Классификация по характеристикам управления

Уравнение движения может быть записано в более короткой символической (операторной) форме. Переход к этой форме осуществляют введением сокращенного условного обозначения операции дифференцирования: , где p ­– дифференциальный оператор. Соответственно k-тую производную обозначают . Тогда исходное уравнение можно записать в виде:

или:

Введем обозначения:  – дифференциаль­ный оператор при выходной величине, наз. собственным, или характеристическим оператором. Название обусловлено тем, что многочлен характеризует собственное движение элемента, т.е. движение при отсутствии внешних воздействий.  и  – дифференциальные операторы при входных величинах, наз. операторами воздействия, операторами входа. Тогда

Другая форма записи дифференциальных уравнений основана на применении преобразования Лапласа. Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, считая, что до приложения внешнего воздействия система находилась в покое и все начальные условия равны нулю. Получим:

Сравнивая с уравнением в символической форме, замечаем их полную аналогию. Разница только в значении символа р: в одном случае это операция дифференцирования, в другом – комплексное число.

Передаточной функцией W(p) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях:

Передаточная функция также равна отношению входного оператора к собственному оператору:

Как видно, передаточная функция представляет собой некоторый динамический оператор, характеризующий прохождение сигналов через линейный элемент.

Часто рассматривают передаточную функцию по управлению

и передаточную функцию по возмущению

Для реальных элементов, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, передаточная функция представляет собой правильную рациональную дробь

у которой степень многочлена числителя меньше или равна степени многочлена знаменателя, т.е. . Все коэффициенты передаточной функции – действительные числа, характеризующие параметры элемента.

      Для элементов, описываемых передаточной функцией невысокого порядка (n < 3), принято записывать передаточную функцию в стандартной форме. При этом передаточную функцию преобразовывают таким образом, чтобы свободный член знаменателя  был равен единице. При этом свободный член числителя становится равным передаточному коэффициенту и его выносят за скобки:

, где

Передаточная функция является функцией комплексной переменной , которая может при некоторых значениях переменной р обращаться в ноль или бесконечность. Значение переменной р, при котором передаточная функция обращается в ноль, называют нулём, а значение, при котором обращается в бесконечность – полюсом передаточной функции. Очевидно, что нулями передаточной функции являются корни полинома , а полюсами - корни полинома .

6. Типовые воздействия и временные характеристики САУ

Классификация динамических звеньев производится по виду дифференциального уравнения, описывающего поведение звена в динамических режимах работы САУ. Однако вид дифференциального уравнения не является единственным признаком, по которому проводится сравнение динамических звеньев. Для этого используются следующие характеристики:

· Дифференциальные уравнения движения динамического звена.

· Передаточные функции W(p);

· Временные характеристики, к которым относятся:

o переходная функция или переходная характеристика h(t),

o импульсная передаточная функция или функция веса w(t),

· Частотные характеристики, к которым относятся:

o амплитудно-частотные характеристики, в т.ч. логарифми­ческие,

o фазочастотные характеристики, в т.ч. логарифмические,

o амлитудно-фазовые частотные характеристики.

Дифференциальные уравнения движения динамического звена и его передаточные функции рассмотрены в предыдущем разделе.

Временные характеристики определяют вид изменения выходного сигнала при подаче на вход звена типового управляющего воздействия. Это позволяет сравнивать свойства звеньев в динамических режимах работы. Временные свойства звена определяются его переходной и импульсной переходной характеристиками.

Переходная функция или переходная характеристика h(t) представляет собой переходный процесс на выходе звена, возникающий при подаче на его вход скачкообразного воздействия при величине скачка, равного единице. Такое воздействие называется единичной ступенчатой функцией и обозначается

X(t) = 1(t),

что соответствует следующим условиям:

Изображение единичной ступенчатой функции определяется как

Чтобы определить изображение переходной функции при известной передаточной функции звена W(s) необходимо выполнить следующую операцию:

Ступенчатая функция представляет собой распространенный вид входного воздействия в САУ. К такому виду воздействия сводятся возрастание момента на валу двигателя, мгновенное изменение задания на частоту вращения двигателя.

Функция веса или импульсная переходная характеристика представляет собой реакцию звена на единичную импульсную функцию. Единичная импульсная функция, или -функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции. То есть

Дельта-функция тождественно равна нулю во всех точках, кроме t=0, где она стремится к бесконечности.

Основное свойство дельта-функции состоит в том, что

то есть она имеет единичную площадь.

Нетрудно установить, что изображение дельта-функции определяется как

Изображение функции веса определяется как:

Очевидно, что изображение импульсной переходной характеристики совпадает с передаточной функцией звена или САУ.

Зная переходную или весовую функцию САУ, можно определить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях с помощью следующих формул:

,

Две рассмотренные формулы легко получаются друг из друга, являясь вариантами интеграла Дюамеля, или интеграла свертки. Для реальных инерционных звеньев реакция на выходе всегда отстает от входного воздействия, т.е. .

7. Частотные характеристики САУ

Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и систем в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Зная частотную характеристику элемента, можно определить реакцию элемента на гармоническое воздействие любой частоты, а также на сумму гармонических воздействий различной частоты. Частотные характеристики широко используются в теории и практике автоматического управления, так как реальные возмущения, действующие на автоматические системы, могут быть представлены как сумма гармонических сигналов.

Пусть на вход линейного элемента в момент времени t = 0 подано гармоническое воздействие определенной частоты w.

      Через некоторое время, необходимое для протекания переходного процесса, элемент войдет в режим установившихся вынужденных колебаний, а выходная величина y(t) будет изменяться по гармоническому закону с той же частотой w , но с отличающейся амплитудой y_m и со сдвигом  по оси времени

где  – период колебаний;  – фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами.

      Повторяя такой эксперимент при фиксированном  для различных значений частоты (от 0 до ), можно установить, что амплитуда  и фазовый сдвиг  выходного сигнала конкретного элемента зависят от частоты воздействия.

Подавая гармоническое воздействие на вход различных элементов, можно убедиться, что величины и  зависят также от типа и параметров элемента.

Так как амплитуда выходного сигнала зависит ещё от амплитуды входного сигнала, то целесообразно при описании передаточных свойств элементов рассматривать отношение амплитуд .

Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигнала от частоты называют амплитудной частотной характеристикой (сокращенно - АЧХ) и обозначают А(w) (см. рис. а). Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначают j(w) (см. рис. б). Аналитические выражения А(w) и j(w) называют соответственно амплитудной и фазовой частотными функциями.

АЧХ показывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Оценка пропускания производится по отношению амплитуд  в установившемся режиме. АЧХ имеет размерность, равную отношению размерности выходной величины к размерности входной. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах в установившемся режиме.

Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ или АФХ). Амплитудно-фазовая частотная характеристикаW(jw) представляет собой функцию комплексного переменного jw, модуль которой равен А(w), а аргумент равен j(w). Каждому фиксированному значению частоты w_i соответствует комплексное число W(jw_i), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину А(w_i) и угол поворота j(w_i) (см. рис. в). Отрицательные значения j(w), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси.

 При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jw) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно увеличивается или уменьшается длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, называемая годографом, и есть АФЧХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты.

Проекции вектора W(jw) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают

      При этом, действительная частотная характеристика Р(w) – всегда четная, а мнимая характеристика Q(w) – всегда нечетная функции частоты.

      Аналитическое выражение для АФЧХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции путем подстановки р=jw:

      АФЧХ W(jw), как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной форме

где А(w) – модуль АФЧХ, а j(w) – угол сдвига по фазе; алгебраической

или тригонометрической

Связь между различными частотными функциями следующая:

Выделение действительной и мнимой составляющих частотной передаточной функции  возможно с помощью следующих формул:

где a(w) – действительная часть числителя функции W(jw), b(w)  – мнимая часть числителя, c(w) – действительная часть знаменателя, d(w) – мнимая часть знаменателя

При практических расчетах автоматических систем удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков.

      За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением w_i и его десятикратным значением 10w_i. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1. При построении ЛЧХ по оси абсцисс откладывают логарифм частоты, а подписывают соответствующие значения частот. Ось ординат проводят через произвольную точку.

      Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах (Б) или децибелах (дБ).

При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс.

На рис. г показаны ЛАЧХ L(w) (толстая линия) и соответствующая ей приближенная (асимптотическая) характеристика L_а(w) в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют сопрягающими и обозначают w_с.

8. Позиционные звенья САУ

8.1 Безынерционное звено

  Является простейшим среди всех типовых звеньев, безынерционное звено передает сигнал со входа на выход мгновенно, без искажения его формы. В звене может происходить только усиление или ослабление мгновенных значений входной величины. Связь между мгновенными значениями входной и выходной величин описываются алгебраическим уравнением движения

;  

k – коэффициент усиления или передачи звена характеризует наклон статической характеристики.

  Уравнение движения звена в операторной форме

,

отсюда передаточная функция

.

  При единичном ступенчатом воздействии , приложенном в момент времени t = 0, выходная величина мгновенно изменяется и принимает значение k. Переходная функция звена (см. рис. а) имеет вид

.

  Аналогично, функция веса (рис. б) определяется выражением

.

