Таким образом, функция положения реального механизма определяется как

X_P=X_T+DХ_техн;

где X_T – можно рассчитать (расчётные параметры проектируемого механизма); DХ_техн = ?

В реальном механизме, если считать Dq_i – первичной погрешностью, то

Для функции одной переменной её значение в некоторой точке (а) можно представить (определить) в виде ряда Тейлора, т.е.

;

.

Если во внимание взять только первые (линейные) два члена разложения ряда Тейлора, то можно записать, что

.

В общем случае для функции многих переменных ряд Тейлора запишется как

,

где линейные члены разложения есть частичные систематические погрешности.

Тогда по аналогии можно записать

_.

Отсюда следует, что погрешность от одного параметра не оказывает влияния на погрешность от другого параметра, (обеспечивается принцип независимого влияния или так называемый принцип суперпозиции), и общая погрешность определяется алгебраическим сложением частных погрешностей, каждая из которых порождается одной первичной погрешностью.

Рассмотрим примераналитического расчёта механизма на точность (рис.2.2.).

Рис. 2.2.

Первичные погрешности Dr и D  определяют неточность положения ведомого звена, т.е.

Для аналитического решения задачи необходимо знание функции положения ведомого звена:

= .

Так как DС= cosd= , то

.

С учётом этого

где g–угол передачи; d–угол давления. Если g 0, то DX ¥.

Так как равенство DX=¥ физически невозможно, то получается, что формула не верна? Такое стало возможным только потому, что мы отбросили все нелинейные члены ряда Тейлора.

Но из выражения видно, что при увеличении g растёт погрешность положения. Поэтому при проектировании этот угол следует ограничивать. Из анализа полученного выражения также видно, что:

1) при j = 0;   l.

2) при j = 180°

Погрешность перемещения будет равна:

Полученные соотношения позволяют сделать вывод, что точность хода (перемещения) ведомого звена кривошипно-ползунного механизма не зависит от точности выполнения шатуна. Добиться повышения точности работы механизма можно, выполнив условие Dr= –Dl, т. е. сделав положение ползуна регулируемым.

Подобные расчёты на точность позволяют обоснованно назначать допуски на изготовление деталей и сопряжения, предусматривать некоторые мероприятия по обеспечению работоспособности машины (обеспечивать регулировки).

Анализируя метод определения погрешности положения ведомого звена механизма, следует сказать, что для аналитического определения DX_j нужно знать Dq_i, функцию X_j и частные производные от неё по каждому параметру.

Это не всегда возможно, так как зачастую трудно получить как саму функции, так и производные от неё.

Графоаналитический метод определения погрешностей с помощью преобразованного механизма. Суть этого метода заключается в определении частных погрешностей механизма построением планов скоростей для некоторого преобразованного механизма.

Преобразованный механизм получают закреплением ведущего звена действительного механизма в изучаемом положении, а звено, отображающее погрешность, превращают в ведущее звено другого механизма. При этом направление движения этого звена должно совпадать с направлением изменения параметра (первичной погрешности) исследуемого звена, т. е. практически ведущее звено превращают в стойку и вводят поступательную пару, позволяющую изменять линейный размер (моделировать первичную погрешность).

Рассмотрим физический и кинематический смысл производной . Эта частная производная представляет собой линейное передаточное отношение, т.е. есть отношение малых перемещений ведомого и ведущего звеньев преобразованного механизма и может быть определена из плана малых перемещений.

Ранее было установлено, что DX_i есть погрешность положения ведомого звена из-за наличия первичной погрешности Dq_i, Тогда погрешность положения для первого звена DX₁= .

Продифференцируем это выражение по времени и получим

,

где V_1K – скорость ведомого звена; V_1П – скорость ведущего звена, порождённая первичной погрешностью Dq₁, т. е. представляет собой скорость ведущего звена преобразованного механизма из-за изменения длины этого ведущего звена вследствие первичной погрешности.

Таким образом, линейное передаточное отношение  некоторого преобразованного механизма может быть определено как:

.

Рассмотрим приложение этого метода на примере кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.3).   

Рис. 2.3.

Строим преобразованный механизм, при котором длина кривошипа вследствие первичной ошибки Dr стала переменной (рис. 2.4). В этом механизме ползуном А воспроизводится погрешность Dr.

Рис. 2.4.

Необходимо построить план малых перемещений, который теоретически построить можно, а практически нет из-за их малости. Но проведенный анализ уже подсказывает методику определения погрешности положения (рис. 2.5).

