Движение тел переменной массы. Космические скорости.

Лекции 3 и 4

Тема 1.2. Динамика материальной точки

Законы Ньютона. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения.

Импульс. Закон изменения и сохранения импульса.

Движение тел переменной массы. Космические скорости.

     В предыдущих двух лекциях мы рассматривали перемещения тел друг относительно друга, происходящие со временем, не задаваясь вопросом об их взаимодействии, которое ведет к изменению состояния движения. Эти вопросы относятся к области динамики. Изучение динамики мы начнем с изучения законов движения материальной точки, которой мы можем заменить протяженное тело тогда, когда размеры и форма тел роли не играют, а существенна лишь их масса. Протяженные тела мы тоже будем рассматривать, но ограничимся только теми случаями, когда движение является поступательным, при котором все точки тела имеют одинаковые скорость и ускорение, или когда нас будет интересовать только движение одной точки тела (обычно его центра тяжести). Поэтому мы будем оперировать только скоростью и ускорением движения тела в целом.

     Опыт показывает, что движение тела является результатом воздействия на него других тел. Взаимодействия тел, в результате которых участвующие в них тела могут сообщать друг другу ускорения, называются, по определению Ньютона, силами. В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением и направлением в пространстве, а также точкой приложения. Таким образом, сила – это векторная величина, которая является мерой механического воздействия на тело со стороны других тел (или полей), в результате которого тело приобретает ускорение.

Основные положения динамики были сформулированы Ньютоном в 1867 г. в виде трех законов движения. Эти законы являются обобщением огромного человеческого опыта, накопленного за века наблюдений, они играли и играют очень важную роль в технике. Сформулируем эти законы.

1. Всякое тело (всякая материальная точка) сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние. Способность тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью, потому этот закон иногда в литературе называют законом инертности. Эта способность должна проявляться относительно какой-либо системы отсчета. Наблюдения, однако, показывают, что 1 закон Ньютона справедлив по отношению не к каждой системе отсчета. Например, в вагоне, движущемся равномерно и прямолинейно, покоящиеся относительно вагона тела не приходят в движение без воздействия на них других тел, но стоит вагону начать заворачивать в ту или другую сторону, тормозить или ускорять ход, как появятся явные нарушения 1 закона Ньютона: покоившиеся до того тела пришли в движение. Система отсчета, по отношению к которой выполняется 1 закон Ньютона, называется инерциальной системой.Инерциальной также будетсистема,движущаяся относительно инерциальной системы равномерно и прямолинейно.

Инерциальной системой является, например, гелиоцентрическая система, начало которой помещено на Солнце, а оси направлены на определенные звезды. Система отсчета, связанная с Землей, не является инерциальной из-за того, что Земля вращается и вокруг собственной оси, и вокруг Солнца. Тем не менее эффект от ее неинерциальности при решении многих задач пренебрежимо мал.

Из опыта известно, что ускорения зависят не только от величины воздействия, но и от массы тел. Масса тела – физическая величина, определяющая его инерционные (инертная масса) и гравитационные (гравитационная масса) свойства. На сегодняшний день эти две величины с очень высокой степенью точности считаются равными друг другу.

2. Изменение движения пропорционально приложенной силе и происходит в том направлении, в каком действует сила.Если на одно и то же тело (m = const) подействовать разными по величине силами, то ускорение, которое оно будет приобретать, всегда пропорционально приложенной силе. Иными словами

a ~F.                                                                        (1.2.1)

Если одна и та же сила (F = const) действует на тела с разными массами, то приобретаемые ими ускорения по своей величине оказываются обратно пропорциональными их массам:

a ~1/m.                                                                     (1.2.2)

Учитывая выражения 1.2.1 и 1.2.2 и векторный характер силы и ускорения, мы можем записать 2 закон Ньютона в векторной форме:

a ~kF/m.                                                                  (1.2.3)

В СИ коэффициент пропорциональности в 1.2.3 равен 1. Часто уравнение 2 закона Ньютона записывают в другой форме:

F = ma = mdv/dt = d(mv)/dt = dP/dt,                    (1.2.4)

где Р – импульс или количество движения.

Выражение 1.2.4 является более общей формулировкой 2 закона Ньютона: скорость изменения импульса тела (материальной точки) равна действующей на него (нее) силе.Сила в СИ измеряется в Ньютонах (Н): 1 Н – это сила, которая телу массой в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы.

     На тело, однако, может действовать не одна, а сразу несколько сил. В этом случае справедливым оказывается принцип независимости действия сил: каждая из действующих сил будет сообщать телу ускорение так, как будто других сил нет вообще. А вместе они дадут результирующую силу, которая может быть найдена по правилам векторного сложения, и с этой результирующей силой будет совпадать по направлению результирующее ускорение.

