Ускорители заряженных частиц.

Лекция 16

Тема 3.3. Магнитное поле в вакууме

Магнитное поле. Закон Био – Савара – Лапласа. Магнитное поле в центре кругового проводника с током. Магнитное поле прямого тока. Закон Ампера. Взаимодействие параллельных токов. Магнитное поле движущегося заряда. Действие магнитного и электростатического полей на движущийся электрический заряд, Сила Лоренца. Формула Лоренца.

Ускорители заряженных частиц.

     Как мы установили, электрические заряды создают в окружающем пространстве силовое электростатическое поле. Постоянные магниты или токи также создают вокруг себя поле, которое называется магнитным иналичие которого в пространстве обнаруживается по силовому действию на внесенные в него постоянные магниты или проводники с током. Почему поле называют магнитным? Потому, что магнитная стрелка, как это обнаружил датский физик Х. Эрстед, под действием поля, создаваемого током, определенным образом ориентируется в поле.

     Если электростатическое поле оказывает действие как на покоящиеся, так и на движущиеся заряды, то магнитное поле – только на движущиеся в нем электрические заряды. Характер этого воздействия на проводник с током определяется его формойи расположением в поле, а также направлением протекающего по нему электрического тока. Далее, если при изучении действия электростатического поля использовались точечные заряды, то при исследовании действия магнитного поля на проводник с током выбирают замкнутый плоский контур с током, называемый рамкой с током (рис. 3.3.1). Размеры рамки с током должны быть малыми по сравнению с расстоянием до тока (магнита), создающего магнитное поле. В магнитном поле рамка с током ориентируется вполне определенным способом, эта ориентация обычно характеризуется направлением нормали n к плоскости рамки, его определяют по правилу правого винта: оно считается положительным, если винт вращается в направлении тока, протекающего по рамке (см. рис. 3.3.1).

                                                          n  

M = [p_mB],                                                              (3.3.1)

где B –вектор магнитной индукции, который является количественной характеристикой магнитного поля, а p_m – вектор магнитного момента рамки с током. Для плоской рамки с током I  

     p_m = ISn,                                                                  (3.3.2)

где S –площадь контура рамки, n – единичный вектор нормали к плоскости рамки. Направление этого вектора совпадает с направлением положительной нормали рамки.

     Если в данную точку поля помещать разные рамки с током, то вращающие моменты, которые будут на них действовать, будут, конечно, отличаться друг от друга, однако отношение максимального вращающего момента к величине вектора магнитного момента для любой рамки с током оказывается одним и тем же

     B = M_max/p_m,                                                           (3.3.3)

поэтому оно и было выбрано в качестве количественной силовой характеристики магнитного поля, которая называется магнитной индукцией. Из выражения 3.3.3 виден физический смысл понятия магнитной индукции: это максимальный вращающий момент, действующий на рамку с магнитным моментом, равным единице, когда нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

     Коль скоро магнитное поле является силовым, то его по аналогии с электростатическим полем графически изображают с помощью линий магнитной индукции, под которыми понимают линии, касательные к которым в любой точке поля совпадают с направлением вектора В. Направление линий магнитной индукции определяют по правилу правого винта: оно совпадает с направлением поступательного перемещения винта при его вращении вокруг собственной оси в направлении протекания тока в рамке. Линии магнитной индукции охватывают проводники с током и всегда замкнуты в отличие от линий напряженности электростатического поля, которые всегда разомкнуты, начинаясь на положительных и заканчиваясь на отрицательных зарядах.

     Поскольку электроны в атомах и молекулах не неподвижны, то, по представлению французского физика А. Ампера, с их движением связаны микротоки, которые создают магнитное поле внутри вещества, которое тем или иным образом ориентируется во внешнем магнитном поле, созданном макротоками. В итоге вектор магнитной индукции будет характеризовать уже результирующее магнитное поле, разное для разных веществ, которое создается как микро, – так и макротоками.

     Магнитное поле макротоков описывают вектором Н напряженности магнитного поля. Для однородной изотропной среды вектор магнитной индукции и вектор напряженности связаны друг с другом следующим соотношением

     B = μ₀μH,                                                                (3.3.4)

где μ₀ – магнитная постоянная, а μ – магнитная проницаемость среды, которая показывает, во сколько раз поле макротоков Н усиливается за счет микротоков в среде. Вектор напряженности магнитного поля Н является аналогом вектора электрического смещения D, а вектор магнитной индукции В – аналогом вектора напряженности электростатического поля Е.

     Возникает вопрос о том, как вычислить магнитную индукцию dB проводника с током I, элемент которого длиной dl создает поле в некоторой точке А, отстоящей от элемента на расстояние r, где r – модуль радиус-вектора r, проведенного из элемента в т. А. Французские ученые Био и Савар изучали эту проблему экспериментально, а французский ученый Лаплас обобщил результаты их исследований. По закону Био – Савара – Лапласа

         dB=μ₀μI[dl, r]/4πr³,                                             (3.3.5)

                                                     dl

                                                  α r

                                                             

                                             I               А                   

                                                              dB

Рис. 3.3.2.

