Студопедия

КАТЕГОРИИ:

АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Сформулируйте и докажите теорему о пространстве решений однородной системы линейных алгебраических уравнений.

Совокупность P всех решений однородной системы уравнений является линейным пространством, которое представляет собой подпространство линейного пространства всех вектор-столбцов высоты n.

 

1).

2).

48. Дайте определения вырожденной и невырожденной матриц. Приведите примеры таких матриц порядка 3 × 3 .

Матрица называется невырожденной, если ее ранг = n – порядок матрицы (для квадратных матриц). Если r меньше n, матрица называется вырожденной.

Строки (столбцы) вырожденной матрицы линейно зависимы. Строки (столбцы) невырожденной матрицы линейно независимы.

49. Выведите формулу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.


Используя формулу умножения комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

= /используя тригонометрические формулы косинуса и синуса суммы/

=

 

Т.о., для умножения z1 на z2 модули этих чисел следует перемножить, а аргументы сложить.

50. Выведите формулу деления комплексных чисел в тригонометрической форме.

Возьмем два комплексных числа в тригонометрической форме.

, где z2≠0.

Используя формулу деления комплексных чисел вида

,

получим для наших двух комплексных чисел формулу:

=

/учитывая основное тригонометрическое тождество, согласно которому  =1/

=( )+ ( )i=

/используя тригонометрические свойства косинуса и синуса суммы и разности/

=

51. Докажите, что система линейных однородных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений, имеет бесконечное число решений.

Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Запишем общий вид однородной системы m уравнений сn неизвестными:

а11х1+ а12х2+…+ а1nхn=0

а21х1+ а22х2+…+ а2nхn=0

…

аm1х1+ аm2х2+…+ аmnхn=0, где n>m

Применим к системе метод Гаусса.

В процессе преобразований не могут получиться противоречивые уравнения

, где b≠0,

т.к. все свободные члены уравнений – нули.

Значит, после некоторого числа шагов мы получаем систему, где каждому уравнению будет соответствовать свое базисное неизвестное. Но поскольку число уравнений меньше числа неизвестных, то и число базисных неизвестных должно быть меньше числа неизвестных. Следовательно, обязательно имеются свободные неизвестные, а система имеет бесчисленное множество решений.

53. Сформулируйте и докажите теорему о связи общих решений неоднородной и однородной систем линейных алгебраических уравнений.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений имеет вид

, где Х0 – некоторое (частное) решение неоднородной системы уравнений

 

- общее решение однородной системы

AX=B

A(X0+C1X1+C2X2+…+ CnXn)=AX0+C1AX1+…+CnAXn=AX0=B

 

Множество решений неоднородной системы линейных уравнений не образует линейного пространства.

 

54. Сформулируйте определение определителя матрицы размера ݊ × ݊. Выведите формулу для определителя треугольной матрицы.

Определителем матрицы н=н будет число: .


Доказательство. По определению (1), det A представляет собой алгебраическую сумму произведений элементов (с учетом правила выбора знаков), составленных таким образом, чтобы каждая строка и каждый столбец матрицы A были представлены в произведении одним и только одним элементом.
В первом столбце имеется только один ненулевой элемент, а именно a11.
Второй столбец вносит ненулевой вклад в произведение только при выборе элемента a22, поскольку первая строка уже представлена своим элементом.
Аналогично, в третьем столбце выбор может быть остановлен только на элементе a33 и так далее.
Таким образом, сумма (1) содержит только один ненулевой член, который равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

57. Дайте определение ортогональной матрицы. Докажите, что ортогональная матрица не может быть вырожденной.

Квадратичная матрица называется ортогональной, если её строки образуют ортонормированную систему векторов: А*АТ=Е

Доказательство. Так как QTQ = E, то |QT| |Q| = |Q|2 = 1. Значит, |Q| = ±1.

По свойству определителей если определитель содержит две одинаковые строки то он равен0

 

 

 55. Напишите формулы Крамера для решения системы линейных уравнений, состоящей из ݊ уравнений с ݊ переменными. Выведите эти формулы для случая ݊ = 2 . 56. Дайте определение ортогональной и ортонормированной систем векторов. Докажите, что векторы ортонормированной системы векторов линейно независимы. Система ненулевых векторов е1, е2, е3 называется ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны, т.е. еi * ej= 0. Если векторы системы векторов e1, e2, ..., enпопарно ортогональны и нормированы, то система векторов называется ортонормированной системой: (ei, ej) =0, если i ≠ j ,(ei, ei) =1. 58. Дайте определение подобных матриц. Докажите, что характеристические многочлены подобных матриц равны. Определение: м. В называется подобной м. С, если существует такая невырожденная м. Т, что выполняется равенство В=Т-1СТ. Характеристические многочлены подобных мат­риц равны друг другу. В самом деле, пусть матрица Л подобна матрице В А = Х-1ВХ. Тогда для характеристического многочлена Л получаем Х-1ВХ = | Х-1(λE-B)X| = | Х-1| * | λE-B| * |X| Определители | Х-1|, |X| взаимно обратны и в произведении дают 1, поэтому: | λE-А| = | λE-B| что и требовалось доказать. Из этой теоремы вытекает, в частности, что подобные матрицы имеют одинаковые следы и определители, так как след и опреде­литель матрицы, взятые с надлежащими знаками, являются коэффициентами ее характеристического многочлена.59. 59Дайте определение выпуклого множества. Докажите, что пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло. Множество F подмножества Аn называется выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками А и В оно содержит весь отрезок АВ. Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество. Действительно, пусть М = М1 ∩ М2, где М1,М2 – выпуклы. Докажем выпуклость М. Пусть А € М и В € М. Тогда А € М1 и В € М1. Так как М1 выпуклое, то это означает, что отрезок АВ содержится М1. Аналогично покажем, что АВ содержится в М2. Значит АВ содержится в М, что означает выпуклость М. Из леммы следует, что пересечение нескольких полупространств в н-мерном пространстве Т является выпуклым множеством.

77










Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 202.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда...