Системы линейных уравнений.

Алгебра матриц

1. Линейные действия с матрицами. Транспонирование. Квадратной матрицей порядка  называется таблица из чисел , расположенных в строк и  столбцов:

(1)

Первый индекс i у элемента означает номер строки, второй индекс j – номер столбца, в которых стоит этот элемент. Диагональ называется главной диагональю матрицы .(добавить побочную)

Две матрицы и одного и того же порядка считаются равными, если все соответствующие их элементы равны, т.е.  =

(i, j = 1,2 …,n). Матрицы разных порядков не сравниваются между собою.

Линейными преобразованиями над матрицами называются сложение матриц и умножение их на число. Оба этих действия определяются поэлементно:

,

.

78

Свойства сложения матриц и умножения их на число:

1)

2)

3) (2)

4)

5)

Матрица , целиком состоящая из нулей, называется нулевой, для неё .

Сложение матриц имеет обратное действие – вычитание, которое также осуществляется поэлементно, например если , , то

Операция над матрицей , при которой её строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы – строками, называется транспонированием и обозначается . Например, если

,                то .

Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

, , .                                             (3)

Матрица, у которой все элементы, не стоящие на главной диагонали , равны нулю, называется диагональной.

Матрица называетсясимметрической, если она не меняется при транспонировании, т.е. . У симметрической матрицы  элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны.Матрица называетсякососимметрической , если при транспонировании она меняет свой знак, т.е. .  У кососимметрической матрицы на главной диагонали стоят нули, а элементы, симметричные относительно этой диагонали, отличаются только знаком.

Определитель, составленный из элементов матрицы n-го порядка  (1), называется определителем матрицы и обозначается .

264.Пусть , . Найти

Решение . Пользуясь сочетательным и переместительным свойствами сложения матриц, имеем

,

Но

, ,

Поэтому

,  и

.

Полученная матрица  представляет пример диагональной матрицы второго порядка.

265.Показать, что матрица - симметрическая, если

и .

Решение. Имеем

= .

Ясно, что полученная матрица S  - симметрическая, так как она не меняется при транспонировании.

266.Показать, что матрица  - кососимметрическая, если

и

Решение. Имеем

.

Так как , то матрица  является кососимметрической.

267.Доказать, что для любой матрицы  матрица симметрическая.

Решение. Применяя свойства (3) транспонирования, получим равенство , т.е.  - симметрическая матрица.

268.Показать , что для матрицы n-го порядка  выполняется равенство

.

Решение.При умножении матрицы на число  все её элементы умножаются на . Вынося этот множитель из каждой строки за знак определителя (см. свойство 3, § 1, п.2), получим требуемое равенство.

269. Найти , если , .

270. Найти матрицу , если , .

271. Найти матрицу , если

, .

272. Показать, что матрица - кососимметрическая, если

, .

273. Показать, что матрица является нулевой матрицей, если

, .

274. Показать, что для любой матрицы матрица - кососимметрическая .

Указание. Стр. 267.

275. Дана произвольная матрица , показать, что она может быть представлена в виде суммы симметрической и кососимметрической матриц.

Указание. Рассмотреть матрицы и .

276. Выписать общий вид симметрической и кососимметрической матриц второго и третьего порядка. Найти их определители.

2. Умножение матриц.Произведение матрицы  на матрицу  (того же порядка) определяется следующим образом: для того, чтобы получить элемент - матрицы произведения , надо элементы i-ой строки матрицы  умножить на соответствующие элементы j-го столбца матрицы  и результаты сложить, т.е.

,                (4)

 - произведение i-й строки матрицы  на j-й столбец матрицы .

Свойства.

1) .

2) .

3) .                                                                                                  (5)

4) .

5) ,

где

- единичная матрица.

6) , , (6)

Заметим, что в общем случае , т.е. умножение матриц не обладает коммутативным свойством, поэтому всегда надо строго следить за порядком множителей. Матрицы, для которых выполняется равенство , называются перестановочными.

277. Найти произведение строки  на столбец .

Решение.  Надо перемножить соответственные элементы и сложить результаты:

.

