Закон сохранения энергии. Центральный удар шаров. Гравитационное поле, его потенциал и напряженность.

     dA = Fdr = FcosαdS,                                              (3.2)

где α – угол между направлениями векторов F и dr, а полная работа на участке траектории между точками 1 и 2 будет равна интегралу, под знаком которого стоит правая часть выражения 3.2. Для его вычисления необходимо, конечно, знать зависимость проекции силы F_S на направление перемещения тела.

                         F_S   

                                                     dS            S

Рис. 3.2

Если эта зависимость представлена графически, то работа будет равна площади фигуры, ограниченной отрезком dS на оси абсцисс, двумя перпендикулярами к оси абсцисс, восстановленными из концов указанного отрезка до пересечения с траекторией, и участком траектории, расположенным между точками пересечения перпендикуляров с траекторией.

     Из выражения 3.2 следует, что, если α < π/2, то составляющая силы F_S совпадает по направлению с вектором V скорости движения, и работа считается положительной, если α > π/2, работа отрицательна, а при α = π/2 работа силы равна нулю.

     Единицей измерения работы является Джоуль: 1 Дж = 1 Н*м.

Скорость совершения работы

     N = dA/dt = Fdr/dt = FV                                        (3.3)

называется мощностью, единица измерения мощности – Ватт: 1 Вт = 1 Дж/с. Мощность – величина скалярная, она равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости.

     Если на покоящееся тело подействует сила и вызовет его перемещение и увеличение скорости тела от 0 до V, то сила совершит работу, которая пойдет на увеличение энергии механического движения телаdT –его кинетической энергии – на величину совершенной работы dA. Иными словами, dA = dT.

     По 2 закону Ньютона F = ma = mdV/dt, тогда

     dA = Fdr = drmdV/dt = mdVdr/dt.                       (3.4)

С другой стороны, V = dr/dt, поэтому можно записать, что

     dA = mVdV = dT,                                                   (3.5)

откуда, интегрируя mVdVв пределах от 0 до V, получаем, что кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью V, равна mV²/2, т. е.

     Т = mV²/2.                                                               (3.6)

Таким образом, работа по ускорению тела запасается в форме кинетической энергии, которая зависит только от массы тела и скорости его движения.

         Другой формой механической энергии является потенциальная энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.Как видим, в этом определении 2 аргумента. Что касается первого из них, а именно взаимного расположения, чаще всего речь заходит о подъеме тела на какую-либо высоту относительно поверхности Земли или других небесных тел или о его опускании сверху вниз. Понятно, что обе эти операции проводятся в гравитационном поле, поэтому, если надо поднять тело массы m на высоту h, то против силы тяжести необходимо совершитьработу, которая запасается в виде потенциальной энергии тела

П = mgh.                                                                  (3.7)

Из этой формулы следует, что тот же самый камень, падая с той же высоты на Луне, совершит меньшую, чем на Земле, работу. Далее, поскольку при подъеме тела начало отсчета выбирается произвольно, то энергия, определяемая уравнением 3.7, не является полной потенциальной энергией, а является лишь ее приращением при подъеме тела на высоту h относительно его исходного положения. Кроме того, следует помнить, что уравнение 3.7 выполняется при небольших значениях h, когда ускорение свободного падения можно считать постоянным. При подъеме же тел на большие высоты следует учитывать, что g = g(h), убывая с высотой пропорционально квадрату расстояния от центра Земли или другого небесного тела. Если же тело опускается с высоты h, то выделяемая потенциальная энергия полностью превращается в кинетическую энергию. При этом абсолютно все равно, по какой траектории совершается подъем тела или его опускание, важна лишь разница высот исходной и конечной точек перемещения. Такое поле, а в данном случае мы говорим о гравитационном поле, является потенциальным, а силы, действующие в таком поле, называются консервативными.

Покажем, что гравитационное поле действительно является потенциальным. Мы знаем, что на тело массой m со стороны Земли с ее массой M действует сила притяжения F = GmM/R², где R – расстояние от центра Земли до тела. При перемещении этого тела на расстояние dR затрачивается работа dA = – (GmM/R²)dR (знак минус указывает на то, что сила и перемещение противоположны по направлению). Если тело перемещается с расстояния R₁ на R₂, то затраченная работа А будет равна интегралу от dA в пределах от R₁ до R₂, тогда можно записать

A = m(GM/R₂ – GM/R₁).                                       (3.8)

Из выражения 3.8 действительно вытекает, что затраченная работа в гравитационном поле определяется только начальным и конечным положением тела, значит, поле тяготения на самом деле является потенциальным полем, а силы тяготения – консервативными. Поскольку работа таких сил равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком, можно записать

     А = – ∆П = – (П₂ – П₁) = П₁ – П₂ =

     = – m(GM/R₂ – GM/R₁).                                                    (3.9)

Поскольку в 3.9 входит только разность потенциальных энергий тела в его двух состояниях, то для удобства R₂ принимают равным бесконечности, что означает, что П₂ = 0. Тогда П₁ = – mGM/R₁, а, поскольку начальная координата тела была выбрана произвольно, то

П = – mGM/R.                                                        (3.10)

Величину П/m = φ = – GM/R                              (3.11)

называют потенциалом поля тяготения. Как следует из 3.11, это энергетическая характеристика поля.

