ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ

ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Задача 1.Найти сумму элементов 3-го столбца матрицы В,
если

Решение. При умножении матрицы размера  на матрицу размера  получится матрица размера  (3 строки и 4 столбца). Таким образом, в 3-м столбце будет 3 элемента: . Далее умножение матриц осуществляется по правилу: элемент  матрицы , стоящий в i-той строке и к-том столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-той строки матрицы А и к-того столбца матрицы С.  Таким образом, чтобы найти , нужно 1-ю строку матрицы А умножить на 3-й столбец матрицы С:

Аналогично, находим

Тогда сумма этих элементов

Задача 2.Найти , если

.

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

Так как , то  - существует. Обратную матрицу  находим по схеме

Здесь  - транспонированная матрица, которая получается из матрицы А, если поменять местами строки и столбцы:

 - союзная матрица, состоящая из алгебраических дополнений элементов .

Найдем алгебраические дополнения элементов  по формуле

где  - минор - определитель, остающийся после вычеркивания строки i и столбца j матрицы .

Получим

Итак,

Наконец, находим обратную матрицу

Задача 3. Найти сумму элементов 3-й строки матрицы , если

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

Запишем транспонированную матрицу

Так как надо найти сумму элементов 3-й строки матрицы , достаточно определить алгебраические дополнения для 3-й строки матрицы :

Тогда элементы 3-й строки матрицы :

Их сумма равна

Задача 4. Дана система уравнений

Найти

Решение. Согласно формулам Крамера решение системы определяется соотношениями

Найдем  

 - определитель из коэффициентов, стоящих перед неизвестными

Чтобы найти , необходимо элементы 3-го столбца определителя  заменить на столбец свободных членов системы

Находим z:

Задача 5. Решить систему уравнений, приняв в качестве базисных переменных y и z:

Решение. Решаем систему методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы – матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов

Среди коэффициентов при неизвестных есть 1, ей соответствует переменная z. Назовем z базисной переменной. Исключим базисную переменную z из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на 5 и сложим со 2-м. Получим эквивалентную исходной систему уравнений с матрицей

~

Умножим 2-е уравнение на (-1):

Считая новой базисной переменной у, исключим её из 1-го уравнения. Для этого умножим 2-е уравнение на 2 и сложим с 1-м:

В каждом уравнении выбирают одну базисную переменную, оставшиеся переменные называют свободными (в данном случае это х).

Запишем систему уравнений, соответствующую последней матрице

Выразив базисные переменные (у и z) через свободную (х), получим общее решение системы уравнений

Задача 6.  Найти

Решение. Воспользуемся формулой

где  - скалярное произведение векторов  и .

     Вычислим :

Найдем модули векторов

Тогда

Задача 7.Вектор  ортогонален вектору   Найти

Решение. Так как вектор  ортогонален вектору ,то , и значит, скалярное произведение этих векторов тоже равно нулю:

С другой стороны,

Итак,

 и

Задача 8.  Найти ,если

Решение. Проекция вектора  на вектор  определяется по формуле

.

Найдем координаты вектора :

Вычислим скалярное произведение векторов  и :

и модуль вектора :

Тогда

Задача 9. Известно, что а угол между  и  равен  Найти .

Решение. Согласно определению векторного произведения  имеет место формула

Тогда                          

Подставив исходные данные, получим

Задача 10. Найти площадь треугольника с вершинами в точках

Решение. Площадь треугольника, построенного на векторах и,может быть найдена по формуле

где векторное произведение векторов и .

Примем ,  Вычислим координаты векторов  и :

Найдем векторное произведение этих векторов

Тогда

Следовательно,

Задача 11.Определить , при котором компланарны векторы  и

Решение. Условие компланарности трех векторов имеет вид

где  -смешанное произведение векторов и  - вычисляется по формуле

Подставляя исходные данные, получим

откуда

Задача 12.Найти объём треугольной пирамиды с вершинами в точках

Решение. Найдем координаты векторов , , , на которых построена пирамида:

Вычислим смешанное произведение этих векторов

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах , , , равен

Задача 13.Записать уравнение прямой, проходящей через точки

Решение. Уравнение прямой, проходящей через две точки имеет вид

Подставляя координаты точек А и В, получим

Задача 14.Написать уравнение прямой, проходящей через точку , перпендикулярно плоскости

Решение. Так как прямая перпендикулярна плоскости, то в качестве направляющего вектора  прямой можно взять нормальный вектор  плоскости.

Тогда

Поскольку уравнение прямой, проходящей через точку  с направляющим вектором , имеет вид

получим

Задача 15.Определить, при каких  и  параллельны прямые

и

Решение. Условие параллельности двух прямых – это условие коллинеарности  их направляющих векторов   и

Подставляя координаты и  получим

Тогда

Задача 16.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение. Уравнение плоскости, проходящей через три точки  имеет вид

Вычисляем определитель

Получаем уравнение плоскости

Задача 17.Определить, при каком А прямая  параллельна плоскости

Решение. Условие параллельности прямой и плоскости – это условие ортогональности направляющего вектора  прямой и нормального вектора  плоскости:

Применяя эту формулу для  и  получим

 т. е.

Задача 18.Найти точку пересечения прямой

и плоскости

Решение. Перейдем к параметрическим уравнениям прямой

Решение. Уравнение прямой пересечения двух плоскостей получим, решив совместно систему уравнений методом Гаусса.

-3

Составим расширенную матрицу системы уравнений

~

Возьмем у в качестве базисной переменной и исключим у из 2-го уравнения, для чего умножим 1-е уравнение на (-3) и сложим со 2-м уравнением. Получим

 

~

Разделим 2-е уравнение на (-4):

-3

~

Возьмем в качестве следующей базисной переменной х и исключим её из первого уравнения, умножив 2-е уравнение на (-3) и сложив с 1-м уравнением:

Запишем получившуюся систему уравнений:

Выразим базисные переменные х и у через свободную переменную z:

Обозначив , получим параметрические уравнения прямой

Исключив параметр , перейдем к каноническим уравнениям прямой

Задача 20.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки  параллельно вектору

Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Тогда векторы  - компланарны. Запишем условие компланарности трех векторов:

Решение. Пусть - произвольная точка искомой плоскости. Обозначим  - направляющие векторы прямых,  Уравнение искомой плоскости получим, записав условие компланарности векторов  где А – точка, лежащая в искомой плоскости (в качестве такой точки можно взять любую точку, принадлежащую любой из двух прямых, например, А(-1; 0; 3). Так как  получим

Решение. Собственные значения  и  матрицы А находим, решая характеристическое уравнение:

Задача 23.Найти координаты вектора  в базисе

Решение. При разложении вектора  по базису , , необходимо представить  в виде

Здесь  - есть координаты вектора  в базисе , .

Запишем это равенство в координатной форме

Оно равносильно системе уравнений

Решим систему, например, по формулам Крамера:

Тогда

Значит, координаты вектора  в базисе ,

.

Задача 24.Определить вид и расположение кривой

Решение. Чтобы определить, какая кривая представлена данным уравнением, необходимо привести уравнение к каноническому виду. Для этого выделим полные квадраты при переменных x и y:

Полученное уравнение соответствует уравнению эллипса

с полуосями  и центром в точке

Задача 25. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, если её действительная полуось равна 3, а расстояние между фокусами

Решение. Уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, имеет вид

Решение. Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при  В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида  Разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень переменной, т. е. на

Так как  при  каждая из дробей ,   стремится к нулю, получим

Задача 27. Вычислить

Решение. При  числитель и знаменатель дроби стремятся к 0. Это неопределенность вида  Разложим на множители числитель и знаменатель дроби и выполним сокращение

Задача 28.  Вычислить

Решение. В данном случае имеет место неопределенность вида  так как при  числитель и знаменатель стремятся к нулю. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражения, сопряженные к ним, т. е. на

Задача 29. Вычислить

Решение. При  числитель и знаменатель – бесконечно малые величины. Заменим их эквивалентными бесконечно малыми.

Решение. Это неопределенность . Раскрываем её с помощью второго замечательного предела

В данном случае  Поэтому

Задача 31.Вычислить  

Решение. При  имеем неопределенность .

Решение. Применяя формулы дифференцирования произведения и частного    

получим

Подставим в производную

Замечание. Здесь и далее используются формулы дифференцирования, приведенные в конце работы.

Задача 33. . Найти

Решение. Применим правило дифференцирования сложной функции: если  то

В данном случае

поэтому

Тогда

Задача 34.   Вычислить

Решение. Это показательно-степенная функция. Преобразуем её в показательную, используя свойства логарифмов:

Решение. Преобразуем данную функцию

Решение. Функция  задана в неявном виде – уравнением  Воспользуемся формулой дифференцирования неявно заданной функции:

Так как

то

Задача 37.  , где  Найти  при

Решение. Согласно формуле дифференцирования сложной функции  где  имеем

Так как

 то

Тогда

Задача 38.Найти , если

Решение. Функция  заданапараметрически – уравнениями .

В этом случае можно воспользоваться формулой

Так как  

то

Задача 39. Найти асимптоты кривой

Решение. Асимптоты бывают вертикальные и наклонные. Прямая  является вертикальной асимптотой кривой  если

Прямая  является наклонной асимптотой кривой  если существуют конечные пределы

Так как знаменатель дроби  никогда не обращается в 0 (D=-3<0), значит, не существует точек, обращающих саму дробь в бесконечность, и вертикальных асимптот нет.

Ищем наклонные асимптоты:

Тогда наклонная асимптота имеет вид

Задача 40. Найти интервалы убывания функции

Решение. Функция  убывает, если , и возрастает, если  Найдем

Определим знаки производной и промежутки монотонности функции:

Итак, функция убывает на интервале .

Задача 41.Найти интервалы выпуклости функции

Решение. Функция  является выпуклой, если  и вогнутой, если . Найдем

;

Определим знаки , а также промежутки выпуклости и вогнутости функции:

		-3		0
		0			+

Итак, функция выпукла при

Найти точки разрыва и установить их характер.

Решение. Функция  называется непрерывной в точке , если  определена в некоторой окрестности этой точки и имеет в ней конечный предел, причем

Последнее равенство означает, что

Точки, в которых не выполняется, хотя бы одно из перечисленных условий, называются точками разрыва функции . Различают точки разрыва I и II рода.

Если  - точка разрыва и хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен , то это разрыв II рода.

В том случае, когда  - точка разрыва, но односторонние пределы конечны, имеем разрыв I рода:

   - устранимый, если

   - со скачком, если

(величина скачка ).

Рассмотрим заданную функцию при . Здесь  Функция не определена в точке , значит, в этой точке разрыв.

Вычислим односторонние пределы:

Итак,  значит, при  имеем устранимый разрыв I рода.

Если  то  Функция не определена в точке  значит, это точка разрыва.

Вычислим односторонние пределы:

Так как - точка разрыва II рода.

В качестве точки, похожей на разрыв, следует рассмотреть , так как при переходе через эту точку функция  меняет свой вид.

В этой точке функция определена: 

Найдем односторонние пределы:

Итак, для точки  односторонние пределы конечны и различны, значит, это разрыв I рода со скачком:

Таким образом, заданная функция имеет 3 точки разрыва: устранимый разрыв I рода при ; разрыв II рода при  разрыв I рода со скачком при .

Задача 43.Найти максимальную скорость возрастания функции  в точке М(2;1).

Решение. Известно, что максимальная скорость возрастания функции равна модулю градиента, а сам градиент – это вектор

Найдем градиент функции :

Вычислим градиент в точке М (2;1):

Тогда максимальная скорость возрастания функции

Задача 44.Найти производную функции  в точке М (1;-3) в направлении вектора

Решение. Производная функции по направлению вектора  определяется по формуле

где  - направляющие косинусы вектора ,

Найдем частные производные функции :

Их значения в точке М(1;-3) равны

Вычислим направляющие косинусы вектора :

Тогда производная функции по направлению равна