Некоторые злоупотребления теоремой Геделя и теорией множеств

С тех пор как Гедель доказал, что не существует доказательства непротиворечивости формализуемой арифметики Пеано внутри ней самой (1931), у политологов появились возможности понять, зачем нужно было мумифицировать Ленина и выставлять его на обозрение «случайных» товарищей в мавзолее, Центре народного Государства.

Режи Дебрэ, «Писец» (1980, с. 70)

Итак, применяя теорему Геделя к вопросам закрытого и открытого, касаясь социологии, Режи Дебрэ в одном и том же жесте связывает петлей и проходит заново историю и работу двух предшествующих столетий.

Мишель Серр, «Элементы истории наук» (1989, с. 359–360)

Теорема Геделя — это почти неисчерпаемый источник интеллектуальных злоупотреблений: мы уже встречали их у Кристевой и Вирилио, и несомненно, что по этой теме можно было бы написать целую книгу. Теперь мы дадим несколько довольно-таки необычных примеров таких злоупотреблений, в которых теорема Геделя и другие понятия, извлеченные из оснований математики, совершенно произвольным образом расширяются для применения в социальной и политической области. Режи Дебрэ посвящает одну из глав своей теоретической работы «Критика политического разума» (1981) объяснению того, что «Коллективное безумие находит свое последнее основание в логической аксиоме, которая сама по себе лишена основания — в аксиоме неполноты. » (с. 10). Эта «аксиома» (называемая также «тезисом» или «теоремой») вводится весьма многословным образом:

Открытие «секрета» коллективных бедствий, то есть условия a priori всякой прошедшей, настоящей и будущей политической истории, содержится в нескольких простых детских словах. Но если мы заметим, что определения прибавочного труда и бессознательного состоят из одной фразы (а в физических науках уравнение общей теории относительности состоит из трех букв), то мы остережемся смешивать простоту с упрощенчеством. Этот секрет имеет форму логического закона, обобщения теоремы Геделя: нет организованной системы без закрытия и никакая система не может быть закрытой при помощи только лишь её внутренних элементов. (с. 256, курсив в оригинале).

Не будем обращать внимания на отсылку к общей теории относительности. Гораздо более серьезным представляется упоминание теоремы Геделя, касающейся некоторых формальных систем в математической логике, для объяснения «секрета коллективных бедствий». Между этой теоремой и социальной организацией просто не существует никакой связи¹⁹⁷.

Тем не менее, заключения, которые Дебрэ извлекает из своего «обобщения теоремы Геделя», весьма необычны, например:

Так же, как порождение неким индивидом самого себя было бы биологически противоречивой операцией (операцией полного «клонирования» как биологической апорией?), управление коллектива им же самим — verbi gracia, «народа народом» — оказалось бы логически противоречивой операцией (операцией «обобщенного самоуправления» как политической апорией). (с. 264)

И далее:

«Таким образом, рационально присутствие иррационального в группах, поскольку если бы его не было, не было бы самих групп. Хорошо, что существует мифическое, ведь демистифицированное общество было бы обществом, стертым в порошок». (с. 262)

Следовательно, ни управление «народа народом», ни демистифицированное общество не являются возможными, причем по-видимому именно по чисто логическим причинам.

Но если бы это рассуждение было верным, почему бы его просто-напросто не использовать для доказательства существования Бога, как на то намекает следующий пассаж:

Неполнота подтверждает, что множество по определению не может быть субстанцией в спинозовском смысле: тем, что существует в себе и для себя. Ему необходима причина (из которой оно могло бы порождаться), и оно не является причиной самого себя.

Однако ж, Дебрэ отбрасывает существование Бога (с. 263), не объясняя почему оно не является столь же логическим, как и все остальные, следствием его «теоремы».

Основание проблемы сводится к тому, что Дебрэ не объясняет, какую роль он желает навязать теореме Геделя. Если речь идет о том, чтобы использовать ее в рассуждении о социальной организации, то он ошибается. Если же, напротив, речь идет об аналогии, то она могла бы навести на определенные мысли, но, конечно, ничего бы не доказывала. Необходимо было бы предоставить аргументы, относящиеся к человеческим существам и их социальному поведению, а не к математической логике.

Теорема Геделя будет истинной и через десять тысяч или миллион лет; но никто не может сказать, на что будет походить общество в таком далеком будущем. Упоминание этой теоремы, следовательно, придает видимость «вечности» тезисам, которые, в лучшем случае, значимы в данном контексте и в данную эпоху. Кроме того, намек на «биологически противоречивый» характер «полного клонирования» кажется полностью опровергнутым в час «Долли», что показывает: нужно быть более осторожным с «приложениями» теоремы Геделя.

Поскольку эта идея Дебрэ не кажется слишком серьезной, мы были весьма удивлены, увидев, что она возвышена до уровня «принципа Геделя-Дебрэ» Мишелем Серром (1989, с. 359)¹⁹⁸, который кроме того объясняет, что

Режи Дебрэ применяет к социальным группам или обнаруживает в них теорему неполноты, значимую для формальных систем, и показывает, что общества организуются лишь при том непременном условии, что их основание лежит в чем-то отличном от них самих, вне их определения или границы. Они не могут быть самодостаточными. Такое обоснование он называет религиозным. Посредством Геделя он осуществляет Бергсона, который в «Двух источниках морали и религии» противопоставлял открытые общества закрытым. Нет, говорит он, внутренняя связность утверждается за счет внешнего, группа закрывается лишь если она открывается. Святые, гении, герои, модели, всевозможные чемпионы не взламывают институты, а делают их возможными. (с. 358)

Серр продолжает:

Итак, после Бергсона самые именитые историки копируют «Два источника» […] Ни в коей мере не переписывая подобно им некую модель, Режи Дебрэ решает проблему. Там, где историки описывают переходы или нарушения социальных или концептуальных пределов, не понимая их, поскольку они позаимствовали у Бергсона уже готовую схему, которую сам он произвел исходя из Карно и термодинамики, Режи Дебрэ непосредственно производит и, следовательно, понимает новую схему, опирающуюся на Геделя и логические системы.

Вклад Геделя-Дебрэ, обладающий решающим значением, избавляет нас от старых моделей и от их повторения.

В продолжении текста¹⁹⁹ Серр применяет «принцип Геделя-Дебрэ» к истории наук, в которой он значит не больше, чем в политике.

Наш последний пример косвенно связан с пародией Сокала. В ней он играет на английском слове «choice» чтобы установить совершенно фантастическую связь между аксиомой выбора²⁰⁰, которая включается в математическую теорию множеств, и политическим движением, которое называется «pro-choice», то есть движением, защищающим право на аборт. Сокал доводит розыгрыш до того, что упоминает теорему Когена, которая показывает, что аксиома выбора и гипотеза непрерывности²⁰¹ являются независимыми (в техническом смысле этого логического термина) от других аксиом теории множеств, дабы сказать, что эта теория недостаточная для «освободительной» математики. И здесь мы снова сталкиваемся с абсолютно произвольным прыжком между основаниями математики и политическими размышлениями.

Поскольку этот пассаж — один из наиболее очевидно смешных в пародии, мы были сильно удивлены, обнаружив, что весьма схожие аргументы были совершенно серьезно — по крайней мере именно такое они оставляют впечатление — выдвинуты Аленом Бадью в текстах, которые, подчеркнем, достаточно стары. В «Теории субъекта» (1982), Бадью с легкостью смешивает политику, учение Лакана и теорию множеств. Отрывок из главы, озаглавленной «Логика избытка», дает почувствовать вкус этой смеси. После небольшого обсуждения положения рабочих-иммигрантов, Бадью делает отсылку к гипотезе непрерывности и связывает свои аргументы следующим образом:

В игру вводит никак не меньше чем сплав алгебры (правильная последовательность кардинальных чисел) и топологии (избыток частичного над элементарным). Истинность гипотезы непрерывности придавала бы силу закона тому, что избыток в кратном не имеет другого обозначения кроме занятия пустого места, кроме существования несуществующего, свойственного изначально кратному. Налицо должна была бы оказаться подтвержденная цепочка непротиворечивости, заключающаяся в том, что элемент, внутренне избыточный по отношению к целому, доходит лишь до именования предельной точки этого целого.

Но гипотеза протяженности недоказуема.

Математический триумф политики над профсоюзным реализмом.

Можно задаться вопросом, не опущено ли несколько параграфов перед последней фразой этой цитаты, но дело не в этом: прыжок между математикой и политикой не менее резок, чем это кажется²⁰².

Для завершения приведем эту замечательную фразу с четвертой страницы обложки:

Не стоит ожидать, что вы обнаружите здесь одно лишь обсуждение теорий. Малларме в этой книге часто соседствует с Мао Дзедуном, Гельдерлин с Гегелем, а теорема Геделя с положением рабочих-иммигрантов.

Эпилог

В этой последней главе мы попытаемся ответить на достаточно общие исторические, социологические и политические вопросы, которые были подняты отчасти пародией, отчасти рассмотренными здесь текстами. Мы ограничимся тем, что объясним свою точку зрения, не обосновывая ее в деталях, настаивая на том, что мы не претендуем на какую-то особую компетентность в этих областях. Мы не можем не высказаться по этим вопросам прежде всего для того, чтобы нам не приписали идеи или намерения, которых у нас не было (а мы с этим уже столкнулись) и чтобы показать, что по большому кругу проблем у нас достаточно гибкая позиция.

Одним словом, большинство вопросов касается постмодернизма, который, как предполагается, вытеснил современное рационалистическое мышление. Тем не менее термин «постмодернизм» охватывает целый мир, правда плохо определенный, идей — от искусства и архитектуры до гуманитарных наук и философии — и мы вовсе не хотим затрагивать все эти области²⁰². Мы ограничиваемся рассмотрением тех его теоретических аспектов, которые оказали влияние на гуманитарные науки и философию, пристрастив к темным рассуждениям, когнитивному релятивизму, связанному со скептицизмом более широко распространенным, чем научный дискурс, растущему интересу к субъективным верованиям независимо от степени их истинности и той важности, которая придается дискурсу и языку в противовес фактам, на которые те ссылаются (или отметается сама идея существования фактов, на которые можно сослаться).

Отметим сразу, что есть немало идей постмодерна, умеренных по своему выражению, совершенно справедливо корректирующие наивный модернизм (вера в бесконечный и непрерывный прогресс, сциентизм, культурный европоцентризм и т. д.). Мы подвергаем критике²⁰³ радикальную версию постмодернизма, а также некоторую путаницу в рассуждениях, даже умеренных, заимствованных из радикальной версий. Мы начнем с напряженности, которая всегда существовала между естественниками и гуманитариями и заметно обострилась в последние годы, а также перспектив плодотворного диалога между точными науками и науками гуманитарными. Затем мы рассмотрим вопрос об исторических, в том числе политических, и теоретических источниках постмодернизма и релятивизма. Наконец, мы обсудим их негативное влияние как на культуру, так и на политику.