Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию. Построить график.

ПРОИЗВОДНАЯ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 2

УКАЗАНИЕ.При решении последующих примеров, кроме таблицы производных основных элементарных функций, будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции.

Задача. Вычислить производные заданных функций.

1.

Решение.y’=

2.

Решение. y’

3.

Решение.y’=

4.

Решение.Функция задана неявно. Продифференцируем обе части равенства как функцию от х, затем выразим .

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТИПА 3

Задача. Провести полное исследование заданных функций и построить их графики:

1)

Решение.

1. Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента , то есть

D(y): R, E(y)=R

а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2. Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода .

Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:

	+		–		+
		max		min

3. Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

	-	0	+
		т.п.

Значение  является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки

4. Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты  воспользуемся формулами

Имеем

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

 5. Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба , и точку  пересечения графика с осью . С учетом результатов предыдущих исследований строим кривую:

2)

Решение.

1. Область определения.

2. Исследование функции на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки . Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Итак, точка  – точка разрыва второго рода заданной функции, а прямая  – вертикальная асимптота графика.

3. Исследование функции на экстремум и промежутки монотонности.

 следовательно функция не имеет точек экстремума. Так как  для всех точек из , то функция возрастает во всей области определения.

4. Исследование графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Поскольку , график не имеет точек перегиба.

Очевидно, что при , а при . Следовательно, график функции вогнутый при  и выпуклый при .

5. Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая  является горизонтальной асимптотой графика.

6. Построение графика.

Очевидно, график пересекает оси координат в точках  и имеет вид:

Вопросы к зачету

Примерные вопросы для подготовки к зачету

1. Функции, способы их задания, классификация.

2. Окрестность точки. Предел последовательности.

3. Односторонние пределы. Необходимые и достаточные условия существования предела. Геометрический смысл предела.

4. Определение предела функции. 

5. Теоремы о пределах (свойства пределов).

6. Первый замечательный предел.

7. Второй замечательный предел, его обоснование, применение в финансовых вычислениях. 

8. Непрерывность функции в точке и на отрезке.

9. Непрерывность основных элементарных функций.

10.Точки разрыва функций.

11.Производная функции, ее геометрический и механический смысл.

12.Основные формулы дифференцирования.

13.Дифференциал функции одной переменной. Определение, условия существования, геометрический смысл, свойства.

14.Правило Лопиталя, его использование для раскрытия неопределенностей при нахождении пределов.

15.Монотонные функции. Необходимый и достаточный признаки монотонности функции.

16.Локальный экстремум функции. Необходимый признак экстремума функции.

17.Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба.

18.Асимптоты графика функции. Общая схема исследования функции и построения графика.

19.Производные неявных функций и производные высших порядков.

20.Производные сложной функции нескольких переменных.

Приложение 1

Таблица производных основных элементарных функций

1.
2.		.
3.		.
4.	;	;
	;
5.	;	;
	;
6.	а) ;	б)
	в) ;
	г) ;
	д) ; е) если задана сложная функция , где , т.е. , и каждая из функций ,  дифференцируема по своему аргументу, то .