Студопедия КАТЕГОРИИ: АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Еще один тип задач , который вызывает у учащихся трудности это задачи на нахождение среднего значения .
Задачи на движение
Задачи на производительность
Задачи на проценты, концентрацию, части и доли
Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия Методы решения этих задач имеют много общего и одновременно некоторые специфические особенности Весь процесс решения задач можно разбить на несколько этапов. 1-й этап: анализ условия; 5-й этап: проверка решения;
1. Анализ задачи. Назначение этапа — осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы: а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче; б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них; в) «переформулировка» задачи; г) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и др. Первый прием — представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче, — выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться и позже. Цель такого воспроизведения — выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче. Второй прием — постановка специальных вопросов и поиск ответов на них — включает следующий «стандартный» набор вопросов, ответы на которые позволяют детально разобраться в содержании задачи: 1. О чем говорится в задаче? 2. Что известно в задаче? 3. Что требуется найти в задаче? 4. Что в задаче неизвестно? и др. Третий прием — переформулировка текста задачи — состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т.п. Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи. Вспомогательные модели являются действенным средством поиска пути решения задачи и составления плана ее решения. Рассмотрим задачи, которые вызывают трудности у учащихся: Во-первых это задачи на проценты. Тема «Решение задач на проценты» проходят в 5-6 классах , но назвать эту тему легкоусвояемой нельзя поэтому перед учителем математики стоит непростая задача: научить обучающихся общим подходам в решении задач на проценты. Этого можно достигнуть только при систематической работе с учениками над этой темой с 5-го по 11-й класс Существует три основных вида задач на проценты: 1. Найти число а, составляющее п процентов от числа Ь.
2. Обратная задача: найти число Ь, если п процентов от него равно а. 3. Найти, сколько процентов составляет число а от числа Ь. Решение: п = а/Ь * 100. Большинство учащихся с легкостью скажут заученную фразу , что процент от числа находится умножением ,а число по величине его процента находится делением , но почему то встречаясь с задачами на проценты возникает ступор. Типичные задачи ,в которых учащиеся испытывают затруднения, хотя уровень этих задач невысок, именно на эти задачи необходимо обращать внимание учащихся ,обращаясь к ним вновь и вновь. 1.Мясо теряет при варке около 35% своего веса. Сколько нужно сырого мяса, чтобы получить 520 гр. вареного? Решение: Пусть х гр. - масса сырого мяса 0.35х – теряет при варке. По условию: х-0,35х=520 х=520/0,65=800 (гр.) Ответ: нужно взять 800гр. сырого мяса. 2.Вкладчик положил в банк некоторую сумму денег под 30% годовых. Через год он получил прибыль в 7500 руб. Найдите величину вклада. Решение: 30% - это 0,3; 7500:0,3=25 000 (руб.) Ответ: 25 000 руб.
3.Сумма двух чисел равна 120. Найти эти числа, если 40% одного равны 60% Другого. Решение: Основная идея решения состоит в том, чтобы на основании условия задачи составить уравнение. Пусть х - одно число, тогда (120-х) - другое число. По условию задачи: 0,4х=0,6(120-х) х=72 120-72=48 Ответ: 72 и 48. 4. После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 руб. Сколько стоила книга до повышения цены? Решение: Первоначальная цена книги составляет 100%. Поэтому52руб., т.е. цена после подорожания, составляет 100%+30%=130% от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту. Рассуждать можно по-разному: 1)1%- это 52:130=0,4 руб., а 100% - это 0,4*100=40 руб.; 2) 10% - это 52:13=4 руб., а 100% - это 4*10=40 руб.; 3) 130% - это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3 первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40 руб. Более удобное рассуждение в этой задаче –это решать ее с помощью уравнения Пусть х-цена книги до повышения, тогда 0,3х- на столько цена повысилась, и стала х+0,3х=1,3х ,что по условию 52руб. уравнение: 1,3х=52 Х=40
5.Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? Задачи о продуктах все одинаковы: то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — а на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме воды и «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда от от уравнение:
Ответ: . 6.Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй — никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой . Запишем простую систему уравнений: Решая, получим, что . Ответ: . Однако задачи такого плана легче решаются нестандартными методами. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого. Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями решение производится по правилам креста или квадрат Пирсона
Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В распоряжении имеется два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно. Если обозначить массу первого раствора через m 1, а второго – через m 2, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – ω 1, во втором – ω 2, а в их смеси – ω 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах: m 1 ω 1 + m 2 ω 2 = ω 3(m 1 + m 2), m 1(ω 1 – ω 3) = m 2(ω 3 – ω 2),
Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси. При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения или квадрат Пирсона. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
ω1 ω3 — ω2 ω3 ω2 ω1 — ω3 Например: 7.Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800 г сплава, содержащего 75% меди?
72 80-75=5 75 800:( 5+3)=100г приходится на одну часть
80 75-72=3
для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять: 72%-ного сплава 100·5 = 500 г, а 80%-ного 100·3 = 300 г. Ответ:500 г, 300 г. 8.Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%? Ответ: 7 килограммов.
