычислена верно.