Методы расчета электродинамических сил

В нормальном режиме эксплуатации электродинамические усилия невелики. Однако при коротком замыкании в сети по токоведущим частям электрического аппарата протекают токи в десятки раз превышающие номинальные. Эти токи создают ЭДУ, которые могут вызвать деформацию проводников и изоляторов.

Под электродинамической устойчивостью электрического аппарата понимается его способность противостоять электродинамическим силам, возникающим при больших токах короткого замыкания.

В большинстве случаев (для шинопроводов, автоматов и др.) для электрических аппаратов в справочниках указывается ток динамической устойчивости. I_ДУ – это максимальный ток, который способен выдержать данный аппарат. Многие аппараты подлежат обязательной проверке на динамическую устойчивость

где I_КЗmax – ударный ток КЗ.

При расчете электродинамических сил используются два основных метода. Первый метод основан на законе Ампера.

Закон Ампера

Элементарный проводник  с током i, расположенный в магнитном поле с индукцией  (рис. 8), создаваемой другими проводниками, испытывает силу , которая равна

            (26)

Направление индукции находится по правилу буравчика, а направление силы – по правилу левой руки (рис. 9). Зная направления индукции и силы, а также угол β между векторами  и  закон Ампера в скалярной форме

            (27)

Для определения полной силы F, действующей на проводник длиной l, необходимо просуммировать силы, действующие на все его элементы

         (28)

В случае любого расположения проводников в одной плоскости β = 90⁰, sinβ = 1, тогда сила определяется по формуле

                                        (29)

Второй метод основан на использовании энергетического баланса системы проводников с током.

Сила равна частной производной от электромагнитной энергии W данной системы по координате x, в направлении которой действует сила

                                        (30)

Этот метод применяется когда известны аналитические зависимости индуктивностей и взаимоиндуктивностей контуров от их геометрических размеров.

Энергия одного контура

                                     (31)

Энергия двух контуров с различными токами

                           (32)

где M – взаимная индуктивность контуров.

Для одного контура электродинамическая сила будет

                                  (33)

Электродинамические силы между параллельными

Проводниками.

Согласно закону Био–Саварра–Лапласа элементарная индукция dB от элемента dy и тока i₁ в месте расположения элемента dx (рис. 10) равна

(34)

где  – магнитная проницаемость воздуха, α – угол между током i₁ и лучом r.

Полная индукция от проводника l₁ в элементе dx

(35)

Элементарная сила на элемент dx будет  (36)

Полная сила на проводник l₂ будет

                              (37)

Обозначим

                               (38)

Коэффициент C зависит от геометрических размеров взаимного расположения проводников (геометрический коэффициент).

Рассмотрим частный случай, когда l₁ изменяется от –∞ до +∞ , а l₂ = l – конечной длины.

В этом случае перейдем к новой переменной, выразив переменные через известный параметр a (расстояние между проводниками)

                    (39)

Тогда изменятся пределы интегрирования от π до 0 и получим

              (40)

Таким образом

                            (41)

Установлено, что в случае l₁ = l₂ = l и если , то  дает погрешность не более 5%.

Если проводники не круглого сечения и нельзя принимать, что весь ток течёт по геометрической оси проводника, то геометрический коэффициент принимается по таблицам, графикам в справочнике (в учебнике).

Рассмотрим применение второго метода

Пусть оба проводника принадлежат к одной системе, то есть обтекаются одним током (рис. 11).

В соответствии с выражением (33)

зная формулу индуктивности одного контура

                          (42)

при условии, что ток протекает по геометрической оси проводника, при r = 1, получим

             (43)

Электродинамические усилия возникают не только между двумя параллельными проводниками, но и между перпендикулярными проводниками, в кольцевом витке (рис. 12) и между витками, в проводниках переменного сечения, между проводником и ферромагнитной массой. В контактных системах ЭДУ стараются отключить контакты. Это используется в токоограничивающих автоматах.