Система уравнений в форме Коши

Второго порядка

Вариант №18

Выполнила: Беденко М.А.

Группа: И433

Преподаватель: Чередниченко Л.А.

                Санкт-Петербург

                         2005г.

Содержание:

1. Постановка задачи. 3

1.1 Схема электрической цепи. 3

1.2 Параметры цепи: 3

2. Классический метод. 4

2.1 Составление системы уравнений. 4

2.2 Определение начальных условий. 5

а) Независимые начальные условия. 5

б) Зависимые начальные условия. 5

2.3 Решение дифференциального уравнения. 6

2.4 Определение остальных токов и напряжений: 7

2.5 Результаты расчетов классическим методом: 8

3. Построение графиков. 8

4. Операторный метод. 11

5. Метод переменных состояния. 12

5.1 Система уравнений по законам Кирхгоффа: 12

5.2 Система уравнений в форме Коши. 12

6. Заключение. 13

7. Список используемой литературы.. 14

Постановка задачи

В заданной электрической цепи:

· Найти законы изменения токов i₁, i₂, i₃ и напряжений на емкости u_c и индуктивности u_l классическим методом.

· Построить временные диаграммы токов i₁, i₂, i₃ и напряжений u_c и u_l

· Рассчитать операторным методом одну величину

· Составить систему уравнений по методу переменных состояния

Схема электрической цепи

1.2 Параметры цепи:

E = 15 B

L = 0.09 Гн

R₁ = 900 Ом

R₂ = 350 Ом

C = 5 мкФ

Классический метод

Составление системы уравнений.

Для расчете переходного процесса классическим методом составим систему интегро-дифференциальных уравнений цепи, используя для этого законы Кирхгофа и уравнения связи.

                     (первый закон Кирхгофа)

         (второй закон Кирхгофа для первого контура)

         (второй закон Кирхгофа для второго контура)        (1.1)

                       (уравнение связи)

Определение начальных условий

А) Независимые начальные условия

Независимые начальные условия определяются количеством реактивных накопителей энергии в схеме. Состояние каждого накопителя может быть охарактеризовано либо текущем через него током, либо падением напряжения на нем. Независимыми переменными являются: для емкости – напряжение на ней, для индуктивности – ток через нее.

Б) Зависимые начальные условия.

Значения остальных токов и напряжений при t=0 определяются по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа. Система уравнений для определения зависимых начальных условий:

Выразив i₂(0), i₃(0) и  получим:

Решение дифференциального уравнения

Система уравнений (1.1) сводится к одному дифференциальному уравнению второго порядка относительно i₁ , для этого выразим u_C через i₁ и получим:

Продифференцировав по t, подставим в уравнение связи:

Решение имеет следующий вид:  , где

Окончательный вид:

(1.2)

а) Нахождение корней характеристического уравнения (p₁ и p₂).

б)Определение постоянных интегрирования (A₁ и A₂).

 , =>

Продифференцировав (1.2) по t и приняв t = 0, получим:

Получаем систему:

Решение дифференциального уравнения:

 А

2.4 Определение остальных токов и напряжений:

a)Определение тока :

А

b) Определение тока :

        А

c)Определение напряжения :

        В

d) Определения напряжения :

        В

e)Определение напряжения  и :

                   по II-ому закону Кирхгоффа:

                    В

       В

2.5 Результаты расчетов классическим методом:

Построение графиков

Ниже приведены графики функций изменения значений токов и напряжений в цепи от времени. Время, в течение которого производилось построение временных диаграмм, бралось из расчета , где

Рис.1 График напряжения 

Рис.2 График напряжения 

Рис.3 График тока

Рис.4 График тока

Рис. 5 График тока

Операторный метод

По законам Кирхгоффа:

Из данных уравнений получим систему относительно тока I₁(p):

Учитывая, что i₁(0) = 0 и u_C(0) = 0, получим:

Переходя от изображения к оригиналу, получаем следующее уравнение:

Метод переменных состояния

5.1 Система уравнений по законам Кирхгоффа:

Система уравнений в форме Коши

       В основу метода переменных состояния положена принципиальная возможность замены дифференциального уравнения n-ого порядка системой из n дифференциальных уравнений первого порядка. При этом в качестве переменных состояния принимаются токи в индуктивности и напряжения на емкостях, которые однозначно определяют запас энергии в любой момент времени.

После преобразования уравнений системы, мы получаем следующую систему:

Заключение

       В ходе работы над курсовым проектом были изучены основные методы расчета токов и напряжений в цепях, в которых происходят переходные процессы. Для заданной цепи были посчитаны токи во всех ветвях, а также напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности. Расчеты, полученные классическим методом, и результаты операторного метода имеют небольшое расхождение в следствие арифметических погрешностей, находящихся в допустимых пределах, что позволяет сделать вывод о правильности алгоритмов решения. В результате получили, что переходный процесс, протекающий в цепи, имеет апериодический характер. Длительность процесса 0.007 секунд. Для удобного представления решения были построены графики зависимостей найденных величин от времени. Математические расчеты и построение временных диаграмм производились при помощи математического пакета MathCAD 2001i.

Список используемой литературы

1. Электротехника. Домашние и курсовые задания. Под редакцией П.А. Галайдина. СПб, 2004.

2. Курс лекций. Чередниченко Л.А.

3. Л.Р.Нейман. Теоретические основы электротехники. Ленинград, 1981.