Задачи этого типа служат базовыми для успешного усвоения учащимися методов решения других, более сложных задач на проценты. Еще один тип задач , который вызывает у учащихся трудности это задачи на нахождение среднего значения . Например задачи на среднюю скорость- это целый класс задач на движение, которые включены в экзамен по математике. Задачи простые, важно понять и запомнить формулу: Если участков пути было два, тогда Если три, то соответственно: и так далее. Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 61 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 87 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о двух участках пути, тогда среднюю скорость будем искать по формуле: Пусть на весь путь автомобиль затратил t часов. За первую половину времени со скоростью 61 км/ч автомобиль прошёл 0,5∙t∙61 километров, а за вторую половину времени 0,5∙t∙87 километров, тогда: Ответ: 74 Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути. Будем использовать по формулу: Обозначим весь пусть S. Тогда первую треть пути автомобиль ехал: Вторую треть пути автомобиль ехал: Последнюю треть пути автомобиль ехал: Таким образом Ответ: 60км/ч.
Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. Чтобы найти среднюю скорость нужно весь путь разделить на всё время движения. В задаче сказано о трёх участках пути. среднюю скорость будем искать по формуле: Исходя из условия мы можем определить протяжённость каждого участка: Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров. Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров. Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров. Находим скорость: Ответ: 88 км/ч Единственная небольшая сложность в подобных задачах – это когда отрезки пути или время заданы неявно. в этом случае их необходимо найти используя основную формулу движения: А затем полученные данные необходимо подставить в формулу средней скорости.
Задачи с развернутым ответом. К решению этих задач приступают не многие учащиеся. Примерно 26 % учащихся справляются с заданием. Решение задач – это сложная работа. Обучение решению текстовых задач - это специально организованное взаимодействие учителя и учащихся, целью которого является формирование у учащихся умения решать и понимать задачи. В задачах на движение используются обычно формулы, выражающие законы равномерного движения:S=V·t , где S- пройденное расстояние, V- скорость равномерного движения,t- время движения. При составлении уравнений в таких задачах часто бывает удобно прибегнуть к геометрической иллюстрации процесса движения: путь изображается в виде отрезка прямой, место встречи движущихся с разных сторон объектов точкой на отрезке и т.д. Часто для усложнения задачи её условие формулируется в различных единицах измерения(метры, километры, часы, минуты и т.д.). В этом случае при выписывании уравнений необходимо пересчитывать все данные задачи в одинаковых единицах измерения. Между величинами, описывающими равномерное движение и величинами, характеризующими процесс работы, имеется полная аналогия. Рассмотрим еще примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по математике: Маша спустилась по движущемуся вниз эскалатору за 36 секунд. По неподвижному эскалатору с той же скоростью относительного него она спустится за 1 минуту 3 секунды. За сколько секунд она спустится, стоя на ступеньках движущегося эскалатора? Основная проблема данной задачи — неизвестно общее расстояние, т.е. длина эскалатора. В некотором смысле эта задача очень похожа на движение по воде: при спуске скорости эскалатора и человека складываются. Однако, в отличие от задач на движение, здесь недостаточно просто решить систему — требуется еще и понять, какую именно величину записывать в ответ. Пусть х – скорость Маши ,а у- скорость эскалатора
Получаем систему уравнений 1/(х+у)=36 1/х=63 Решая эту систему находим у ,а затем 1/у Ответ : 84сек. Еще одна задача про эскалатор Вовочка сбежал вниз по движущемуся вниз эскалатору и насчитал 45 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 105 ступенек. Сколько ступенек насчитал бы Вовочка, спустившись по неподвижному эскалатору?
В таких задачах 1 ступенька – 1 секунда движения , относительно эскалатора Вовочка движется с одной и той же скоростью, это значит ,куда бы он не двигался каждую ступеньку эскалатора он пробегает за одно и то же время ,чему равно это время это не важно, потому что итоговое расстояние ему нужно пробежать одно и то же. Получаем систему 1/(х+у)=45 1/(х-у)=105 Ответ: 63 ступеньки. Данная задача очень похожа на задачи про движение по воде. Здесь так же есть две скорости: скорость Вовочки и скорость движения самого эскалатора. Так же, как и в задачах про воду, при движении вниз скорости складываются, а вверх — вычитаются. И даже таблица заполняется примерно в такой же последовательности. Поэтому эскалатор, можно заменить на движение по воде — с точки зрения математики это одно и тоже, поэтому ответ получится одинаковым. 14.Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 75 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. Первое на что надо обратить внимание учащихся , это то, что дано время 30 секунд, которые необходимо перевести в часы. Длина поезда это ни что иное, как расстояние ,которое считается по формуле ( V1+V2)*t (75+3)*30/3600=0,65км=650 м Ответ :650м Если пешеход идет параллельно путям в том же направлении что и едет поезд , то в формуле будет разность скоростей. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 221. stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда... |