Проводники в электрическом поле.

Электрическое поле в веществе.

Проводники в электрическом поле. Электрическая емкость проводника. Конденсаторы.

Проводники в электрическом поле.

В отличие от диэлектриков в проводнике имеются заряды, которые могут свободно перемещаться по объему проводника. Откуда берутся эти заряды? Дело в том, что в проводниках молекулы не могут так сильно, как в диэлектриках удерживать свои электроны, и они могут перемещаться от одной молекулы (или атома) к другой. Но вот из проводника эти электроны вылететь не могут. Как только электрон подходит к краю диэлектрика, здесь уж все молекулы, которые находятся на краю, начинают тянуть электрон обратно. Собственно для описания электрического поля в проводнике уже достаточно утверждения, что в проводнике имеются свободные заряды, которые могут перемещаться по объему проводника. Ответим только на вопрос, сколько свободных электронов находится в  какого-нибудь проводника, например меди (Cu). В одном

 содержится  атомов. И если каждый из атомов дает путешествовать только одному из своих электронов (как и бывает), то носителей заряда будет сколько же, а это очень и очень много.

       Итак, что происходит, если какой-то объем проводника помещают в электрическое поле? Понятно, что в первые мгновения электроны начинают двигаться под действием электрического поля. Но очень быстро возникает ситуация, когда электроны так перераспределяются, что поле внутри проводника становится нулевым. Обратим внимание на то, что электроны останавливаются на поверхности. Мы не рассматриваем такие сильные поля, которые вырывают электроны из проводника. А что происходит на границе? Электроны могут не только двигаться из объема к границе, но и двигаться вдоль границы (лишь бы оставаться в проводнике). Когда электроны перестают двигаться? Да когда все точки на границе диэлектрика имеют одинаковый потенциал. Таким образом, если проводник находится в постоянном (не зависящем от времени) электрическом поле то:

1. Напряженность поля внутри проводника равна нулю.
2. Поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью.

       Из того, что поле в проводнике равно нулю следует, что можно вырезать и убрать какую-нибудь внутреннюю часть проводника, лишь бы у него осталась та же поверхность. Например, если вместо металлического куба, взять куб только с металлическими стенками и пустой внутри, то поля в этом полом кубе все равно не будет. Таким способом можно защищаться от электрических полей (сидеть в металлической клетке или носить костюм, сплетенный из металлической проволоки).

       А что произойдет, если зарядить уединенный проводник. Поле внутри по-прежнему будет нулевым, поверхность останется эквипотенциальной и её потенциал увеличится (если заряд положительный). И во сколько раз увеличится заряд, во столько раз увеличится потенциал. Действительно, сообщенный проводнику заряд распределится по поверхности так, что поле внутри проводника должно быть нулевым, а поверхность проводника является эквипотенциальной. Добавим ему ещё заряд точно такой же величины. Он распределится точно также как первый. Строго говоря, здесь используется сложная математическая теорема о единственности решения соответствующего сложного интегрального уравнения. Примем на веру, что математики эту самую единственность доказали. Из-за принципа суперпозиции потенциал в каждой точке пространства (в том числе на поверхности проводника) увеличился в два раза по сравнению со случаем одного заряда. Фактически мы доказали, что заряд изолированного проводника пропорционален его потенциалу (потенциалу поверхности). Коэффициент пропорциональности называется емкостью изолированного проводника и обозначается буквой C

                                                                                                                  (1)

Отсюда следует, что размерность ёмкости равна:

                                                                                                                  (2)

В системе СИ единица ёмкости имеет название фарад (Ф) . Чтобы иметь представление о том, фарад большая или малая величина и какого порядка бывают ёмкости уединенных проводников, оценим какой радиус должен иметь металлический с ёмкостью одна фарада. Мы знаем, что потенциал шара с зарядом  равен

                                                                                                              (3)

Отсюда

                                                                                                        (4)

и подставляя числа получаем:

                                      (5)

Для справок, радиус Земли  и ёмкость шара размером с Землю составляет около 700 мкФ. Таким образом, фарад является большой величиной, а ёмкость уединенных проводников является маленькой.

Конденсаторы.

