Свойства многочленов Чебышева.

Погрешность интерполяции.

Теорема.1Пусть функция f дифференцируема n+1 на отрезке , содержащем узлы интерполяции . Тогда для погрешности интерполяции в точке  справедливо равенство , а

.

Пусть теперь  и  шаг таблицы, а . Несколько огрубляя оценку можно получить следующее неравенство:

.

Интерполяция многочленом степени n имеет (n+1)-й порядок точности относительно .

Минимизация оценки погрешности интерполяции. Многочлены Чебышева.

Трудности построения «хороших» интерполяционных многочленов иногда удается преодолеть, переходя к специальным многочленам или выбором специальной системы узлов интерполяции.

Предположим, что значения функции  можно вычислить в любой точке отрезка , однако по некоторым причинам целесообразно в дальнейшем вычислять ее приближенно, используя интерполяционный многочлен . При этом естественно стремится к такому выбору узлов интерполяции и интерполяционного многочлена, чтобы погрешность интерполяции  была минимальной. Такая задача называется задачей о наилучшем равномерном приближении. Доказано, что для широкого класса функций существует и единственен многочлен наилучшего равномерного приближения. П.Л.Чебышев вычислил точное значение погрешности многочлена наилучшего равномерного приближения для степенной функции:

.

Многочлены, на которых достигается минимум погрешности интерполяции , в честь П.Л.Чебышева названы многочленами Чебышева.

При n=0 и n=1 они определяются явными формулами

, а при  рекуррентной формулой

.

Запишем явные формулы для многочленов Чебышева  при n=2,3,4,5.

Аналогично можно записать явные формулы для .

Свойства многочленов Чебышева.

1. При четном  многочлен  содержит только четные степени  и является четной функцией, а при нечетном  многочлен  содержит только нечетные степени  и является нечетной функцией.

2. При  старший коэффициент многочлена  равен 2^n-1.

3. Для  многочлен Чебышева n-й определяется равенством :
 — алгебраический многочлен нулевой степени,
— алгебраический многочлен 1-й степени,
— многочлен 2-й степени, и т.д.

4. При  многочлен  имеет ровно  действительных корней, расположенных на отрезке  и вычисляемых по формуле
, .
Т.к. , то корни многочлена  на отрезке  совпадают с корнями уравнения . Эквивалентное преобразование этого уравнения дает .Т.к. , то имеется ровно  корней.

5. При  справедливо равенство . Если , то этот максимум достигается ровно в  точках. При этом , т.е. максимумы и минимумы многочлена Чебышева чередуются.

Доказано, что минимум погрешности интерполяции  на отрезке  достигается в нулях многочлена Чебышева , т.е. в точках , . При этом  и любой другой выбор узлов дает большую погрешность.

Для сравнения: если для приближения функции использовать многочлен Тейлора n-й степени , то оценка границы погрешности в  раз больше.

Пусть теперь отрезок интерполяции произволен . Стандартной заменой ,  отрезок  преобразуется в отрезок . Решение поставленной задачи дает выбор узлов

, которому отвечает значение верхней границы погрешности интерполяции, равное

Согласно теореме Вейерштрасса каждая непрерывная на отрезке функция может быть как угодно точно приближена многочленом.

Теорема.2 (Вейерштрасса)Пусть функция  непрерывна на отрезке . Тогда для любого  степени  такой, что .

Естественно предположить, что увеличивая количество узлов интерполяции, т.е. увеличивая степень интерполяционного многочлена, можно приблизить функцию как угодно точно. Однако ряд примеров показывает, что даже при большом числе узлов интерполяционный многочлен Лагранжа не гарантирует хорошее приближение функции.

С.Н.Бернштейн доказал, что последовательность многочленов Лагранжа, построенная для непрерывной функции  по равноотстоящим узлам (равномерная сетка) на отрезке , не сходится при возрастании числа узлов к .

 не стремится к нулю при .

Замечательный пример построен Карлом Рунге. Рунге рассмотрел бесконечно дифференцируемую функцию  (ее называют функцией Рунге). Последовательность интерполяционных полиномов Лагранжа, построенная по равноотстоящим узлам, не сходится к функции Рунге по равномерной норме. Более того, для обоих примеров установлено, что , а для функции Рунге показано, что .

Однако проблема сходимости для этой функции исчезает, если в качестве узлов интерполяции брать корни многочлена Чебышева .

Погрешность интерполяции функции Рунге многочленом Лагранжа, построенным по чебышевским узлам, стремится к нулю с ростом степени интерполяционного многочлена.

Теорема 3.(Фабера) Какова бы ни была стратегия выбора узлов интерполяции, найдется непрерывная на отрезке  функция , для которой .

Теорема Фабера отрицает наличие единой стратегии выбора узлов интерполяции для непрерывных функций.

Теорема 4.Пусть в качестве узлов интерполяции на отрезке  выбираются чебышевские узлы. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке  функции  метод интерполяции сходится.