278.Найти произведения   и  матриц:

и .

Установить, что матрицы   и неперестановочны.

Решение. Пусть . Чтобы найти элемент , надо умножить первую строку матрицы  на первый столбец матрицы :

Элемент  произведения получается умножением первой строки  на второй столбец :

Аналогично, умножая вторую строку  на столбцы , найдём:

;

Таким образом,

. Умножая теперь строки  на столбцы , получим (проверьте!)

.

Так как , то данные матрицы неперестановочны.

279. Найти произведение  данных матриц третьего порядка:

, .

Решение. Умножив по очереди строки матрицы  на столбцы , получим

.

280. Найти все матрицы, перестановочные с .

Решение. Пусть  - искомая матрица , тогда , , и равенство  соблюдается тогда и только тогда, когда , .

Таким образом, общий вид матрицы, перестановочной с данной матрицей  следующий:

.

281. Показать, что произведение матрицы  на транспонированную всегда является симметрической матрицей.

282. Матрица называется ортогональной, если выполняется условие

, или .Доказать, что матрица  - ортогональная, если

.

Решение. Из симметричности матрицы следует, что , поэтому

283.Произвести умножение квадратных матриц в следующих примерах:

а) , б) ,

в) , г) .

284. Показать, что матрицы  и  - перестановочны, если

, .

285. Найти матрицу , если

, .

286. Показать, что матрицы

,  перестановочны.

Найти их произведение.

287. Найти все матрицы, перестановочные с данными:

а) , б) , в) .

288. Найти общий вид матрицы  третьего порядка , для которой

.

289. Ненулевые матрицы  и , для которых , называются делителями нуля. Показать, что определитель хотя бы у одной из этих матриц равен нулю.

Указание. Использовать свойство умножения матриц (6).

290.Показать на примере матриц второго порядка , что равенство  невозможно.

3.Степени матриц. Многочлены от матриц. Целая неотрицательная степень матрицы определяется равенством:

и .

p раз

Для произведения степеней матриц справедливо равенство:

(p, q = 0, 1, 2, …)

Если дан многочлен , то многочленом от матрицы  называется матрица .

Всякие два многочлена о матрицы  перестановочны :

.

Если (нулевая матрица), то матрица  называетсякорнем многочлена.

291. Найти  для матрицы .

Решение. Вычисляем последовательно произведения по формуле (3):

, ,

и т.д.

Продолжая умножение, придём к формуле:

.

292. Матрица , у которой все элементы неотрицательны , а сумма элементов каждой строки равна единице, т.е. (i = 1, 2, …, n), называется матрицей переходных вероятностей или стохастической матрицей.Найти  и  стохастической матрицы

.

Решение. Находим  и  (предварительно за знак матрицы выносится общий множитель ):

,

.

Заметим, что матрицы  и  также являются стохастическими матрицами; вообще можно показать, что любая степень стохастической матрицы также является стохастической матрицей.

293. Найти все степени матрицы .

Решение.Имеем: , .

Значит, .

Ненулевая матрица , для которой  при некотором значении , называется нильпотентной. Наименьшее из числе , для которых , называется показателем (индексом) нильпотентности . В этом примере  = 3.

294. Найти многочлен от матрицы , если , а

.

Решение. Искомая матрица  определяется равенством:

.

295. Показать, что матрица  - корень многочлена .

Решение. Имеем

.

Т.е.  - корень многочлена .

296.Найти  для следующих матриц:

а) , б) , в) .

297. Найти все степени матриц и .

298. Матрица  называетсяинволютивной, если  и идемпотентной, если . Найти общий вид инволютивной и идемпотентной матрицы второго порядка.

299.Найти , если:

а) , ;б) , ;

в) , .

300.Найти общий вид матриц второго порядка, квадрат которых равен нулевой матрице, т.е .

301.Найти все матрицы  второго порядка, квадрат которых равен диагональной матрице , .

302.Найти условие, при котором матрица  второго порядка перестановочна со всеми матрицами второго порядка .

303.Каким условиям должны удовлетворять элементы матрицы  второго порядка, для того, чтобы она была перестановочна со всеми диагональными матрицами того же порядка?