3. Этот закон характеризует взаимодействие между телами: силы, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю, противоположны по направлению и действуют по прямой, соединяющей их центры масс:

F₁₂ = - F₂₁,                                                     (1.2.5)

где F₁₂ –сила, с которой первое тело действует на второе, а F₂₁  – сила, действующая со стороны второго тела на первое тело. Этот закон говорит о равенстве сил, приложенных к разным телам.

Законы динамики справедливы в отношении как тел обычных размеров, так и в отношении тел планетарных систем. Так, для гелиоцентрической системы Коперника Кеплер открыл 3 закона, носящих его имя. Формулируются они следующим образом.

1. Планеты движутся по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце (обозначено _* на рис. 1.2.1.

                        Р       *                                       А

Рис. 1.2.1

Ближайший к Солнцу конец большой оси эллипса называется перигелием (т. Р), а противоположный (т. А) – афелием. Понятно, что ускорение, сообщаемое Солнцем планете, движущейся в окрестности перигелия, будет гораздо больше, чем при ее движении в области афелия. Это означает, что планеты в разных частях траектории движутся с разными скоростями. Это отражено во втором законе Кеплера.

2. Радиус-вектор планеты за равные промежутки времени описывает одинаковые площади (рис. 1.2.2).

                                           *

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся друг к другу как кубы больших полуосей их орбит.

На основе анализа законов Кеплера и основных законов динамики Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения:

между любыми двумя телами (материальными точками) действует сила взаимного притяжения, модуль которой прямо пропорционален произведению масс этих тел (m₁ и m₂) и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними (r²):

F = Gm₁m₂/r²,                                                              (1.2.6)

где G = 6.672*10^-11 Н*м²/кг² – гравитационная постоянная. Ее значение означает, что два тела массами по 1 кг, находящиеся на расстоянии в 1 м друг от друга, взаимно притягиваются с силой, равной 6.672*10^-11 Н. Разумеется, это значение силы очень мало, чтобы мы могли обнаружить такое притяжение в нашей повседневной жизни, однако в случае планетарных систем гравитационное взаимодействие может быть очень сильным.

     Из нашего повседневного опыта мы знаем, что если отпустить тело, поднятое на какую-то высоту, оно упадет на пол или на землю, что является проявлением закона всемирного тяготения. Но коль скоро на тело массы m действует сила притяжения F, то в соответствии со 2 законом Ньютона тело начнет двигаться с ускорением. В случае падения это ускорение называется ускорением свободного падения g. Таким образом, в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массой m действует сила тяжести

     P = mg.                                                                        (1.2.7)

Ускорение свободного падения, g, на Земле в разных ее точках (из-за приплюснутости Земли на полюсах) неодинаково. На полюсе оно равно 9.83 м/с², а на экваторе 9.78 м/с², в Москве его принято считать равным 9.81 м/с². С высокой степенью точности сила тяжести на поверхности Земли равна силе гравитационного тяготения, т. е.:

     P = mg = F = GmM/R²,                                         (1.2.8)

где M – масса Земли, а R – ее радиус. Если же тело находится на высоте h от поверхности Земли, то сила тяжести будет меньше, чем на Земле, поскольку в знаменателе выражения 1.2.8 будет стоять не R², а (R + h)². Если, например, тело поднять на высоту, равную 0.41R = 0.41*6378 км = 2615 км, то сила тяжести будем в 2 раза, а на высоте в 6378 км уже в 4 раза меньше, чем в случае, когда то же самое тело находится на поверхности Земли.

В физике широко пользуются понятием веса тела. Под весом тела понимают силу, с которой тело под действием силы тяжести действует на опору или подвес. Если, например, тело неподвижно висит на подвесе, то оно действует на подвес с силой своего веса, а по 3 закону Ньютона подвес действует на тело с такой же по величине силой, но направленной в противоположную сторону. Если при этом система покоится относительно Земли, то, значит, сумма сил, действующих на тело, равна нулю. Это означает, что вес тела равен силе притяжения тела Землей. Однако такое равенство нарушается, если на тело, кроме силы тяжести, действует другая сила N, в результате чего тело движется с ускорением a ≠ g. Тогда уравнение движения запишется в следующем виде:

N + P = ma.                                                             (1.2.9)

Тело будет действовать на источник этой дополнительной силы силой, равной по величине, но противоположной по направлению силой своего веса

     P’ = - N = P – ma = mg – ma = m(g – a).            (1.2.10)

Если тело свободно движется в поле тяготения Земли, то g = a, и тогда P’= 0. Такое состояние называется состоянием невесомости, которое, например, наблюдается в космических кораблях. Обращаясь вокруг Земли с определенной скоростью, корабль, кроме силы притяжения, испытывает на себе и действие равной по величине, но противоположно направленной центробежной силы.

