Основные теоретические положения

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ДЛИННЫХ ЛИНИЯХ

При анализе переходных процессов в ЛРП делаются следующие допущения:

- рассматриваются переходные процессы, возникающие только в результате коммутаций;

- при анализе переходных процессов в ЛРП не требуется высокая точность, что позволяет сделать нижеприведенные допущения;

- пренебрегают резистивными элементами ЛРП r₀ и g₀, то есть рассматриваются только линии без потерь. В этом случае расчёт упрощается, поскольку в ЛБП волны распространяются без затухания, а характеристическое сопротивление является чисто резистивным, благодаря чему не искажается фронт волны при её движении;

- в течение переходного процесса источники считаются постоянными, поскольку длительность пробега волны вдоль линии почти всегда значительно меньше периода переменного источника;

- при рассмотрении многократных отражений в линиях ограничиваются только резистивными цепями. Если источники считаются постоянными, то в линии будут только волны с прямоугольным фронтом.

Исходными для расчётов являются уравнения линии без потерь в частных производных:

- = L₀ ;         - = C₀ .                             (8.13)

Уравнения (8.13) сводятся к виду дифференциальных уравнений второго порядка без правой части

= или   = .                         (8.14)

Решение записывают в виде наложения двух встречных волн, прямой и обратной:      u(x;t) = j₁(t – ) + j₂(t + ) = u_пр + u_обр;

i(x;t) = ·[j₁(t – ) – j₂(t + )] = i_пр – i_обр.               (8.15)

Поскольку линии без потерь имеют чисто активное волновое сопротивление, то закон Ома в пределах каждой из волн (но не для результирующих u, i) применим и к мгновенным значениям величин:

u_пр = z_c·i_пр;        u_обр = z_c·i_обр;       u ≠ z_c·i.           (8.16)

Уравнения для тока и для напряжения волны совершенно одинаковы, причём, в них производные по координате пропорциональны производным по времени от тех же величин. Это означает, что в переходном процессе достаточно найти зависимость либо тока, либо напряжения от времени при фиксированной координате, а затем, для получения зависимости от координаты для фиксированного момента времени, перейти к аргументу [t_ф – х/v].

Началом линии будем называть место подключения к линии источни-

ка, а концом линии – место, где подключается нагрузка. Волны, движущиеся от начала линии к концу (в направлении возрастания координаты х, отсчитываемой от начала линии), называются прямыми. Волны, движущиеся обратно (в направлении возрастания координаты у, отсчитываемой от конца линии), называются обратными. Возникающую в результате коммутации волну назовём падающей, а возникшую в результате отражения падающей – отражённой. Таким образом, если коммутация происходит в начале линии, падающая волна является прямой, а отражённая обратной. В случае коммутации в конце линии обратная волна есть падающая, а прямая – отражённая.

Расчёт как возникающих волн, так и отражённых и преломлённых, выполняется по схемам замещения, составленным для сечений линии, где эти волны возникают. Если волна вызвана коммутацией в произвольном сечении линии, то её расчёт на основании принципа наложения сводится к рассмотрению переходного процесса от включения соответствующей пассивной цепи на эквивалентный источник ЭДС e_экв = u_руб (при замыкании рубильника, см. задачи 8.30-8.33) или тока j_экв = i_руб (при размыкании рубильника, см. задачи 8.34-8.36). Здесь u_руб – напряжение на разомкнутом рубильнике, i_руб – ток через замкнутый рубильник в докоммутационном режиме. В схему замещения для соответствующего сечения линии включаются все элементы с сосредоточенными параметрами, имеющиеся в данном сечении, а линия представляется резистором Z_c. Вычисленные в переходном процессе i(t), u(t) накладываются на установившиеся значения докоммутационного режима.

Расчёт переходного процесса, возникающего в результате прихода падающей волны в конец линии (в узел неоднородности 2-2¢), нагруженной на произвольное сопротивление Z (рис. 8.2,а), выполняется по эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами (рис. 8.2,б) при нулевых независимых начальных условиях. Далее, из формул i_22¢ = i_пад – i_отр  и  u_22¢ = u_пад + u_отр, основанных на принципе наложения, зная параметры падающей волны, можно рассчитать напряжение и ток отражённой волны в функции времени t для нулевой координаты у = 0 (см. задачу 8.37). Сопротивление Z может включать в себя другие линии, представленные своими характеристическими сопротивлениями. Рассчитанные для них токи и напряжения по схеме 8.2,б являются параметрами преломлённых волн, записанные в функции времени для нулевой координаты х = 0 (см. задачи 8.44-8.48).

