Исследование пропорции «золотого сечения»

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ КАК МЕРА КРАСОТЫ И ГАРМОНИИ.

Реферативная работа на Челябинский

интеллектуальный форум молодёжи «Шаг в будущее-Созвездие-НТТМ»

(направление «Мир математики»)

Автор:                                                                     

Свяженин Александр Максимович,

 г. Челябинск, МОУ СОШ № 109, класс 2

 Руководитель:                                                                    

 Скленина Ольга Викторовна,

 учитель начальных классов,

 МОУ СОШ №109

Челябинск – 2011

Оглавление

1. Введение                                                                                                                    3

2. Золотое сечение как мера красоты и гармонии                                              4

3. Заключение                                                                                                                9

4. Список литературы                                                                                                  10

5. Приложение                                                                                                              I-IX

Природа так обо всем позаботилась, что повсюду ты находишь, чему учиться.

Леонардо да Винчи.

Введение.

       Все окружающие нас предметы мы различаем по форме. Какие-то нам очень нравятся , какие-то — не очень, а некоторые - вообще не нравятся. Предметы могут интересовать нас, потому что они приносят нам пользу, или потому, что они красивые.

       Этим летом я был в палеонтологическом музее в Москве. Там мы с мамой видели, как раковины растут по спирали (Приложение А, рисунок 1). И спиральные зубы ископаемой рыбы геликоприона. (Приложение А, рисунок 2)

Мы обратили внимание, что спирали очень часто встречаются в природе. Ракушки, рога, усики растений (у гороха, огурцов и кабачков, например). (Приложение А, рисунок 3) Водовороты и ураганы тоже имеют спиральную форму. (Приложение А, рисунок 4, 5)По спирали устроены шишки и сложные цветки. (Приложение А, рисунок 6, 7)

       Спирали кажутся нам красивыми. Спиральные ракушки люди издавна используют в украшениях. (Приложение А, рисунок 8)

       Если просить разных людей рисовать спираль на бумаге, эти рисунки будут похожи, но не все будут красивы. (Приложение А, рисунок 9)

       Можно ли измерить красоту? Как измерить красоту? На этот вопрос ответили давно.

       Актуальность темы в том, что человек постоянно стремится к совершенству, красоте и гармонии.

Ощущение красоты и гармонии возникает, когда объект симметричен, а его части соотносятся между собой определённым образом.

       Такое отношение частей внутри целого называется золотым сечением.

       Цель работы: Изучение симметрии золотого сечения в окружающих нас предметах.

       Объект исследования: предметы живой и неживой природы, содержащие пропорцию золотого сечения

       Предмет исследования: пропорция золотого сечения.

Гипотеза: красивые и гармоничные объекты и предметы имеют в своём построении пропорцию золотого сечения.

       В соответствии с поставленной целью требуется решить следующие задачи:

1. Определить понятие «золотое сечение»
2. Изучить историю изучения и применения человеком пропорции золотого сечения.
3. Исследовать пропорцию золотого сечения.
4. Рассмотреть пропорцию в предметах и объектах живой и неживой природы.

«Геометрия владеет двумя сокровищами -

Теоремой Пифагора и золотым сечением.

И если первое из этих двух сокровищ

Можно сравнить с мерой золота,

То второе - с драгоценным камнем».

Иоганн Кеплер.

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ КАК МЕРА КРАСОТЫ И ГАРМОНИИ.

Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

Деление целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей. Схематично это выглядит так (Приложение А, рисунок 10)

       Можно эту пропорцию выразить в процентах. (Приложение А, рисунок 11)

История.

Принято считать, что понятие золотой пропорции ввел в научный обиход древнегреческий философ и математик Пифагор в VI в. до н.э. Он позаимствовал свое знание у египтян и вавилонян. Пропорции пирамиды Хеопса, различных египетских храмов и барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют об использовании египетскими мастерами соотношениями золотого сечения. (Приложение А, рисунок 12)

Фидий (греческий скульптор) и другие мастера древней Греции и Египта, часто использовали этот коэффициент при создании многих своих произведений искусства. (Приложение А, рисунок 13)

Большинство работ Фидия не сохранились, о них мы можем судить только по описаниям античных авторов и копиям. Он был создателем одного из семи чудес света — статуи Зевса в Олимпии.В его честь эта пропорция получила название «пропорция Фидия», а число 1,618 коэфиициент Фидия, и обозначается греческой буквой «Фи» φ.

