Насколько убедительно приводимое далее доказательство?

Однажды, когда в юрте собрались друзья Омирбека, зашел разговор о молодости и старости.

Говорили, что и силы уже не те, что глаза видят хуже, да и слух пошаливать стал.

Один только Омирбек тихонько посмеивался.

– Чему ты улыбаешься? – спросили его.

– Тому, что я, хотя мне, как вы знаете, пятьдесят один год, сохранил силу молодых лет.

– Как ты это можешь доказать?

– Очень просто. Вы все знаете большой камень, который лежит на повороте дороги?

– Знаем!

– Ну, так я в юности не мог его поднять.

– А сейчас?

– И сейчас не могу. Значит, моя сила осталась прежней.

Какая ошибка допускается в рассуждении?

В книге Эразма Роттердамского «Разговоры запросто» есть такая сценка. Собрались однажды несколько человек и заспорили, какая часть человеческого тела самая почтенная. Один высказал предположение, что глаза, второй – что сердце, третий – что мозг, одним словом, каждый говорил иное и приводил свои доводы.

Один сказал: «А по-моему, самая почтенная часть та, на которой мы сидим». Все сочли это мнение нелепым, но он прибавил: «В народе говорят: кто садится первым, тому и почета всего больше. А почетное это право принадлежит названной части».

Какая ошибка допущена в доказательстве?

Американский логик Р.М. Смаллиан приводит следующее, восходящее к математическому фольклору, доказательство того, что существует лошадь с тринадцатью ногами.

Требуется доказать, что есть по меньшей мере одна лошадь, у которой тринадцать ног. Выкрасим всех лошадей в мире либо в синий, либо в красный цвет по следующей схеме. Прежде чем красить лошадь, сосчитаем, сколько у нее ног. Если у лошади ровно тринадцать ног, то выкрасим ее в синий цвет. Если же у лошади число ног окажется либо меньше, либо больше тринадцати, то выкрасим ее в красный цвет. Предположим, что мы выкрасили всех лошадей в мире. У синих лошадей по тринадцати ног, у красных число ног отлично от тринадцати. Выберем наугад какую-нибудь лошадь. Если она окажется синего цвета, то наше утверждение доказано. Если же она будет красного цвета, то выберем наугад вторую лошадь. Предположим, что вторая лошадь окажется синего цвета. Тогда наше утверждение опять-таки доказано. А что если вторая лошадь красного цвета? Тогда это будет лошадь другого цвета, и мы приходим к противоречию: откуда взяться другому цвету, если каждую лошадь в мире мы выкрасили только в один цвет?

В чем ошибка рассуждений отца и матери?

В одном старом китайском анекдоте речь идет о том, что люди, не являющиеся ровесниками в этом году, в следующем году могут оказаться ровесниками.

Родилась в семье девочка. Приятель пришел к отцу и стал сватать девочку за мальчика, которому было всего два года. Отец рассердился и сказал:

– Моей девочке всего год, а мальчишке уже два. Когда ей будет двадцать лет, ему будет уже сорок. Зачем мне выдавать свою дочь за старого жениха!

Его слова услышала жена и возразила:

– Сейчас нашей дочке один год, а в будущем году ей будет два, и они станут ровесниками.

По какой схеме идет доказательство? Является оно прямым или косвенным?

Один английский экономист сказал: «Любая короткая фраза об экономике внутренне лжива». Но сама эта фраза, являющаяся короткой, есть фраза об экономике, точнее говоря, фраза о фразах об экономике. Как таковая она тоже должна быть внутренне лживой. Но то, что она лжива, означает, что есть короткие фразы об экономике, не являющиеся лживыми. Следовательно, некоторые короткие фразы не являются внутренне лживыми.

Вытекает ли из универсального сомнения в знании существование несомненного знания? Можно ли высказывание «Если всякое знание, кроме этого, сомнительно, то существует несомненное знание» использовать в качестве аргумента в доказательстве того, что есть несомненное знание?

Иногда утверждается: «Всякое знание сомнительно». Но само это утверждение выражает определенное знание (а именно, знание о знании) и как таковое тоже должно быть сомнительным: «Если всякое знание сомнительно, то сомнительно, что всякое знание сомнительно».

Утверждение «Всякое знание, кроме этого, сомнительно» само выражает знание, притом несомненное знание. Последнее можно сформулировать в утверждении «Существует несомненное знание». Имеем, таким образом, условное высказывание: «Если всякое знание, кроме этого, сомнительно, то существует несомненное знание».

