Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

       При движении в статическом электрическом поле сохраняется энергия. Это позволяет написать связь между скоростью (модулем скорости) в различные моменты времени:

                                                                                (1)

Для детального описания необходимо решать уравнение движения исходя из второго закона Ньютона и известных сил. Самым простым случаем является постоянное электрическое поле, в котором частица движется с постоянным ускорением:

                                                                                                                 (2)

А траектория в этом случае имеет вид:

                                                                                       (3)

       В случае постоянного магнитного поля частица движется по винтовой линии. Шаг винтовой линии зависит от компоненты начальной скорости направленной параллельно магнитному полю, а радиус окружности, описываемой траекторией в плоскости перпендикулярной магнитному полю определяется составляющей скорости перпендикулярной магнитному полю, величиной магнитного поля, зарядом и массой частицы. Получим этот результат исходя из уравнений движения. Направим ось Z вдоль магнитного поля, которое предполагается постоянным. Тогда уравнения движения имеют вид:

                                                                             (4)

Отсюда видно, что вдоль магнитного поля частица движется без ускорения и уравнение  движения вдоль оси магнитного не зависит от движения вдоль других осей. Таким образом:

                                                                                                        (5)

Остановимся несколько подробнее на движении в плоскости перпендикулярной магнитному полю. Удобно остановиться на уравнениях для скоростей:

                                                                                                    (6)

Из этой системы дифференциальных уравнений легко получить, что

                                                                                                            (7)

При изучении малых колебаний мы уже получили, что такому уравнению отвечают гармонические колебания с циклической частотой: . Выберем решение в виде:

                                                                                                    (8)

Из первого уравнения системы (6) имеем:

                                                                                        (9)

В соответствии с (5), (8) и (9) закон движения имеет вид:

                                                                                             (10)

       Из (8) и (9) видно, что ось X выбрана вдоль проекции скорости  в нулевой момент времени на плоскость перпендикулярную полю. Легко видеть, что траектория в плоскости перпендикулярной к направлению поля является окружностью с центром в точке  и радиусом . Это следует из очевидного равенства:

          (12)

Таким образом, в постоянном магнитном поле заряженная частица движется по винтовой линии с радиусом, который зависит как от величины поля, так и от проекции скорости на плоскость перпендикулярную направлению поля.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Вычислим для бесконечного проводника с током интеграл по контуру, показанному

на Рис.1 (по круговому контуру который обходится по часовой стрелке). Поскольку  и , а величину поля мы вычисляли раньше и получили:

                                                                                                               (13)

Опираясь на эти выражения, интеграл по контуру легко вычисляется:

                                                                                (14)

Этот пример является иллюстрацией частного случая общей теоремы, (не будем её доказывать) которая говорит, что:

«Интеграл по замкнутому контуру от вектора магнитной индукции равен произведению магнитной постоянной  на алгебраическую сумму токов охватываемых контуром»

                                                                                   (15)

В последнем равенстве учтено, что ток равен интегралу от плотности тока по поверхности.

Для задач, обладающих симметрией, теорема о циркуляции вектора магнитной индукции играет ту же роль, что теорема Гаусса для вектора напряженности электрического поля. В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим вопрос о нахождении индукции магнитного поля для проводника радиуса  по которому течет ток с постоянной плотностью . Для кругового контура, проходящего внутри проводника, имеем:

       `                                            (16a)

поля вне проводника имеем

       `                               (16b)

Чтобы записать теорему о циркуляции в дифференциальном виде воспользуемся теоремой Стокса:

                                                                                           (17)

где интеграл берется по поверхности опирающейся на контур, а операция вычисления ротора  ставит в соответствие векторной функции (векторному полю) другую векторную функцию, вычисляемую по следующему правилу:

       (18)

С использованием теоремы Стокса теорема о циркуляции магнитного поля (15) может быть переписана в виде:

                                                                   (19)

Отсюда, в силу произвольности контура интегрирования эта теорема может быть переписана в дифференциальном виде:

                                                                                                                (20)

Кстати, из равенства нулю циркуляции статического электрического поля следует, что его ротор равен нулю:

                                                                                            (21)