           Иногда бывает важно запасти в устройстве заряд, с минимальными затратами. Что значит с минимальными затратами. А это значит при минимальном потенциале. Поясним это качественно. Пусть проводник с ёмкостью  несет заряд  и, значит, находится под потенциалом . Найдём какую работу  нужно совершить, для того чтобы добавить этому проводнику маленькую порцию заряда . Насколько маленькую? Настолько, что изменением потенциала проводника за счет добавления этого маленького заряда можно не учитывать. В таком случае, по определению понятия потенциала искомая работа равна:

                                          .                                                  (6)

Из этого выражения видно, что чем больше электроёмкость, тем меньшую работу необходимо совершить при прочих равных условиях. Позднее мы увидим, что для помещения заряда  необходимо совершить работу:

                                                        .                                           (7)

Это означает, что для накапливания заряда лучше всего годятся устройства с большей ёмкость. К таким устройствам относятся конденсаторы. Всякий конденсатор состоит из двух обкладок, отделенных одна от другой слоем диэлектрика. Обкладки несут равный по модулю и противоположный по знаку заряд. Пусть потенциал одной обкладки , а другой . Будем считать, что , модуль заряда на каждой из обкладок . В таком случае ёмкость конденсатора по определению равна:

                                                                                                               (8)

Рассчитаем ёмкости некоторых типов конденсаторов.

1. Плоским конденсатором называют устройство, состоящее из двух пластин, разделенных слоем диэлектрика (см. Рис.1). При этом считаем, что длина и ширина пластин много больше расстояния между пластинами. В таких условиях краевые эффекты проявляются на расстояниях порядка расстояния между пластинами, которое много меньше длины и ширины. Поэтому при расчете ёмкости конденсатора поле между платинами будем считать однородным (т.е. для как для бесконечных пластин).

В таких предположениях поле между обкладками равно:

                                                                                                      (9)

и соответственно разность потенциалов:

                                                                                     (10)

отсюда емкость плоского конденсатора равна:

                                                                                        (11)

1. Сферический конденсатор состоит из двух концентрических сфер пространство между которыми заполнено диэлектриком (см. Рис.2)

Рис.2.

Пользуясь теоремой Гаусса легко показать, что поле отлично от нуля только в пространстве между сферами и равно:

                                                                          (12)

и разность потенциалов равна:

                                                                                (13)

и ёмкость сферического конденсатора равна:

                                                                                             (14)

Если  то это выражение переходит в выражение для плоского конденсатора, если считать  и .

1. Цилиндрический конденсатор состоит из двух коаксиальных цилиндров, между которыми находится диэлектрик с диэлектрической проницаемостью . Радиусы цилиндров  и  а длина цилиндров . Используя результаты, полученные для бесконечной заряженной нити, легко получить, что между цилиндрами потенциал изменяется по следующему закону:

                                                                          (15)

где  — расстояние до оси цилиндра, а  — константа. При написании этой формулы краевые эффекты не учитывались. Из (15) следует, что разность потенциалов между двумя цилиндрами равна:

                       (16)

Отсюда получаем выражение для ёмкости цилиндрического конденсатора:

                                                                                                  (17)

Можно показать, что и в этом случае имеется предельный переход к плоскому конденсатору при

       Ну а общим выводами, которые можно сделать из этих примеров являются:

1. Ёмкость конденсатора прямо пропорциональна диэлектрической проницаемости.
2. Ёмкость конденсатора растет с уменьшением расстояния между обкладками.
3. Ёмкость конденсатора растет с увеличением площади обкладок. Правда, это слишком очевидно, так как это рост ёмкости за счет размеров.

Выражение для энергии конденсатора получается из общего выражения для энергии системы зарядов:

                                                                                                          (18)

Здесь  потенциал создаваемый в точке расположения i-го заряда всеми остальными (за исключением i-го) зарядами. У конденсатора два заряда , которые находятся на пластинах с зарядом  и . Тогда из (18) получаем:

                                                                                   (19)

Разность потенциалов между двумя точками называют напряжением (иногда падением напряжения) между этими точками. С использованием величины ёмкости конденсатора его энергия может быть записана в следующих двух видах:

                                                                                                  (20a)

                                                                                                               (20б)

Первым выражением пользуются, когда конденсатор подключен к прибору, обеспечивающему постоянное напряжение между обкладками, а второе в случае, когда конденсатор зарядили, и цепь разъединили и зарядам некуда стекать.