  Сигналы любой частоты (от нуля до бесконечности) проходят через безынерционное звено с одинаковым отношением амплитуд выходной и входной величин, равным k.

  Примерами технической реализации звена являются механический редуктор, потенциометриче­ский датчик углового перемещения, тахогенератор, операционный усилитель.

  Понятие безынерционного звена является продуктом математической идеализации. На самом деле все реальные конструктивные элементы обладают некоторой инерционностью, так как передача энергии со входа на выход не может осуществляться мгновенно.

8.2 Апериодическое (инерционное) звено I-го порядка

  Дифференциальное уравнение апериодического звена имеет вид

передаточная функция

,

переходная функция (рис. а)

,

функция веса (рис. б)

.

  T – постоянная времени – отрезок, отсекаемый на асимптоте касательной, проведенной к кривой в любой точке. Чем больше Т, тем дольше длится переходный процесс. Практически переходный процесс считается законченным через t_п = 3Т. Постоянная времени характеризует инерционность апериодического звена.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика определяется заме­ной p на jw в W(p):

где – мнимая часть АФЧХ.

Если из действительной части U(w) определить w и подставить в мнимую часть V(w), то после некоторых элементарных преобразований получим уравнение амплитудно-фазовой частотной характеристики (см. рис.) в декартовых коорди­натах U(w) и V(w) в виде уравнения окружности с центром в точке (k/2; 0):

  Инерционными звеньями первого порядка являются конструктивные элементы, которые могут накапливать и передавать энергию или вещество. В электрических элементах накопителем энергии электрического поля служит конденсатор, а магнитного – индуктивность. В механических элементах потенциальная энергия накапливается в пружинах и других упругих элементах, а кинетическая – в движущихся массах. Простейшим примером такого элемента является электрический пассивный четырехполюсник (см. рис.). Выходная величина после подачи на его вход постоянного напряжения u₁ изменяется пропорционально величине накапливаемого в емкости заряда. В первый момент времени заряд растет быстро, а затем по мере приближения напряжения u₂ к входному напряжению, ток заряда становится все меньше, и скорость возрастания напряжения u₂ постепенно падает до нуля.

  Более сложным примером звена такого рода служит электрический генератор постоянного тока, у которого входной величиной является напряжение возбуждения, а выходной величиной – ЭДС, наводимая в обмотке якоря генератора.

8.3 Позиционные звенья II порядка

      Динамика процессов звене II порядка описывается уравнением:

                             ,

где k - коэффициент усиления звена; Т - постоянная времени колебательного звена;  - коэффициент демпфирования звена (или коэффициент затухания).

      В зависимости от величины коэффициента демпфирования различают четыре типа звеньев:

а) колебательное 0< <1;

б) апериодическое звено II порядка >1;

в) консервативное звено =0;

г) неустойчивое колебательное звено <0.

   Переходные характеристики различных звеньев II порядка:

Амплитуды первых двух колебаний определяют величину , или её можно найти, определив постоянную времени экспоненты, с которой происходит затухание .

Чем ближе коэффициент затухания к единице, тем меньше амплитуда колебаний, чем меньше Т, тем быстрее устанавливаются переходные процессы.

Апериодическое звено II порядка не является элементар­ным, поскольку представляет со­бойпоследовательное соедине­ние двух апериодических звеньев I порядка с постоянными времени Т₁ и Т₂.

Здесь w₀ – величина, обратная постоян­ной времени ( );

Все переходные характеристики колеблются вдоль величины k.

      2. Импульсные переходные характеристики звеньев II порядка:

3. Передаточные функции звеньев II порядка:

   4. АФЧХ:

График АФЧХ будет выглядеть следующим образом:

Для апериодического звена - .

      5. АЧХ:

 .

На частоте  АЧХ колебательного звена имеет максимум (резонансный пик), равный

.

Отсюда видно, что чем меньше коэффициент x, тем больше резонансный пик.

      По графику АЧХ видно, что колебательное звено, как и все инерционные звенья, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты; если частота гармонического входного сигнала близка к частоте собственных колебаний звена, то отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного больше передаточного коэффициента k.

6. ФЧХ:

Для случая б) график будет аналогичным, только перегиб будет чуть меньше (штриховая линия на графике).

   7. ЛАЧХ:

а,б) , где

Примером звена II порядка (колебательного) является RLС- цепь.

9. Непозиционные звенья САУ

9.1 Интегрирующие звенья

  Различают два вида интегрирующих звеньев: идеальные и реальные. Общей особенностью интегрирующих звеньев является пропорциональность производной выходной величины мгновенному значению входной величины.

  Дифференциальное уравнение идеального интегрирующего звена