где α – угол между векторами dlи r. Как следует из рис. 3.3.2, dBперпендикулярен как dl, так и r, и совпадает с касательной к линии магнитной индукции. Направление вращения головки винта дает направлениеdB, если его поступательное движение совпадает с направлением тока в элементе (правило правого винта). Модуль вектора dB может быть получен по следующему уравнению

     dB =(μ₀μ/4π)Idlsinα/r².                                         (3.3.6)

     Как и для электростатического поля, для магнитного поля справедлив принцип суперпозиции: магнитная индукция, создаваемая несколькими токами или движущимися электрическими зарядами равна векторной сумме магнитных индукций полей, создаваемых каждым из них.

     Расчет магнитной индукции в общем случае представляет собой сложную задачу, однако она решается более-менее легко тогда, когда известна симметрия тока. Разумеется, при решении используется принцип суперпозиции полей, создаваемых отдельными элементами проводника с током. Рассмотрим 2 случая.

1. Магнитное поле в центре кругового проводника с током.

                             dl                     

                                                R dB, B    

 

 

                                           Рис. 3.3.3.

Легко понять, что все элементы тока создают в центре кругового тока магнитное поле одинакового направления. Поскольку все элементы проводника перпендикулярны радиус-вектору, из-за чего sinα = 1, и находятся от центра на одном и том же расстоянии R, то из уравнения 3.3.6 получаем следующее выражение

     B = μ₀μI/2R.                                                            (3.3.7)

2. Магнитное поле прямого токабесконечной длины. Пусть ток течет сверху вниз. Выберем на нем несколько элементов с током и найдем их вклады в суммарную магнитную индукцию в точке, отстоящей от проводника на расстоянии R. Каждый элемент даст свой вектор dB, направленный перпендикулярно плоскости листа «к нам», также будет направлен и суммарный вектор В. При переходе от одного элемента к другому, которые располагаются на разной высоте проводника, будет изменяться угол α в пределах от 0 до π. Интегрирование даст следующее уравнение

B = (μ₀μ/4π)2I/R.                                                    (3.3.8)

Как мы говорили, магнитное поле ориентирует определенным образом рамку с током. Это происходит потому, что поле оказывает силовое воздействие на каждый элемент рамки. И поскольку токи на противоположных сторонах рамки, параллельных ее оси, текут в противоположных направлениях, то и силы, действующие на них, оказываются разнонаправленными, вследствие чего и возникает вращающий момент. Ампер установил, что сила dF, которая действует со стороны поля на элемент проводника dl, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длиной dl на магнитную индукцию В:

dF = I[dl, B].                                                           (3.3.9)

Выражение 3.3.9 называют законом Ампера. Направление вектора силы, которая называется силой Ампера, определяют по правилу левой руки: если ладонь руки расположить так, чтобы в нее входил вектор В, а четыре вытянутых пальца направить вдоль тока в проводнике, то отогнутый большой палец укажет направление вектора силы. Модуль силы Ампера вычисляется по формуле

     dF = IBdlsinα,                                                        (3.3.10)

где α – угол между векторами dlи B.

     Пользуясь законом Ампера, можно определить силу взаимодействия двух токов. Представим себе два бесконечных прямолинейных тока I₁ и I₂, текущих перпендикулярно плоскости рис. 3.3.4 в сторону наблюдателя, расстояние между которыми равно R. Понятно, что каждый проводник создает в пространстве вокруг себя магнитное поле, которое по закону Ампера действует на другой проводник, находящийся в этом поле. Выберем на втором проводнике с током I₂ элемент dl и рассчитаем силу dF₁, с которой магнитное поле проводника с током I₁ действует на этот элемент. Линии магнитной индукции поля, которое создает проводник с током I₁, представляют собой концентрические окружности (рис. 3.3.4).                                                                          

             

                                                              В₁

                        1 dF₂ dF₁ 2

                                 B₂                                 

                                           R     

Рис. 3.3.4.

Вектор В₁ лежит в плоскости рисунка и направлен вверх (это определяется по правилу правого винта), а его модуль

     B₁ = (μ₀μ/4π)2I₁/R.                                                 (3.3.11)

Сила dF₁, с которой поле первого тока действует на элемент второго тока, определяется по правилу левой руки, она направлена в сторону первого тока. Поскольку угол между элементом тока I₂ и вектором В₁ прямой, для модуля силы с учетом 3.3.11 получаем

     dF₁ = I₂B₁dl = (μ₀μ/4π)2I₁I₂dl/R.                         (3.3.12)

Легко показать, рассуждая аналогичным образом, что сила dF₂, с которой магнитное поле второго тока действует на такой же элемент первого тока

     dF₂ = I₁B₂dl = (μ₀μ/4π)2I₁I₂dl/R.                         (3.3.13)

Видно, что правые части уравнений 3.3.12 и 3.3.13 одинаковы, значит, одинаковы по величине и силы dF₁ = dF₂. Из рис. 3.3.13 видно, что эти силы направлены в сторону друг друга. Таким образом, мы приходим к выводу, что два параллельных тока, текущих в одну сторону, притягиваются друг к другу силой

     dF = (μ₀μ/4π)2I₁I₂dl/R.                                (3.3.14)

12Следующая ⇒