А каким, например, будет вес космонавта, вступившего на поверхность Луны, если его вес на Земле равен, скажем, 80 кг? Для этого надо определить ускорение свободного падения для Луны. Из уравнения 1.2.8 следует, что ускорение свободного падения на Земле

g_З = GM_З/R_З²,                                                          (1.2.11)

а на Луне

g_Л = GM_Л/R_Л².                                                        (1.2.12)

Поделив 1.2.12 на 1.2.11, получим, что

      g_Л = g_З M_Л R_З²/M_З R_Л².                                         (1.2.13)

Подставив в 1.2.13 R_З = 6378 км, M_З = 5.976*10²⁴ кг, R_Л = 1737 км, M_Л = 7.35*10²² кг, g_З = 9.81 м/с², находим значение g_Л =1.63м/с². Поскольку mg_З = 80 кг, то m = 80/g_З, тогда mg_Л = g_Л*80/g_З = 1.63*80/9.81 = 13.27 (кг).

На Земле существует явление, наглядно подтверждающее изменение сил притяжения с расстоянием, это явление приливов, которое приводит к образованию «горбов» на поверхности вод океанов, покрывающих большую часть поверхности Земли. Схема, поясняющая это явление, приведена на рис. 1.2.3.

Из уравнения 1.2.8 легко установить, какое ускорение сообщает центру Земли притяжение Луны:

 а₀ = GМ_Л/R₀²,                                                        (1.2.14)

где R₀ – расстояние от центра Луны до центра Земли. Массы воды, находящиеся на Земле со стороны Луны, за счет притяжения Луной приобретают ускорение

     а₁ = GМ_Л/(R₀ – R_З)²,                                              (1.2.15)

а массы воды на противоположной от Луны стороне Земли – ускорение

     а₂ = GМ_Л/(R₀ + R_З)².                                              (1.2.16)

     Луна                                                  Земля

                                                                                                                                                                                      а₁     а₀   а₂

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         Рис. 1.2.3

Сравнивая 1.2.14, 1.2.15 и 1.2.16 друг с другом, получаем, что a₁ > a₀ > a₂.

Поскольку Земля движется по замкнутой орбите, то в ее центре притяжение Земли Луной и центробежная сила уравновешивают друг друга. С учетом различия расстояний массы воды на дальней от Луны стороне Земли будут отбрасываться центробежной силой сильнее, чем ее центр. На ближней стороне Земли Луна притягивает массы воды сильнее (см. 1.2.15), чем центр Земли, к тому же и центробежная сила из-за меньшего значения радиус-вектора оказывается меньше, поэтому равновесие опять нарушается, массы воды движутся от центра Земли в сторону Луны. Так на поверхности Земли образуются два приливных «горба».

     Приливные волны из-за наличия у воды сил вязкости, возникающих при относительном движении соседних слоев жидкости, тормозят вращение небесного тела вокруг своей оси. Когда Луна была жидкой, сильное приливное действие Земли полностью затормозило вращение Луны, поэтому Луна обращена к земле всегда только одной стороной.

     Теперь проанализируем, к чему приводит уравнение 1.2.4, о котором мы говорили на предыдущей лекции: F = dP/dt, где Р – импульс или количество движения. Согласно этому уравнению, сила, действующая на материальную точку, равна скорости изменения во времени ее импульса. Попытаемся на примере взаимодействующих частиц вывести одно из следствий 3 закона Ньютона. Для начала рассмотрим только две частицы, массы которых при этом могут быть как равными, так и разными. Поскольку силы, действующие на каждую частицу со стороны другой, равны по величине, но противоположны по направлению, то с учетом выражения (1.2.4) мы можем записать

     dP₁/dt = - dP₂/dt,                                                    (1.2.17)

но это означает, что

     dP₁/dt + dP₂/dt = d(P₁ + P₂)/dt= 0.                    (1.2.18)

Вспомним, что, если производная по времени какой-либо физической величины равна нулю, то сама эта величина со временем не изменяется. Иными словами, мы пришли к выводу, что полный импульс системы из двух взаимодействующих материальных точек остается неизменным. Разумеется, это утверждение справедливо только в том случае, если на систему не действуют никакие внешние силы, т. е. когда речь идет лишь о внутренних силах системы, которую мы можем рассматривать как замкнутую.

     Пусть в системе число частиц увеличится с двух до трех. Очевидно, что со временем не будет изменяться полный импульс и такой усложнившейся системы, поскольку в полном соответствии с выражением 1.2.17 в любом парном взаимодействии увеличение импульса любой частицы под воздействием другой будет в точности компенсироваться уменьшением импульса этой второй частицы под воздействием первой. И на какое бы число взаимодействующих друг с другом пар частиц замкнутой системы мы ни распространяли наши рассуждения, вывод будет одним и тем же: их полный импульс со временем измениться не может. В этом и состоит смысл закона сохранения импульса. Иначе говоря, под влиянием внутренних сил система не может изменить своего полного импульса (количества движения). Это может произойти с нею только тогда, когда на нее действуют внешние силы.