Первое описание встречается в «Началах» Евклида - первом учебнике геометрии (III в до н.э.). Этот учебник состоял из 13 книг, был переведён на множество языков и в течении двух тысячелетий оставался учебником геометрии.В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам "Начал". Однако в средние века секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным.

В эпоху Возрождения (XV в н.э.) возродился интерес к наукам, в том числе и к математике. Удивительная пропорция снова была изучена и названа «Божественной пропорцией». Она широко использовалась и легко определяется в шедеврах скульптуры и живописи того периода. (Приложение А, рисунок 14) Леонардо да Винчи придавал огромное значение Золотой пропорции. Он говорил: «Если предмет не имеет правильного облика, он не работает».

В последующие века правило золотой пропорции превратилось в некий стандарт, и впоследствии, во время борьбы с устаревшими стандартами, было тоже объявлено устаревшими незаслуженно забыто. Вновь "открыто" золотое сечение было в середине XIX. Немецкий профессор Цейзинг изучал работы учёных античности и Возрождения, проводил массовые исследования строения человеческого тела. Он описал результаты в своей книге "Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве". (Приложение А, рисунок 15, 16)

С развитием дизайна и технической эстетики действие закона золотого сечения распространилось на конструирование машин, мебели и т. д. (Приложение А, рисунок 17, 18)

Самая главная книга всех современных архитекторов справочник Э.Нойферта "Строительное проектирование" содержит основные расчеты параметров туловища человека, заключающие в себе золотую пропорцию.

Исследование пропорции «золотого сечения»

Древние греки были искусными геометрами. И законы «золотой пропорции» изучали на геометрических фигурах.

Золотой прямоугольник – прямоугольник, у которого отношение смежных сторон дает пропорцию Фидия. (Приложение А, рисунок 19)

 «Золотой прямоугольник» обладает интересным свойством: если от него отрезать квадрат, то останется вновь «золотой прямоугольник». Так можно продолжать до бесконечности. (Приложение А, рисунок 20)

Любой золотой прямоугольник можно разделить на квадрат и меньший золотой прямоугольник. Теоретически этот процесс можно продолжать до бесконечности. Пунктирные линии, которые сами находятся в золотом соотношении одна к другой, рассекают прямоугольники по диагонали и обозначают теоретический центр спирали. В любой точке развития золотой спирали отношение длины дуги к ее диаметру равно числу Фидия.

Золотой треугольник представляет собой равнобедренный треугольник, у которого

отношение длины боковой стороны к длине основания равняется числу Фидия. (Приложение А, рисунок 21)

Пятиконечная звезда, пожалуй, является одной из самых известных фигур. Она постоянно привлекала внимание людей своим совершенством. Ученики Пифагора выбрали ее в качестве символа своего союза именно эту звезду. Ее же считали амулетом здоровья. Сейчас звезда используются на многих флагах и гербах многих стран. Почему же она так привлекает, притягивает взгляд? Дело в том, что в этой звезде есть удивительное постоянство отношений составляющих ее отрезков. (Приложение А, рисунок 22)

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник.

Золотая пропорция в предметах и объектах живой и неживой природы.

       Золотая пропорция «на пальцах»: если приблизить сейчас вашу ладонь к себе и

внимательно посмотреть на указательный палец, вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. (Приложение А, рисунок 23) Каждый палец нашей руки (кроме большого) состоит из трех фаланг.        Сумма двух первых фаланг пальца в соотношении со всей длиной пальца и дает число золотого сечения. Кроме того, соотношение между средним пальцем и мизинцем также равно числу золотого сечения.

       Врачи-стоматологи используют специальный циркуль золотого сечения (Приложение А, рисунок 24) при протезировании зубов, чтобы улыбка получилась красивой. Красивая улыбка - это не только белоснежные здоровые ровные зубы, но и их правильное соотношение и расположение. (Приложение А, рисунок 25-27)

Золотое сечение присутствует в строении всех кристаллов. Cнежинки — кристаллы воды — мы легко можем рассмотреть зимой. Все оси, окружности и геометрические фигуры в снежинках всегда без исключений построены по формуле золотой пропорции. (Приложение А, рисунок 28,29)

       Та же пропорция наблюдается в строении тела насекомых. (Приложение А, рисунок 30)

       Большой интерес представляет исследование форм птичьих яиц. Их всевозможные формы колеблются между двумя крайними типами:, каждый из которых содержит пропорции золотого сечения. (Приложение А, рисунок 31) Оказалось, яйца такой формы наиболее прочные.

       В биологических исследованиях показано, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. (Приложение А, рисунок 32, 33)

       Очень многие явления в природе описываются золотой спиралью. Движение волны (Приложение А, рисунок 34), расположение космических галактик (Приложение А, рисунок 35), семян в шишке (Приложение А, рисунок 6), завитков в раковине и многого другого (Приложение А, рисунок 36) подчинено закону золотой спирали. Размеры сосновой шишки и галактики трудно сравнить, но устроены они по одному и тому же принципу.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются и в неживой природе: в строении некоторых химических соединений, в планетарных и космических системах, в генных структурах живых организмов.

       Соотношения суши и воды на поверхности Земли: оказывается, что площадь океанов близка к 62%, остальная поверхность планеты занята материками.

       Любопытно соотношение содержания различных горных пород в земной коре. Среди разнообразных разновидностей пород преобладают две группы - граниты и бальзаты, остальные встречаются в относительно малых количествах. Отношение содержания гранитов к базальтам в пределах точности отвечают золотой пропорции!

       Благодаря золотому сечению был открыт пояс астероидов между Марсом и Юпитером – по пропорции там должна находиться ещё одна планета.

       Многие окружающие нас предметы созданы с использованием золотой пропорции.

Здание ООН – это Золотой прямоугольник. (Приложение А, рисунок 37) Многие вещи, которыми мы пользуемся, в своей основе имеют приблизительный Золотой прямоугольник: банковские карточки (Приложение А, рисунок 38), игральные карты (Приложение А, рисунок 39), открытки (Приложение А, рисунок 40), блокноты, книги, визитные карточки.

Стандартный размер фотографии 10*15, если вычесть поля по 1 см (без которых раньше было невозможно напечатать снимок), также образует золотой прямоугольник 8*13.

Золотые звёзды на погонах у военных (Приложение А, рисунок 45), и рубиновые звёзды на башнях московского кремля (Приложение А, рисунок 46, 47) тоже подсмотрены у природы (Приложение А, рисунок 48), а значит, созданы по золотой пропорции. Пятиконечные звёзды встречаются на флагах многих государств.

Не только скульпторы и архитекторы пользуются золотой пропорцией. Она совершенно необходима модельерам, чтобы сделанная ими одежда была пропорциональной, то есть — красивой. (Приложение А, рисунок 41,42).

Золотая пропорция в картинах делает их привлекательными для наших глаз, и эта привлекательность мало зависит от содержимого. ( (Приложение А, рисунок 43, 44)

Знание золотой пропорции пригодится нам в практической жизни, например, в фотографии.

Вот фотография кота, который расположен в произвольном месте кадра.  (Приложение А, рисунок 49)

Теперь условно поделим кадр на отрезки, в соответствии с золотой пропорцией по 1.62 общей длины от каждой стороны кадра.  (Приложение А, рисунок 50)

Для более удобного деления используют соотношение 3/8.

В местах пересечения отрезков и будут основные "зрительные центры", в которых стоит разместить необходимые ключевые элементы изображения. С помощью компьютерных технологий передвинем кота в точки "зрительных центров".  (Приложение А, рисунок 51)

Посмотрим, что получилось. (Приложение А, рисунок 52)

Сравним исходный и отредактированный кадры. Отредактированный кадр вызывает ощущение законченного произведения, тогда как в исходном нашим глазам явно чего-то не хватает.