19.Определите, какие ошибки допускаются в следующих доказательствах:

а) То, что должно быть, является добром. Но зло должно быть. Значит, зло есть добро.

б) Если бы не было времени, то не было бы ни одного дня. Если бы не было ни дня, то всегда стояла бы ночь. Но если бы всегда стояла ночь, было бы время. Следовательно, если бы не было времени, то оно было бы.

в) Что является естественным, то является хорошим. Делать ошибки естественно. Значит, делать ошибки хорошо.

г) Человеком можно назвать многих. Вы – человек. Значит, вами можно назвать многих.

д) Пегас есть крылатый конь. Следовательно, Пегас есть (существует).

В чем ошибка рассуждения Диодора Кроноса?

Древнегреческий логик Диодор Кронос был автором многочисленных парадоксов, среди которых имеется и следующее доказательство невозможности движения: «Если что-то движется, то оно движется или в том месте, в котором находится, или в том, в котором не находится. Но оно не движется в месте, где находится, ибо, если оно в нем находится, оно не движется, а покоится. Оно не движется также в месте, где не находится, ибо если чего-то где-то нет, то там оно и не движется. Поэтому ничто не движется». Когда Диодор вывихнул плечо и обратился к врачу за помощью, врач с иронией сказал ему: «Или ты вывихнул плечо в том месте, где оно находилось, или в том, где его не было. Однако в соответствии с твоим доказательством, направленным против движения, ты не мог вывихнуть его ни в том, ни в другом месте. Значит, ты его не вывихнул».

В чем ошибка рассуждения?

В одном старом софизме доказывается, что глаза не являются необходимыми для зрения: «Для того чтобы видеть, не обязательно иметь глаза. Без правого глаза мы видим. Без левого тоже видим. Поскольку кроме левого и правого глаза других глаз у нас нет, оказывается, что ни один глаз не является необходимым для зрения».

ЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАДОКСЫ

Описание листа бумаги

Осуществимо ли полное описание чистого листа бумаги на нем самом? Не напоминает ли приводимый далее детский стишок такое описание?

Допустим, что вам дали чистый лист бумаги и поручили описать этот лист на нем же. Вы пишете: это лист прямоугольной формы, белый, таких-то размеров, изготовленный из прессованных волокон древесины и т.д.

Описание как будто закончено. Но оно явно неполное! В процессе описания объект изменился: на нем появился текст. Поэтому к описанию нужно еще добавить: а кроме того, на этом листе бумаги написано: это лист прямоугольной формы, белый... и т.д. до бесконечности.

Кажется, что здесь парадокс, не так ли?

Хорошо известен детский стишок:

У попа была собака,

Он ее любил.

Она съела кусок мяса,

Он ее убил.

Убил и закопал,

А на могиле написал:

«У попа была собака...»

Смог ли этот любивший свою собаку поп когда-нибудь закончить надгробную надпись?

Парадокс каталога

Можно ли построить по схеме излагаемого далее парадокса другое рассуждение, напоминающее этот парадокс, но говорящее не о каталогах, а использующее другой конкретный материал? Возможно ли вообще составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на себя?

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылки на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Интересно отметить, что составление каталога всех каталогов, не содержащих ссылки на самих себя, можно представить как бесконечный, никогда не завершающийся процесс.

Допустим, что в какой-то момент был составлен каталог, скажем К₁, включающий все отличные от него каталоги, не содержащие ссылки на себя. С созданием К₁ появился еще один каталог, не содержащий ссылки на себя. Так как задача заключается в том, чтобы составить полный каталог всех каталогов, не упоминающих себя, то очевидно, что К₁ не является ее решением. Он не упоминает один из таких каталогов – самого себя. Включив в К₁ это упоминание о нем самом, получим каталог К₂. В нем упоминается К₁ но не сам К₂. Добавив к К₂ такое указание, получим К₃ который опять-таки неполон из-за того, что не упоминает самого себя. И так далее до бесконечности.

Суперигра

Является ли описываемая далее суперигра нормальной или нет? Какие другие парадоксы напоминают парадокс суперигры?