Существует также понятие напряженности гравитационного поля, под которой понимают силу, которая действует на единицу массы находящегося в данной точке поля тела:

     F/m = g.                                                                   (3.12)

Как следует из приведенного выше определения и выражения 3.12, напряженность гравитационного поля не зависит от массы и является вектором ускорения свободного падения. Между потенциалом поля тяготения и его напряженностью существует аналитическая связь. Чтобы установить ее, найдем элементарную работу dA сил поля по элементарному перемещению dl тела массой m, основываясь на выражениях 3.8 - 3.11

     dA = – mdφ.                                                            (3.13)

С другой стороны,

     dA = Fdl = mgdl.                                                   (3.14)

Тогда

 mgdl = – mdφ                                                        (3.15)

или

g = – dφ/dl.                                                             (3.16)

Поскольку при перемещении могут меняться все координаты тела, вводится понятие градиента потенциала поля тяготения

     gradφ = (∂φ/∂x)i + (∂φ/∂y)j +(∂φ/∂z)k.     (3.17)

Тогда

     g = – gradφ.                                                            (3.18)

Знак минус в 3.18 указывает на то, что вектор напряженности поля тяготения направлен в сторону убывания его потенциала. 

     В отличие от кинетической энергии тела, которая всегда положительна, поскольку пропорциональна квадрату скорости движения тела, потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной. Если, например, принять за нулевую потенциальную энергию тела на поверхности Земли, то энергия этого же тела, находящегося на дне шахты глубиной h′ будет равна – mgh′.

Что касается второго аргумента в определении потенциальной энергии, он затрагивает энергию упругой деформации. Большую роль во многих механических устройствах играют пружины, стержни, которые подвергаются сжимающим или растягивающим усилиям. Известно, что сила упругости F_упр (т. е. сила, с которой тело сопротивляется приложенной силе) пропорциональна величине деформации x:

     F_упр = – kx,                                                               (3.19)

где k – коэффициент упругости (для пружин – жесткость). Знак минус в правой части уравнения 3.19 указывает на то, что F_упр противоположна по направлению деформации.

     По 3 закону Ньютона, деформирующая сила F_д равна по модулю силе упругости, но противоположна ей по направлению, т. е.

     F_д = – F_упр = kx.                                                      (3.20)

Элементарная работа dA, которая совершается силой F_д при бесконечно малой деформации dx равна

      dA = F_дdx = kxdx,                                                  (3.21)

а полная работа будет равна интегралу от kxdx при изменении аргумента от 0 до х, т. е. kx²/2. Эта работа тратится на увеличение потенциальной энергии деформируемого тела. Таким образом, для потенциальной энергии упруго деформированного тела можно записать равенство

     П = kx²/2.                                                                 (3.22)

     Полная механическая энергия системы складывается из ее кинетической и потенциальной энергий:

     Е = Т + П.                                                                (3.23)

     Итак, мы установили, что, если внешние тела совершают работу над системой, то ее энергия увеличивается на величину совершенной работы. С другой стороны, если система совершает работу над внешними телами, ее энергия уменьшается как раз на величину работы. А что будет, если система замкнута, то есть никакие внешние силы на нее не действуют и сама она не взаимодействует с внешними телами? Ответ дает закон сохранения и превращения энергии: энергия замкнутой системы остается постоянной при всех происходящих в ней процессах, при этом она может переходить из одних видов в другие, но общее ее количество остается постоянным. У этого закона есть и другая формулировка: невозможно создать такую машину, которая, совершив работу над внешними телами, вернулась бы в исходное состояние, не обменявшись с ними энергией. Машину, которая смогла бы сделать это, называют перпетуум мобиле (perpetuum mobile в переводе с латинского это вечное движение). Поэтому закон сохранения и превращения энергии говорит о невозможности построения перпетуум мобиле.

     Примером замкнутой системы может служить маятник (рис. 3.3). Если отклонить груз из точки 0 на угол α (т. е. в точку 1), его потенциальная энергия относительно точки 0 станет равной mgh. Кинетическая энергия груза в точке 1 равна нулю. Отпустим груз, он начнет двигаться по дуге вниз вправо, его скорость станет возрастать, а высота – уменьшаться, т. е. Т будет возрастать, а П – уменьшаться. В точке 0 кинетическая энергия становится максимальной, а потенциальная энергия равной нулю. Это значит, что исходная (в точке 1) потенциальная энергия полностью перешла в кинетическую (в точке 0). По инерции груз двигается с замедлением дальше – вправо вверх, – кинетическая энергия начинает уменьшаться, зато растет потенциальная энергия. В точке 2 П = mgh, Т = 0.

                                 1                            2     

                                                                                 h

                                                 0

Рис. 3.3

      Рассмотренные нами законы сохранения импульса и энергии хорошо проявляются при ударе двух или более тел. Удар – это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.

         При ударе в соударяющихся телах возникают столь большие внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. За счет этих внутренних сил тела испытывают деформацию, кинетическая энергия преобразуется в энергию упругой деформации.

Чаще всего относительная скорость движения тел после удара не достигает своего прежнего значения. При параллельном движении тел по разным траекториям столкновения быть не может, оно будет возможно, если у скоростей V₁иV₂ появятся нормальные составляющие, направленные в сторону друг друга, а это возможно, если векторы скорости будут образовывать друг с другом угол (рис. 3.4). Удары могут быть разными в зависимости от значения коэффициента восстановления

     ε = V_n’/ V_n,                                                              (3.24)

где V_n’ и V_n – нормальные составляющие относительной скорости движения после и до удара. Если ε = 0, удар неупругий, ε = 1 – абсолютно упругий удар. Обычно 0 < ε < 1: для свинца ε = 0, для стальных шаров ε = 0.56, для шаров из слоновой кости ε = 0.89.

                                                    V₁               V₂