Задача о загрузке оборудования

Задача о планировании производства Банди, с.56, №3

Предприятие производит 3 вида продукции A, B, C. Для выпуска каждого из них требуется определённое время обработки на имеющихся 4-х станках I, II, III, IV.

X_i – кол-во П_i

Вид продукции, Пi	Время обработки, час (на станках)				Прибыль усл. ед.
	I	II	III	IV
A B C	1 6 3	3 1 3	1 3 2	2 3 4	3 6 4
Время работы станков, не более (час)	84	42	21	42	max

Время работы на станках составляет соответственно не более I – 84 час, II – 42 час, III – 21 час, IV – 42 час.

Определить, какую продукцию, и в каких количествах следует производить, чтобы получить max прибыли при известной прибыли от реализации каждого вида продукции.

x₁, x₂, x₃ – количество производимой продукции соответственно A, B, C.

Ограничения по времени обработки на каждом станке:

Для получения max прибыли надо определить

max z = 3x₁ + 6x₂ + 4x₃

Если бы было установлено плановое задание b_i на каждый вид продукции, то появилось бы ограничение: x_i ≥ b_i, т.е. возможно перевыполнение.

Ограничение на перевыполнение x_i ≤ d_i, где d_i – max необходимое количество каждой продукции.

Ответ: max z = 55,125; x₁ = 13,125; x₂ = 2,625; x₃ = 0.

3) Задача о раскрое    Волков, с.91, №3ж

Для нарезки заготовок длиной 20, 15 и 30 см используется прутки длиной 75 см. Требуется за смену нарезать следующее кол-во заготовок: длиной 20 см – 300 шт., длиной 25 см – 270 шт., длиной 30 см – 350 шт. Лишние заготовки не допускаются. Количество заготовок, которое можно нарезать из одного прутка по различным вариантам разрезки, и длина остатков приведена в таблице:

№ заготовки	Длина заготовки, в см	Планируемое число заготовок	№ варианта раскроя
			1	2	3	4	5	6
1 2 3	20 25 30	300 270 350	3 0 0	1 2 0	1 1 1	0 0 2	2 0 1	0 3 0
Остаток (см)			15	5	0	15	5	0

Требуется определить, какое число прутков необходимо нарезать по различным вариантам, чтобы число заготовок соответствовало заданной программе, и длина остатков была минимальной.

Пусть x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ – количество прутков, раскраиваемых соответственно вариантами 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Т.к. число заготовок длиной 20 см должно быть 300 шт., то

Минимум остатков отразится в целевой функции

min z = 15x₁ + 5x₂ + 15x₄ + 15x₅.

Ответ: min z =562,5 при x₁ = x₂ = x₆ = 0; x₃ = 270; x₄ = 32,5; x₅ = 15.

Задача о загрузке оборудования

Завод располагает двумя видами станков, из них 20 станков типа 1 и 25 станков типа 2. Станки могут производить 3 вида продукции: П₁, П₂, П₃ с разной производительностью. Например, станок 1 типа производит (в смену) a₁₁ продукции П₁, a₁₂ продукции П₂ и т.д. (первый индекс – тип станка, второй – вид продукции). Производительность станков при производстве каждого вида продукции задана таблицей.

Тип станков	Вид продукции			Кол-во станков, не более
	П1	П2	П3
1 2	a11 = 12 a21 = 17	a12 = 10 a22 = 14	a13 = 13 a23 = 16	20 25
Доход – max	5	3	7
План, не менее	200	150	220

По плану завод должен производить (в смену) не менее 200 единиц продукции типа П₁, 150 ед. – типа П₂ и 220 ед. – типа П₃.

Каждая единица продукции 1-го, 2-го и 3-го типов приносит заводу доход соответственно 5, 3 и 7 условных единиц.

Требуется так распределить загрузку станков производством продукции различного типа, чтобы план был выполнен и при этом прибыль была максимальна.

За x принимается не продукция, а станки.

Пусть x_ij – число станков i-го типа, занятых на производстве продукции j-го типа (i = ; j = ). Т.е. имеется 6 переменных, которые мы должны выбрать так, чтобы прибыль была максимальной.

Т. к. плановые задания должны быть выполнены или перевыполнены, то принимаются ограничения по выпуску продукции и по числу занятых станков:

Целевая функция должна обеспечивать максимальный доход от производства всех видов продукции, т.е.

max z = 5(12x₁₁ + 17x₂₁) + 3(10x₁₂ + 14x₂₂) + 7(13x₁₃ + 16 x₂₃)

Ответ: max z = 3552,35; x₁₁ = x₁₂ = 0; x₁₃ = 20; x₂₁ = 11,76; x₂₂ = 10,7;

x₂₃ = 2,52.

Дополнительные ограничения

Если перевыполнение плана ограничено, чтобы не было затоваривания продукции, то вводятся дополнительные ограничения. Например, нельзя производить более 250 ед. продукции вида 1, 200 ед. вида 2, 260 ед. вида 3.

Тогда вводятся дополнительные ограничения

                              (3)

При условии обязательной загрузки всего оборудования ограничения по числу используемых станков из неравенств станут равенствами, т. е

            (4) вместо (2)

Ответ: max z = 3484,2; x₁₁ = x₁₂ = x₂₃ = 0; x₁₃ = 20; x₂₁ = 14,3; x₂₂ = 10,7.