Дифференциальные уравнения динамических звеньев первого порядка

 и их решения

К динамическим звеньям первого порядка относятся: идеальное и реальное интегрирующие звенья, апериодическое, реально-диференцирующее и интегро-диференцирующее звенья.

В идеальном интегирующем звене выходная величина U_вых  пропорциональна интегралу от выходной величины U_вх и определяется выражением:

                                                                                                                                              (1)

Где U_вых(0)-начальные значения выходной величины.

Решая уравнение (1) при нулевых начальных условиях, получим :

                                                                                                                                              (2)

Передаточная функция идеально – интегрирующего звена имеет вид:

                                                                                                                                              (3)

Реальное интегрирующее звено описывается дифференциальным уравнением, имеет решение и передаточную функцию:

                                                                                                                                                    (4)

Где s₁ –корень характеристического уравнения звена ; U₀ =const –амплитуда ступенчатого воздействия.

Дифференциальные уравнения, передаточная функция апериодического звена и его решения запишутся соответственно :

                                                                                                                                                    (5)

Реальное дифференцирующее звено описывается уравнениями :

                                                                                                                                         (6)

Интегро-дифференцирующее звено имеет дифференциальное уравнение и передаточную функцию, соответственно:

                                                                                                                                             (7)

Меняя коэффициенты модели Kид , T1 , T2 передаточной функции интегро-дифференцирующего звена (7), можно реализовать пропорциональное звено; звено с преобладанием функций дифференцирования, интегрирования; идеальное интегрирующее; реальное интегрирующее звено и т.д.

Переходный процесс является обратным преобразованием Лапласа:

                                                                                                                                                                                                                                                              (8)

Но так как данный интеграл (8) является не берущимся, то для определения выражения Uвых(t) можно воспользоваться формулой Хевисайда:

                                                                                                                                         (9)

где В, А – числитель и знаменатель передаточной функции; S1 – значение корня характеристического уравнения.

Звено будет устойчивым , если переходный процесс при t→ ∞    стремится к установившемуся значениюU(∞ ).

Ход работы :

1.Построим схему моделирования апериодического звена первого порядка:

              2.Установим в схеме значения коэффициента “c” >0 (‘c’=1); “k”=1; ‘a’=1, 0, -1.Получим графики:

Рис.1

Из графиков видно (рис.1) : при ‘a’=1 – процесс устойчивый (т.е. корень характеристического уравнения отрицательный ), при ‘a’=0 – процесс нейтральный (т.е. корень характеристического уравнения равен 0 ), ‘a’=-1- процесс неустойчивый (т.е. корень характеристического уравнения положительный).

              3.Установим в схеме значения коэффициента “c” <0 (‘c’=-1); “k”=1; ‘a’=1, 0, -1 Получим графики:

Рис.2

Из графиков видно (рис.2) : при ‘a’=1 – процесс устойчивый (т.е. корень характеристического уравнения отрицательный ), при ‘a’=0 – процесс нейтральный (т.е. корень характеристического уравнения равен 0 ), ‘a’=-1- процесс неустойчивый (т.е. корень характеристического уравнения положительный).

 Из графиков рис.1 и рис.2 видно, что коэффициент ‘c’ не влияет на сам переходный процесс, а влияет только на его инверсию. Изменение же коэффициента “a” влияет на время установившегося значения, т.к. T=1/а.

              4.Установим в схеме значения коэффициента ‘c’=1; ‘a’=1; “k”= 1, 0, -1. Получим графики:

Рис.3

Из графиков видно(рис.3): k- коэффициент пропорциональности, т.к время переходного процесса не изменяется, а меняется только амплитуда.

              5.Определим коэффициент передачи К_ст для данного случая (‘a’=1; ‘c’=1):

            Упростим данную схему:

                 где w1=k=1,w2=  ,w3=c=1.

                     Рассчитаем передаточную функцию w_экв:

                      w_экв = w_1* w_2* w₃=

       Рассчитаем коэффициент передачи К_ст : К_ст=

6.Построим схему моделирования интегро-дифференцирующего звена первого порядка:

Упростим данную схему. Для этого перенесем  узел с сигналом g(g*1/s*s=g.):

Затем преобразуем к виду:

где W1=

  W2=s+c

  Wэкв= W1* W2=

    Используя формулу Хевисайда определим выражение выходного сигнала при “c”=1 , “a”=0.5.

В общем виде формула Хевисайда имеет вид:

 где В, А – числитель и знаменатель передаточной функции; S_i – значение корня характеристического уравнения.

8.Получили графики переходных процессов и расположение корней характеристического уравнения для коэффициентов “c” и “a”,приведенных в таблице 1.При этом: T1=  ; Т2=  и S= -а; K_ид= :

       Вывод: в ходе работы исследовали переходные процессы в динамических звеньях первого порядка, при изменении коэффициентов наблюдали изменения графиков, в итоге чего получили различные свойства звеньев.

    Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Наименование института – Институт неразрушающего контроля

Наименование направления – Приборостроение

Наименование кафедры – Физических методов и приборов контроля качества

Кафедра ФМПК