Назовем игру нормальной, если она завершается в конечное число ходов. Примерами нормальных игр могут служить шахматы, шашки, домино: эти игры всегда завершаются или победой одной из сторон, или ничьей. Игра, не являющаяся нормальной, продолжается бесконечно, не приводя ни к какому результату. Введем также понятие «суперигра»: первым ходом такой игры является установление того, какая именно игра должна играться. Если, к примеру, вы и я намереваемся играть в суперигру и мне принадлежит первый ход, я могу сказать: «Давайте играть в шахматы». Тогда вы в ответ делаете первый ход шахматной игры, допустим, е2–е4, и мы продолжаем партию до ее завершения (в частности, в связи с истечением времени, отведенного турнирным регламентом). В качестве своего первого хода я могу предложить сыграть в крестики-нолики и т.п. Но игра, которая мною выбирается, должна быть нормальной; нельзя выбирать игру, не являющуюся нормальной.

Возникает проблема: является сама суперигра нормальной или нет? Предположим, что это – нормальная игра. Так как первым ее ходом можно выбрать любую из нормальных игр, я могу сказать: «Давайте играть в суперигру». После этого суперигра началась, и следующий ход в ней ваш. Вы вправе сказать: «Давайте играть в суперигру». Я могу повторить: «Давайте играть в суперигру», и таким образом процесс может продолжаться бесконечно. Следовательно, суперигра не относится к нормальным играм. Но в силу того, что суперигра не является нормальной, своим первым ходом в суперигре я не могу предложить суперигру; я должен выбрать нормальную игру. Но выбор нормальной игры, имеющей конец, противоречит тому доказанному факту, что суперигра не принадлежит к нормальным.

Парадокс повешенного

Возможны ли неожиданные события, в частности неожиданная казнь?

В статье У. Куайна, опубликованной еще в 1953 г., речь шла о судье, приговорившем подсудимого к неожиданной казни через повешение. Возник парадоксальный вопрос: возможны ли вообще неожиданные события?

Однажды утром в воскресенье судья, который никогда не лгал, сообщил приговоренному к казни: «Вы будете повешены в один из дней на следующей неделе. Когда именно вас повесят, вы узнаете только утром в день вашей казни».

Осужденный стал рассуждать таким образом.

Казнь не может состояться в следующее воскресенье, в последний день указанного судьей срока: если она не состоялась до этого дня, то о том, что она произойдет в воскресенье, я буду знать уже в субботу вечером. Значит, меня не могут повесить в воскресенье, поскольку казнь, как сказал судья, будет неожиданной и я узнаю о ней только в утро дня казни.

Но в субботу меня тоже не могут повесить: поскольку я знаю, что в воскресенье меня не повесят, то если в пятницу утром ко мне не придут с объявлением о казни, уже днем в пятницу я буду твердо знать, что меня повесят в субботу. Казнь опять-таки не окажется неожиданной.

Рассуждая таким образом, осужденный исключил последовательно пятницу, четверг, среду, затем вторник и, наконец, понедельник. В итоге он пришел к выводу, что его вообще не могут повесить, поскольку ни один день недели не удовлетворяет условию неожиданности, указанному судьей.

О парадоксе повешенного написано столько работ, что он буквально утонул в море чернил. Предложены самые разные версии этого парадокса: с шаром, который спрятан в одном из нескольких ящиков; с тифом, сидящим за одной из закрытых дверей, и т.п.

Не ставя перед собой большой цели решения парадокса (хотя и она не исключена), попытайтесь воспроизвести рассуждения осужденного, что казнь не может оказаться неожиданной ни в одни из дней предстоящей недели и, значит, она вообще не состоится.

ПРАВДОПОДОБНЫЕ РАССУЖДЕНИЯ

Можно ли сказать, что, если человек с удовольствием ел картошку шесть дней подряд, он с не меньшим удовольствием будет есть ее в седьмой день и в последующие дни? Какова будет вероятность такого индуктивного заключения?

«Что мне не нравится в тебе, – говорит молодая жена мужу, – так это твое непостоянство. В понедельник тебе понравилась картошка, во вторник тебе понравилась картошка, в среду тебе понравилась картошка, в четверг тебе понравилась картошка, в пятницу тебе понравилась картошка, в субботу тебе понравилась картошка, а вот в воскресенье ты вдруг заявил, что она тебе не нравится».

Если в семье пятеро детей и все девочки, то какой вывод более вероятен: индуктивное обобщение «Шестой ребенок тоже будет девочкой» или же утверждение «Шестой ребенок будет мальчиком»?