Инертная и гравитационная массы всех тел строго пропорциональны друг другу.

 Это означает, что при надлежащем выборе единиц измерения гравитационная и инертная массы становятся тождественными, поэтому в физике говорят просто о массе. Тождественность гра­витационной и инертной масс положена Эйнштейном в основу общей теории относительности.

Отметим, что с самого начала массу по­лагали совпадающей с инертной массой тел, вследствие чего численное значение g нами было определено в предположении; что т_е — m_in. Поэтому (9.8) можно записать в виде

 (9.9)

Последнее соотношение позволяет определить массу Земли М_з. Подстановка в него измеренных значений w, R_з и g дает для массы Земли значение 5,98-10 ²⁴ кг.

Далее, зная радиус земной орбиты R_ор и время пол­ного обращения Земли вокруг Солнца Т, можно найти массу Солнца M_C. Ускорение Земли, равное cu²#₀p (со = 2я/Г), обусловливается силой притяжения Земли к Солнцу. Следовательно,

(9.10)

откуда может быть вычислена масса Солнца.

Подобным же образом были определены массы дру­гих небесных тел.

Основанием для установления закона всемирного тя­готения Ньютону послужили три открытых Кеплером за­кона движения планет:

Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце.

2. Радиус-вектор планеты описывает за равные вре­мена одинаковые площади.

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.

Первый закон Кеплера указывает на то, что планеты движутся в поле центральных сил. Рассмотрим движение частицы в центральном поле сил.

Центральная сила имеет вид:

      (9.11)

Поскольку эта сила консервативна, то можно ввести потенциальную энергию:

(9.12)

При движении в центральном поле момент силы равен нулю, т.к. угол между векторами в векторном произведении равен нулю:

(9.13)

Тогда из уравнения моментов  получаем, что L есть постоянная величина. При движении частицы в центральном поле полный момент импульса сохраняется несмотря на то, что система (одна частица) не является замкнутой.

рис. 9.4

Так как вектор L = const, т.е. его величина и его направление сохраняются, и вектор L перпендикулярен к векторам rи р, то, следовательно, движение частицы происходит в плоскости перпендикулярной к L . Имеем плоскую орбиту.

Если направим ось z по вектору L, то L = L_z и траектория лежит в плоскости, перпендикулярной ocи z. Тогда

(9.14)

Геометрическая интерпретация. Найдем площадь сектора ОАВ (рис. 9.5):

Здесь ОВ - угол между радиусом r = (ОВ) и (АВ) = vdt (в пределе - касательной). Тогда:

рис. 9.5

Введем понятие секториалъной скорости', площадь, описываемая радиусом-вектором за единицу времени:

(9.15)

Таким образом, получаем 2-ой закон Кеплера, гласящий, что секториальная скорость постоянна при движении в центральном поле:

Действительно, траектория тела в поле центральных сил представляет собой плоскую кривую —гиперболу, параболу или эллипс, — фокус которой совпадает с цент­ром сил.