Тема: «Исследование графиков функций»

Комплект вопросов для коллоквиумов, собеседования

по дисциплине «Математический анализ»

Модуль 1, семестр 1

Тема: «Пределы и непрерывность»

Вопросы для подготовки к контролю:

1. Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности. Теорема о единственности предела сходящейся последовательности (с доказательством).
2. Ограниченная числовая последовательность. Теорема об ограниченности сходящейся числовой последовательности. Признак Вейерштрасса сходимости монотонной последовательности (формулировка).
3. Определения по Коши конечного и бесконечного предела функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции. Определение предела функции по Гейне. Теорема о связи двустороннего предела функции в точке с односторонними пределами (с доказательством).
4. Теорема о единственности предела функции (с доказательством).
5. Ограниченные и локально ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел (с доказательством).
6. Бесконечно малые функции. Теорема о связи функции, ее предела и бесконечно малой (с доказательством).
7. Теорема о сумме конечного числа бесконечно малых функций (с доказательством). Теорема о произведении бесконечно малой на ограниченную (с доказательством).
8. Бесконечно большие функции. Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций (с доказательством).
9. Теоремы о пределе суммы, произведения, частного функций (с доказательством для функций и последовательностей).
10. Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).
11. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел (с доказательством).
12. Теорема о предельном переходе в неравенстве (с доказательством для функций и последовательностей).
13. Теорема о пределе промежуточной функции (с доказательством для функций и последовательностей).
14. Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод для функций с использованием теоремы Вейерштрасса).
15. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших функциях (с доказательством). Выделение главной части.
16. Непрерывность функции действительного переменного в точке. Теорема о непрерывности сложной функции (с доказательством).
17. Точки разрыва и их классификация. Доказательство непрерывности функции многочлена и .
18. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Кафедра ФН-11

Комплект вопросов для коллоквиумов, собеседования

по дисциплине «Математический анализ»

Модуль 2, семестр 1

Тема: «Исследование графиков функций»

Вопросы для подготовки к контролю:

1. Производная функции в точке. Касательная к графику функции, геометрический смысл производной. Вывод уравнений касательной и нормали к графику функции.
2. Дифференцируемость функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости функции с существованием конечной производной (с доказательством). Связь дифференцируемости и непрерывности функции (с доказательством).
3. Основные правила дифференцирования. Вывод формул для вычисления производных суммы, произведения и частного.
4. Теорема о дифференцируемости сложной функции (с доказательством).
5. Теорема о дифференцируемости обратной функции (с доказательством).
6. Дифференциал функции (определение и геометрический смысл). Инвариантность формы записи дифференциала первого порядка (с доказательством).
7. Логарифмическая производная и производная функции, заданной параметрически.
8. Производные и дифференциалы высших порядков.
9. Формулировки и доказательства теорем Лагранжа, Ролля, Ферма, Коши.
10. Формулировка теоремы Бернулли-Лопиталя для предела отношения двух бесконечно малых (с доказательством) или бесконечно больших функций. Раскрытие неопределенностей вида
11. Сравнение на бесконечности порядков роста показательной, степенной и логарифмической функций.
12. Вывод формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (с доказательством) и в форме Лагранжа (с доказательством).
13. Формулы Маклорена. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций:  
14. Необходимое и достаточное условие возрастания и убывания дифференцируемой функции (с доказательством).
15. Понятие локального экстремума. Критические точки. Доказательство необходимого условия локального экстремума дифференцируемой функции. Доказательство достаточного условия существования локального экстремума дифференцируемой функции по ее первой производной. Доказательство достаточного условия существования локального экстремума дифференцируемой функции по ее второй производной.
16. Понятие выпуклой вверх (вниз) функции. Доказательство достаточного условия выпуклости дважды дифференцируемой функции.
17. Определение точек перегиба функции. Доказательство необходимого и достаточного условий существования точек перегиба функции.
18. Асимптоты функции. Вывод уравнения наклонной асимптоты.