В инструкциях к фотоаппаратам обычно пишут: «Поместите объект съёмки в центр кадра и нажмите кнопку спуска затвора». Мы уже знаем, что такое изображение не воспринимается человеком как гармоничное. Чтобы было красиво, нужно соответствовать пропорции красоты.

Нам трудно отделить 3/8, чтобы точно соответствовать пропорции. Поэтому фотографы придумали «правило третей»., при котором пространство снимка делится на 3 равные части по горизонтали и 3 равные части по вертикали.

Человек интуитивно чувствует золотую пропорцию, поэтому при расположении объектов по правилу третей, которое золотой пропорции не соответствует, объекты всё равно помещаются согласно пропорции.

Точно по этой же причине большинство человек, когда подходит к пустой скамейке и садится на неё, сядет не точно посередине скамейки и, конечно, не на самый край. Если замерить длины, на которые скамейка разделена телом сидящего человека, то получится та же золотая пропорция.

Точно так же, по золотой пропорции, располагается на рисунках и картинах линия горизонта — как на полотнах известных художниках, так и в школьных и детсадовских альбомах.

Заключение.

В ходе работы мы выяснили, что красоту и гармонию можно определить и измерить.

Какие методы были использованы для подтверждения гипотезы:

· Обзор литературных и интернет-источников;

· Анализ и синтез полученной информации

· Описание-обобщение.

       Считаю, что цель работы достигнута, т.к выдвинутая гипотеза в данной работе подтверждена.

Пропорция золотого сечения действительно присутствует во многих красивых и гармоничных объектах живой природы. Естественные объекты неживой природы тоже содержат в себе золотую пропорцию, а многие искусственные объекты неживой природы человек создаёт, подчиняясь этой пропорции, либо копируя изобретения природы, уже её содержащие.

Перспектива работы в практическом применении знаний: возможность использовать знание о пропорции на уроках ИЗО и труда в школе, создавать гармоничные фотоснимки.

Продолжать исследования наличия пропорции в работах по ИЗО у детей разного возраста (детский сад, начальная школа), возможно, выявить зависимость наличия пропорции золотого сечения от пола, возраста автора рисунка, от темы работы.

Список используемой литературы:

1. Edwin, MD (1993). The Golden Ratio: A good opportunity to investigate multiple
representations of a problem, Mathematics Teacher 86 , 554-557.

2. Donald, TS (1986). The Geometric Figure Relating the Golden Ratio and Phi,
Mathematics Teacher 79 , 340-341.

3. Susan, MP (1982). The Golden Ratio in Geometry, EM Maletsky, C. Hirsch, & D.
Yates(Eds.), Mathematics Teacher 75 , 672-676.

4. Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики – Москва, изд-во «Просвещение», 2007 год.

5. Воробьев Н.Н. "Числа Фибоначчи" - М.: Наука 1964

6. Д. Пидоу. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979.

7. Журнал «Квант», 1973, № 8.

8. Журнал "КомпьютерПресс" 2007, №4

9. Журнал «Математика в школе», 1994, № 2; № 3.

10. Журнал "Наука и техника"

11. Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи. К.: Выща школа, 1989.

12. "Математика - Энциклопедия для детей" М.: Аванта +, 1998

13. Стахов А. Коды золотой пропорции.

14. Основы композиции, часть 1, (руководство). Авторы: Милова Н.П., Мельник Н.Б., редактор: Александрова Л.И.

Список используемых интернет-ресурсов:

1. http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

2. http://www.moscow-stomatolog.ru

3. http://forum.zoologist.ru

4. http://greenword.ru/2009/06/fibonacci-sequence.html

5. http://netnotes.narod.ru/math

6. http://www.goldenmuseum.com/

7. http://festival.1september.ru/articles/412513/

8. http://aurahome.ru/gard7.html

9. http://www.harunyahya.ru/article_zolotoe_sechenir.php

10. http://artboyko.ru/statii_zolotoe_sechenie.html

11. http://imagemaster.ru/golden-section.html