Криптосистемы с открытым ключом — RSA

В качестве второго примера криптографического алгоритма рассмотрим широко используемую систему с открытым ключом — RSA, названную в честь ее изобретателей — Ривеста (Rivest), Шамира (Shamir) и Альдемана (Aldeman). Защита RSA вытекает из того факта, что в настоящее время не существует эффективного метода нахождения простых множителей больших чисел. Можно показать, что любое целое число можно записать в виде произведения простых чисел. Так, например, 2100 может быть записано как:

2100 = 2 × 2 × 3 × 5 × 5 × 7.

Таким образом, 2, 3, 5 и 7 являются простыми множителями числа 2100. В RSA открытый и закрытый ключи создаются из очень больших простых чисел (содержащих сотни десятичных цифр). Взлом RSA эквивалентен обнаружению этих чисел. В настоящее время подобная задача неразрешима, несмотря на то, что математики работают над ней уже несколько столетий.

Создание открытых и закрытых ключей происходит в четыре этапа.

1. Выбираются два больших простых числа, р и q.

2. Вычисляется их произведение n = p×q и z = (p – 1)×(q – 1).

3. Выбирается число d, взаимно простое с z.

4. Вычисляется число е, такое, что e×d = 1 mod z.

Одно из чисел, например d, может впоследствии использоваться для расшифровки, а е — для шифрования. Только одно из этих двух чисел будет открытым, какое именно — зависит от используемого алгоритма.

Рассмотрим вариант, когда Алиса хочет, чтобы сообщение, которое она посылает Бобу, было конфиденциально. Другими словами, она хочет быть уверена в том, что никто кроме Боба не сможет перехватить и прочитать ее сообщение. RSA рассматривает любое сообщение т как строку битов. Каждое сообщение сначала разбивается на блоки фиксированной длины, и каждый очередной блок m_i представляется в виде числа в двоичном виде, лежащего в интервале 0 ≤ m_i < п.

Для шифрования сообщения т отправитель вычисляет для каждого блока m_i значение c_i = m^e_i(mod п), которое и отправляется получателю. Расшифровка на стороне получателя производится путем вычисления m_i = c^d_i(mod п). Отметим, что для шифрования необходимы e и n, в товремя как для расшифровки — d и n.

Сравним RSA с симметричными криптосистемами, такими как DES. Для RSA характерен недостаток — сложность вычислений, которая приводит к тому, что расшифровка сообщений, зашифрованных по алгоритму RSA, занимает в 100–1000 раз больше времени, чем расшифровка сообщений, зашифрованных по алгоритму DES. Точный показатель зависит от реализации. В результате многие криптографические системы используют RSA только для безопасного обмена общими секретными ключами, избегая применять этот способ для шифрования «обычных» данных.

Хэш-функции — MD5

В качестве последнего примера широко используемого криптографического алгоритма мы рассмотрим MD5. MD5 — это хэш-функция для вычисления 128-битных дайджестов сообщений (message digests) фиксированной длины из двоичных исходных строк произвольной длины. Сначала исходная строка дополняется до общей длины в 448 бит (по модулю 512), после чего к ней добавляется длина исходной строки в виде 64-битового целого числа. В результате исходные данные преобразуются в набор 512-битных блоков.

Структура алгоритма приведена на рис. 8.9. Начиная с определенного постоянного 128-битового значения, алгоритм включает в себя k фаз, где k — число 512-битных блоков, получившихся из дополненного согласно алгоритму сообщения. В ходе каждой из фаз из 512-битного блока данных и 128-битного дайджеста, вычисленного на предыдущей фазе, вычисляется новый 128-битный дайджест. Фаза алгоритма MD5 состоит из четырех циклов вычислений, на каждом из которых используется одна из следующих четырех функций:

F(x, y, z) = (х AND у) OR ((NOT х) AND z),

G(x, y, z) = (х AND z) OR (у AND (NOT z)),

H(x, y, z) = x XOR у XOR z,

I(x, y, z) = y XOR (x OR (NOT z)).

Каждая из этих функций работает с 32-битными переменными x, y и z. Чтобы проиллюстрировать, как используются эти функции, рассмотрим 512-битный блок b дополненного сообщения на фазе k. Блок b разделяется на 16 32-битных подблоков b₀, b₁, …, b₁₅. Как показано на рис. 8.10, в ходе первого цикла для изменения четырех переменных (назовем их p, q, r и s соответственно) в ходе 16 итераций используется функция F. Эти переменные переносятся на очередной цикл, а после окончания этой фазы передаются на следующую. Всего существует 64 заранее определенных констант C_i. Для указания циклического сдвига влево используется запись х <<< п: биты в х сдвигаются на п позиций, причем биты, ушедшие за левую границу числа, добавляются справа.

Рис. 8.10.16 итераций первого цикла MD5

Во втором цикле подобным же образом используется функция G, а H и I — соответственно в третьем и четвертом циклах. Каждый шаг, таким образом, включает в себя 64 итерации, и в очередной фазе используются вычисленные на предыдущей фазе значения р, q, r и s.

Библиографический список

1. Таненбаум Э., ван Стеен М. Распределенные системы. Принципы и парадигмы. СПб.: Питер, 2003. — 877 с.