4.Обратная матрица .Матрица называется обратной матрице , если . Для того, чтобы матрица  имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной , т.е. чтобы . Обратная матрица определяется по формуле

,                              (7)

где  - алгебраические дополнения элементов в определителе . Алгебраические дополнения для строчек матрицы  записываются в столбцы матрицы (7). Так, например, в первом столбце этой матрицы стоят алгебраические дополнения первой строки матрицы .

С помощью обратной матрицы решаются матричные уравнения вида:

и  (при .)                                                         (8)

Умножая первое уравнение на  слева, а второе на  справа, получим их решение в виде:

и .(9)

Свойства.

1) .

2) .                                                                            (10)

3) .

4) .

304. Найти обратную матрицу  для матрицы .

Решение. Покажем сначала, что данная матрица невырожденная, тогда она имеет обратную матрицу. Действительно,

.

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы :

, , , .

Следовательно, матрица , обратная к , имеет вид:

.

Проверим правильность полученного результата:

.

305.Найти матрицу, обратную для матрицы

.

Решение. Так как , то данная матрица является невырожденной.

Вычислим алгебраические дополнения:

, ,

Аналогично находим

Таким образом, 

Вычислим произведение:

что показывает правильность полученного результата.

306.Решить матричное уравнение  или .

Решение. По формуле (9) имеем . Так как

, то  поэтому

поэтому

307.Показать, что матрица , обратная симметрической матрице

, будет тоже симметрической.

308.Найти матрицы, обратные для следующих:

а) , б) , в) , г) .

309.Решить следующие матричные уравнения:

а) , б) ,

в)  и , если , .

310.Показать, что если , то .

311.Как изменится обратная матрица , если в матрице  переставить местами две строчки?

312.Показать, что если матрица не имеет обратной , то и её произведение на любую матрицу  также не имеет обратной.

313.Две матрицы  и  называются подобными, если они связаны равенством , где -некоторая невырожденная матрица .

Показать, что подобные матрицы имеют одинаковые определители.

5.Прямоугольные матрицы и элементарные преобразования матриц. Прямоугольная таблица чисел, расположенных в  строках и столбцах, называется прямоугольной матрицей размера , или ( ) матрицей:

.                                              (11)

Элементарными преобразованиями первого рода матрицы  называютсяследующие действия:

1) Умножение какой-либо строки на число ;

2)Перестановка двух строк;

3)Прибавление к элементам одной строки соответственных элементов другой строки, умноженных на число .

Элементарными преобразования второго рода матрицы называются аналогичные действия со столбцами.

С помощью элементарных преобразований любую матрицу  можно привести к специальному виду:

Число r единиц, стоящих на главной диагонали, не зависит от способа приведения матрицы  к виду матрицы  и называется рангом матрицы .

Матрицы, получаемые друг из друга элементарными преобразованиями называются эквивалентными и соединяются знаком ~. У эквивалентных матриц одинаковые ранги.

314.Найти ранги следующих матриц

.

Решение. Подвергнем эту матрицу следующим элементарным преобразованиям. Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-4), а к третьему столбцу прибавим первый, умноженный на (-10), затем ко второй строке прибавим третью, умноженную на (-4). После этих преобразований полученная матрица примет вид:

.

Теперь первую строку умножим на 5 и на (-3) и прибавим соответственно ко второй и третьем строка, а затем переставим местами вторую и третью строки; тогда будем иметь матрицу:

.

Далее, если умножить на (-1/5) и (-1/13) второй и третий столбцы, а затем вычесть из третьего столбца второй, то получим матрицу

.

Следовательно, ранг r данной матрицы равен двум, т.е. r=2.

315.

Решение. Посредством последовательных элементарных преобразований над данной матрицей получим следующую систему эквивалентных матриц :

Следовательно, ранг этой матрицы равен двум.

316.Найти ранги следующих матриц:

а) , б) , в) , г) , д) .

Системы линейных уравнений.