     До сих пор в своих рассуждениях мы имели дело с объектами, массы которых в процессе движения оставались неизменными. Вместе с тем нередки случаи, когда движение тел сопровождается уменьшением их массы, как это происходит, например, с ракетой, масса которой уменьшается за счет истечения газов, которые образуются при сгорании топлива. Рассмотрим как раз такой случай. Пусть масса ракеты в момент времени t равна m, а за время dt за счет сгорания топлива ее масса уменьшится на dm и станет равной m – dm. Понятно, что, если бы топливо не сжигалось, ракета двигалась бы с неизменной скоростью v, но за счет сжигания топлива ее скорость увеличивается на dv, т. е. становится равной v + dv. За этот же промежуток времени сгорает dm топлива с образованием такого же количества газообразных продуктов сгорания, которые истекают из ракеты с суммарной скоростью (v + u) относительно, например, Земли, где u – скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда изменение импульса ракеты за время dt будет равно

     dP = [(m – dm)( v + dv) + dm(v + u)] – mv = mv + mdv – vdm – dmdv + vdm + udm – mv = mdv+ udm.                                 (1.2.19)

В этих упрощениях мы пренебрегли членом dmdv, поскольку он является величиной более высокого порядка малости по сравнению с остальными членами выражения 1.2.19.

     Если на ракету действуют внешние силы (например, сила тяготения), то dP= Fdt, тогда

     Fdt = mdv+ udm                                                    (1.2.20)

или

mdv/dt = F – udm/dt,                                             (1.2.21)

где udm/dt = F_р – реактивная сила.

Если u по направлению противоположна скорости ракеты v, ракета ускоряется, если совпадает с нею, – тормозится. Такие операции применяются, например, при корректировке орбит космических кораблей.

Учитывая, что mdv/dt = ma, получаем следующее уравнение движения тела переменной массы:

ma= F + F_р.                                                            (1.2.22)                         Попытаемся теперь определить скорости космических кораблей на околоземных орбитах. Таких скоростей 3. Для начала рассмотрим движение корабля по круговой орбите, пролегающей на небольшой высоте относительно Земли, так что расстояние от центра Земли до корабля r можно приблизительно считать равным радиусу Земли R_З. Скорость движения корабля на такой орбите называют первой космической скоростью.На корабль действует, с одной стороны, сила притяженияЗемли, а с другой стороны, центробежная сила, возникающая из-за его движения по круговой орбите. Эти две силы уравновешивают друг друга, поэтому можно записать следующее равенство:

mg = GmM/R_З² = mv₁²/R_З,                                              (1.2.23)

откуда после сокращения m получим

     g = v₁²/R_З.                                                                (1.2.24)

Тогда для первой космической скорости можно записать

     v₁ = (gR_З)^1/2 = (9.81 м/с² 6378000 м)^1/2 = (62568180)^1/2 м/с = 7910 м/с = 7.91 км/с.

     Если, однако, корабль будет двигаться с такой скоростью, он не сможет преодолеть притяжение Земли и удалиться от нее на значительные расстояния, тогда как для решения многих научных задач требуется отправлять корабли в дальний космос. Для этого нужно заставить корабль двигаться по параболической траектории, чтобы он перестал быть спутником Земли, а стал спутником Солнца. Чтобы вывести корабль на параболическую орбиту, нужно сообщить ему такую кинетическую энергию, которая равна работе, совершаемой против сил тяготения Земли. Это условие выполняется при второй космической скорости v₂ = 11.2 км/с. А чтобы корабль мог покинуть пределы Солнечной системы, ему нужно сообщить третью космическую скорость v₃ = 16.7 км/с, что представляет собой сложную в техническом отношении задачу.

     В ряде случаев требуется «подвесить» космический корабль над одной точкой поверхности Земли. Такое «подвешивание» возможно тогда, когда угловая скорость обращения корабля вокруг Земли совпадает с угловой скоростью суточного вращения Земли вокруг собственной оси. Орбита при этом называется геостационарнойи лежит, как правило, в плоскости экватора на высоте, приблизительно равной 36 тыс. км.

Контрольные вопросы

     1. Какова формулировка первого закона Ньютона?

2. О чем говорит второй закон Ньютона?

3. В чем особенности третьего закона Ньютона?

4. Как формулируются законы Кеплера?

5. Как выглядит уравнение закона всемирного тяготения?

6. Что такое импульс тела?

7. Какова математическая форма закона изменения и сохранения импульса? В каких случаях импульс остается неизменным?

8. Какие примеры движения тел переменной массы можно назвать?

9. Сколько космических скоростей существует? Каков их физический смысл?