Аналитическая геометрия в пространстве.

Уравнение линии в пространстве.

       Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению:

F(x, y, z) = 0.

       Это уравнение называется уравнением линии в пространстве.

       Кроме того, линия в пространстве может быть определена и иначе. Ее можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана каким- либо уравнением.

       Пусть F(x, y, z) = 0 и Ф(x, y, z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по линии L.

       Тогда пару уравнений

назовем уравнением линии в пространстве.

Уравнение прямой в пространстве по точке и

направляющему вектору.

       Возьмем произвольную прямую и вектор (m, n, p), параллельный данной прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой.

       На прямой возьмем две произвольные точки М₀(x₀, y₀, z₀) и M(x, y, z).

                                                              z

                                                                                               M₁

                                                                      M₀

                                                                    0                                      y

                                          x

       Обозначим радиус- векторы этих точек как и , очевидно, что -  = .

Т.к. векторы и  коллинеарны, то верно соотношение = t, где t – некоторый параметр.

       Итого, можно записать: =  + t.

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой, то полученное уравнение – параметрическое уравнение прямой.

       Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

       Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

.

       Определение. Направляющими косинусамипрямой называются направляющие косинусы вектора , которые могут быть вычислены по формулам:

; .

Отсюда получим: m : n : p = cosa : cosb : cosg.

Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Т.к. - ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновременно, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.