1.Формулы крамера.Пусть дана система линейных уравнений

(1)

Определитель n-го порядка , составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы. В зависимости от определителя системы различают следующие случаи:

а)Если определитель системы (1) отличен от нуля, то система имеет, и притом единственное, решение, которое может быть определено по формулам Крамера:

(2)

Где определитель n-го порядка (i=1, 2,…, n) получается из  путём замены i-го столбца свободными членами ;

б)Если , но хотя бы один из (i=1, 2,…, n), то система (1) совместна;

в)Если  и (i=1, 2,…, n), то система (1) либо несовместна, либо имеет бесчисленное множество решений [в последнем случае хотя бы одно уравнение системы (1) – следствие других ].

317.Решить систему

Решение.Определитель системы

Поэтому решение её определяется по формулам Крамера:

и

Но

тогда

Геометрически каждое из уравнений  и определяет прямую на плоскости x0y, и поэтому решение  определяет точку пересечения этих прямых.

318. Исследовать систему

Решение. Определитель данной системы , но определить  что показывает несовместность системы.

Геометрически это означает , что данные прямые не пересекаются, т.е. параллельны.

319. Решить систему

.

Решение. Определители  так как у них строки пропорциональны. Здесь оба уравнения системы определяют одну и ту же прямую и решением системы являются координаты любой точки этой прямой. Отсюда следует, что система имеет бесчисленное множество решений.

Найти все решения следующих систем:

320. 322.

321. 323. .

324.Решить систему

Решение. Вычисляем определители:

Так как , то данная система имеет только одно решение . Находим его по формулам Крамера:

Решить следующие системы:

325. 326.

327.

328.

2.Решение системы с помощью обратно матрицы. Пусть дана система (1).

Её можно записать в матричной форме

 ,                                                        (3)

Где  - матрица из коэффициентов при неизвестных, а  и  - столбцы, составленные соответственно из свободных членов и из неизвестных. Если матрица  - невырожденная, т.е. определитель системы , то, умножая обе части уравнения (3) на матрицу слева, получаем решение системы в матричной форме:

Найти решение следующих систем с помощью обратной матрицы:

329. 

Решение. Здесь , значит матрица   - невырожденная и искомое решение имеет вид (4):

Отсюда

330.

Решение. Определитель системы , и тогда

откуда и следует, что

331.

332.

333.

334.

335. 

3.Однородная система линейных уравнений.Система (1) называется однородной, если все свободные члены  в матричной форме однородная система имеет вид

,(5)

где 0 – нулевой столбец.

Однородная система всегда обладает тривиальным – нулевым решением:

т.е всегда совместна.

Если определитель системы  то нулевое решение будет её единственным решением. Для того, чтобы система (5) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю. Заметим, что система (5), имеющая одно ненулевое решение, имеет бесчисленное множество решений; если  и , то  при любом .

Пусть дана однородная система, например, трёх уравнений с тремя неизвестными

                      (5`)

Здесь могут быть следующие случаи:

а) Если , то ненулевое решение - единственное;

б) Если , но один из миноров второго порядка определителя отличен от нуля, тогда одно из уравнений системы является следствием двух других уравнений и данная система уравнений сводится к системе двух уравнений с тремя неизвестными, имеющей бесчисленное множество ненулевых решений ;

в) Если  и все миноры второго порядка определителя равны нулю, то система сводится к одному уравнению с тремя неизвестными , следовательно, данная система также имеет бесчисленное множество ненулевых решений.

Найти все решения следующих однородных систем:

336.

Решение. Вычислим определитель системы:

.

Поскольку , то данная система имеет только одно ненулевое решение:

337.

Решение. Определитель данной системы

Поэтому система имеет ненулевые решения. Замечаем, что миноры, содержащиеся в первых двух строчках, отличны от нуля, например,

Здесь для получения третьего уравнения надо прибавить к первому удвоенное второе (проверить!), т.е. третье уравнение- следствие первых двух, и система сводится к двум уравнениям:

Задавая произвольно одно из них, например Z,  из этих двух уравнений найдём значения X и Y. Полагая в данном случае Z=h, получим

,

откуда

Следовательно, решение системы можно записать в виде:

,

где h – произвольно число.

338.