Двухточечная схема метода Гаусса

При наличии 2-х узлов

 t₁=-1/

t₂ = 1/

 c₁ = 1

c₂ = 1

Формула имеет вид:

=

Подставим в данную формулу исходные данные и получим:

= = -2,244

=-2,244

Трехточечная схема метода Гаусса

При наличии 3-х узлов

 t₁= -

t₂ = 0

t₃ =

 c₁ = 5/9

c₂ = 8/9

c₃ =5/9

Формула имеет вид:

=

Подставим в данную формулу исходные данные и получим:

= = -1,992

=-1,992

3. Сравнительный анализ точности полученных результатов.

Метод	Точное значение интеграла  =	Погрешность
Аналитически	-2	-
Средних прямоугольников, n=1	0	-2,584
Средних прямоугольников, n=2	-1,745	-0,636
Трапеций, n=1	-4,935	8,117
Трапеций, n=2	-2,467	0,646
Симпсона, n=1	-1,645	-0,355
Симпсона, n=2	-1,986	0,014
Гаусса, n=1	0	-2
Гаусса, n=2	-2,244	0,244
Гаусса, n=3	-1,992	-0,008

4. Вычисление интеграла  

4.1 Аналитически.

Вычислим внутренний интеграл i= .

Интеграл суммы равен сумме интегралов, следовательно:

= +  = 2* + x  = (2/3 + ) = 20,639 + 3,14

Подставим полученное значение во внешний интеграл и вычислим его.

 =  +  =20,639y  + 3,14  = 64,807 + 32, 404 = 97,211

4.2 Метод Гаусса.

Двойной интеграл вычисляется методом Гаусса аналогично одномерному случаю.

4.2.1Одноточечная схема.

При наличии 1-го узла

=0

 c_i,j = 2

Формула имеет вид:

 =

Подставим в данную формулу исходные данные и получим:

=  = 46,472

Двухточечная схема.

При наличии 2-х узлов

 t₁=-1/

t₂ = 1/

 c₁ = 1

c₂ = 1

= = 31

Вывод:

По проведенным нами расчетам можно сделать вывод о том, что наиболее точными методами численного интегрирования являются метод Симпсона и метод Гаусса при наибольшем количестве разбиений.