Рис. 2.5.

Перемещение ползуна ~ скорости точек А и В, т.е.

                                    (1)

.                                          (2)

Разделим (2) на (1), получим:

или

 или

Чтобы найти отношение скоростей, необходимо построить план скоростей (рис. 2.6).

Рис. 2.6.

Учитывая, что ; DX_j = Dr ; .

Погрешность положения зависит от первичной погрешности и соотношения скоростей, но не зависит от их номинального значения.

Далее строим преобразованный механизм (рис. 2.7), у которого длина шатуна вследствие погрешности стала переменной

Рис. 2.7.                   + ; .

Строим преобразованный механизм, при котором величина эксцентриситета вследствие первичной погрешности (величины зазора) стала переменной (рис. 2.8)

Рис. 2.8.

 = + ; DX₃ = .

Таким образом, полная погрешность положения ползуна 3 в соответствующем масштабе равна алгебраической сумме частных погрешностей

DX_T = DX₁+DX₂+DX_3.

Или                                             

DX_техн =

Изложенный метод определения погрешностей применим и для плоских механизмов с высшими кинематическими парами. Однако при этом следует условно заменить высшие пары низшими известным способом (из курса теории механизмов и машин).

Таким образом, общая погрешность складывается алгебраически из так называемых частных погрешностей, каждая из которых порождается одной первичной погрешностью (принцип наложения частных погрешностей)

DX_Tехн =

Если эти первичные погрешности являются случайными величинами и взаимонезависимыми, то значения их для каждого конкретного случая неизвестны и имеются только вероятностные характеристики, например среднее арифметическое значение параметра D  (его математическое ожидание) и s_i частных погрешностей.

Естественно возникает вопрос, если D  ¹ const (случайна), то какое же брать значение D ? Рассмотрим, какова вероятность одновременного появления трёх значений D _max, если закон распределения нормальный

Ys = y₁×y₂×y₃,,

где Ys – средняя суммарная вероятность.

Если y₁=y₂=y₃ и Z=3, тогда Ys=(2,7×10^-3)³ » 2×10^-8, т. е. вероятность появления трёх максимальных значений равна 2×10^-8, т. е. получим 2 совпадения на 1×10⁸ циклов измерения.

При Z=2 yi=0,05; Ys=1,25×10^-4 – одно совпадение на 10⁴ циклов измерения, т. е. получаем завышенную погрешность положения и, ясно, что в этом случае нельзя суммировать алгебраически максимальные значения частных погрешностей при определении общей погрешности механизма.

Теория вероятности в этом случае позволяет определить среднее квадратичное отклонение (s) погрешности положения.

Обычно на стадии проектирования математическое ожидание первичной погрешности берут равной половине поля допуска, т. е.

Dq_i= ; =Z_s×s_s; d_s= 2Z×s_s,

где s_s – среднее квадратическое отклонение суммарной погрешности.

Согласно теории вероятности для независимых случайных погрешностей

s_s= ,

где d_s – поле отклонений суммарной средней погрешности.

Так как  s_i = , то    ;

                d_s = 2Z_s×s_s = 2Z_s ;      d_s = Z_s .

При Z_i=Z_s – т. е. при одинаковых законах распределения первичной и суммарной погрешности

d_s= ,

где d_s – среднеквадратичная сумма погрешностей от каждой компоненты.

Тогда

DX_Tехн. = .

При i=2®d_s= =1,41d; i = 4 ® d_s =2d; i = 3 ® d_s = 1,73d, а не 3d, как при алгебраическом сложении.

Таким образом, на стадии проектирования погрешности положения при случайных значениях Dq_i, т. е. Dq_i¹const; частные случайные погрешности положения складываются геометрически, а не алгебраически, как это при систематических погрешностях.

Частные случаи первичных погрешностей и построения преобразованного механизма.При выборе структуры преобразованного механизма обычно применяется ползушка, моделирующая погрешность.

В случае определения влияния векторной первичной погрешности, направляющую ползушки располагают вдоль силы давления в данном шарнире, т.е. ползушка должна перемещаться по линии действия давления в кинематической паре (рис. 2.8). Следовательно, при наличии векторной погрешности необходимо предварительно провести силовой расчёт.

Рис. 2.9.

При учёте деформации звеньев направление движения ползушки совпадают с линией, определяющей наибольшую деформацию звена (рис.2.9), где С₁ – перемещение точки С вследствие изгиба; С₂ – перемещение точки С вследствие погрешности в длине звена.