Расчет амплитудного спектра радиоимпульсов

Несущая частота  кГц.

Частоты нулей огибающей спектра

Максимальное значение огибающей

Частота следования

Частоты гармоник лежащих справа от

Частоты гармоник лежащих слева от

Амплитуды напряжения i-ых гармоник находятся по формуле

где K = t_и/T_н = 5 – количество периодов несущих колебаний косинусоидальной формы в импульсе.

 скважность - целое число, в спектре будут отсутствовать гармоники с номерами, кратными скважности.

Главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от 79,99 до 120,01 кГц.

F(n)=                      U                       

113,34 кГц            1,097 В                     

126,68 кГц               0,578 В                     

86,66 кГц              0,959 В

73,32кГц               0,438 В

После расчета амплитуд, их значения отражаются в виде дискретных составляющих внутри огибающей спектра (рис. 1).

Рис.1

Формирование требований к полосовому фильтру

Примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот от 86,66 кГц до 113,34 кГц. Следовательно, эти частоты будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра f_п1 и f_п2 соответственно (рис.2,б). Граничную частоту полосы непропускания f_з2 выбираем равной частоте первой гармоники спектра сигнала, находящейся после частоты (f_н + 1/t_и) = 120 кГц. Этой частотой является частота f₄ = 126,68 кГц. Следовательно,  f_з2 = f₄=126,68 кГц.

Найдем центральную частоту ПП:

Граничная частота непропускания кГц

На рис. 2 приведены структурные характеристики ослабления фильтра нижних частот (ФНЧ) и полосового фильтра (ПФ).

Рис.3 Схема подключения фильтра к источнику сигнала

Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник f₂ и f₄ спектра сигнала на выходе фильтра, выраженной в децибелах и заданной величиной А_пол – полного ослабления:

где

    А¢ = 20lgU_m2/U_m4=5,57 дБ

 дБ

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Определим частоты фильтра прототипа

Нормированной частоты фильтра

Находим коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП при A = DA и W = 1, когда y(1) = Т_m(1) = 1:

 Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 4.

Порядок фильтра Чебышева при A = A_min и W =W_з, т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева Т_m(W) = chmarchW, поэтому

Для вычисления функции archх рекомендуется соотношение

Необходимо взять m=3 порядок низкочастотного фильтра прототипа.

Для фильтра 3 порядка при =0,5дБ полюсами нормированной передаточной функции

Обращаем внимание на то, что полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной р.

Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде

где v(р) – полином Гурвица, который можно записать через полюсы:

Производя вычисления, получим

Обращаем внимание на то, что числитель равен свободному члену полинома знаменателя.

           Реализация LC-прототипа

 Для получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рис.3) составляется выражение для входного сопротивления Z_вх.1(р). Подставляя в него значение v(р) и значение h(p), после преобразований получим

Эта формула описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме на рис. 3 фильтр, нагруженный на сопротивление R_н, это действительно двухполюсник). А если известно выражение для входного сопротивления, то можно построить схему двухполюсника, воспользовавшись, например, методом Кауэра. По этому методу формула для Z_вх(р) разлагается в непрерывную дробь путем деления полинома числителя на полином знаменателя. При этом степень числителя должна быть больше степени знаменателя. Исходя из последнего, выражение преобразуется к виду

после чего производится ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель:

Затем первый делитель делим на первый остаток:

Второй делитель делим на второй остаток:

Третий делитель делим на третий остаток:

Получили четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: pC, 1/pL, 1/R. Из анализа первого результата деления следует, что он отражает емкостную проводимость, поэтому все выражение можно записать в виде цепной дроби:

По этой формуле составляем схему (рис. 5), на которой С_1н = 1,5963; L_2н = 1,097; С_3н = 1,5963; R_г.н = R_н.н = R_нор.

 Денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения:

где w_н = w_п.нч – нормирующая частота;

R_г –нормирующее сопротивление, равное внутреннему сопротивлению источника сигнала.

Используя данные соотношения и значения w_н и R_г получаем реальные значения элементов схемы НЧ-прототипа:

Ф

Гн   Ф

    Реализация пассивного полосового фильтра

Из теории фильтров известно, что между частотами НЧ-прототипа и частотами w_пф полосового фильтра существует соотношение

Индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами

Рис. 6                                         

а емкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами

Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рис. 5 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рис. 6.

Гн=0,271 мГн

Ф=0,3943 нФ

На этом расчет полосового LC-фильтра заканчивается.

     Расчет полюсов ARC-фильтра

Требования к полосовому ARC-фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LC-фильтра. Причем, не самой нормированной передаточной функцией, а только ее полюсами, и, согласно формуле, найти полюсы денормированной передаточной функции ПФ. Вначале находим:

Затем сами полюсы:

=

=

=

=

 Расчет показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения удобно представить в виде таблицы 1.

Номера полюсов	Полюсы H(p)
1,2	5,248	-62,02
3,6	2,266	-54,21
4,5	2,982	71,33

Следует отметить, что чередование пар полюсов в таблице 1 значения не имеет.

             Формирование передаточной функции

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соеди­ненных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле

Коэффициенты в знаменателе находятся по формулам:

где  – значение полюсов. Например,

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 2

Подставляя найденные коэффициенты получим:

 Расчет элементов схемы фильтр

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис.7).Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис.7,в виде

Из формулы видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации нашей функции потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R₁; R₂; С₃; С₄; R₅ ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах.

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя

В системе пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому рекомендуется задаваться значениями, например, емкостей конденсаторов С₃ и С₄ (в ходе настройки фильтра при его изготовлении принято использовать переменные сопротивления, т. к. переменных конденсаторов с большой емкостью нет вообще).

Если принять С₃ = С₄ = 2 нФ, то решая систему, получим:

Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же С₃ = = С₄ = 2 нФ, получим:

Аналогично для третьего звена:

Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений R₁ и R₅ в каждом звене берутся резисторы с номиналом, ближайшим к рассчитанному значению. Сопротивление R₂ берется составным, из последовательно соединенных постоянном и переменном резисторов, что позволит осуществлять общую настройку фильтра.

        Проверка результатов расчета

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходных требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра. Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, эта формула позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью производится замена переменной вида р = jw, в результате чего получают выражение

Находится модуль H(jw) в виде

Зная H(w), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

        где            

    Расчет ослабления на границах частот пропускания и непропускания:

Все результаты сводятся в таблицу 3

При анализе табличных данных обращаем внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра.

Входе расчета мы обратили внимание на то, что значение Н(w) наиболее сильно зависит от величины сопротивления R₂, поэтому именно это сопротивление необходимо выбирать переменным.

На рис. 8 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 9 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

                Рис. 8

                              R₁, R₂, R₅ – сопротивления 1-го звена

R¢₁, R¢₂, R¢₅ – сопротивления 2-го звена

R²₁, R²₂, R²₅ – сопротивления 3-го звена

Рис. 9

                        Литература

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589 с.

2. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 1998. – 444 с.

3. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с.