При анализе многократных отражений расчет последующих волн ведётся через коэффициенты отражения от внутренних цепей источника (n₁) и от нагрузки (n₂):  n₁ = ; n₂ = ;

u_{отр k} = n₂·(n₁·n₂)^k-1·u_пад1;      u_{пад k+1} = (n₁·n₂)^k·u_пад1.             (8.17)

Результирующие ток и напряжение на любой момент времени находятся наложением всех прошедших к данному моменту волн. Переходный процесс может иметь апериодический или колебательный характер. Переходный процесс считают закончившимся, когда результирующие ток и напряжение достигают 95-98% от установившихся значений: Т_ПП = k·t_{пробега}.

Расчёт возникающих волн

Решение

1. На момент времени t_ф = t₁ = 0,75l/v = 0,375 мс в линии будет только падающая волна. Её параметры рассчитываем по схеме замещения для сечения “1-1” (рис. 8.3,б):  i_пад(t) = i_пр(t) + Ае ^pt;

i_пад(0₊) = i_пад(0_-) = 0, i_пр(t) = Е₀/Z_с = 120·10³/250 = 480 А,

А = i_пад(0) – i_пр(0) = 0 – 480 = -480,    р = -Z_с/L₀ = -250/0,15 = -1667 1/с.

i_пад(t) = 480 – 480е ^-1667t А;

u_пад(t) = Z_с·i_пад(t) = 120 – 120е ^-1667t кВ.

Для получения зависимостей тока и напряжения от координаты, по которым будут построены графики, переходим к аргументу [t_ф – ]:

i_пад(t_ф; х) = 480 – 480  = 480 – 480  А;

u_пад(t_ф; х) = 120 – 120  кВ.

При t_ф = 0,375 мс выражения справедливы для координаты

х ≤ v·t_ф = 105 км.

График распределения напряжения     u_пад(t_ф; х) вдоль линии для момента времени t₁ представлен на рис. 8.4. Кривая тока i_пад(t_ф; х) аналогична, так как   i_пад = u_пад/Z_с.

2. К моменту времени   t_ф = t₂ = 1,5l/v = 0,75 мс   в линии будут существовать падающая и отражённая волны. Поскольку конец линии разомкнут, волна отражается полностью и без перемены знака: п₂ = 1. Таким образом, выражения для построения графиков в этом случае будут:

u_пад(t_ф; х) = 120 – 120  кВ,     0 ≤ х ≤ 210 км,

i_пад(t_ф; х) = 480 – 480  А;

u_отр(t_ф; y) = 120 – 120  кВ,    0 ≤ у ≤ 35 км,

i_отр(t_ф; y) = 480 – 480  А.

Заметим: время существования падающей волны  t¢ = t₂ = 0,75 мс, время существования отражённой волны     t′′ = t₂ – t_{пробега} = 0,75 – 0,5 = 0,25 мс.

Расчётные значения волн в нескольких точках линии даны в табл. 8.1

Таблица 8.1

ЗАДАЧА8.31. К линии без потерь, работающей в режиме холостого хода, подключается rC-нагрузка (рис. 8.6). Определить параметры возникающей обратной волны и построить график распределения волны по линии через  t_ф = 150 мкс  после подключения нагрузки. Числовые данные:  E₀ = 100 В, Z_c = 250 Ом,   l = 25 км, v =100×10³ км/с, r_Н = 150 Ом,   С_Н = 0,125 мкФ.

Решение

1. В докоммутационном установившемся режиме линии определяем величину напряжения на рубильнике: u_уст(0_-) = U₀ = E₀ = 100 В,

i_уст(0_-) = 0, U_руб = U₀ = 100 В.

2. Для сечения 2-2 в момент возникновения обратной волны составляем схему замещения (рис. 8.7):  Е_экв = U_руб  направлена с полярностью, противоположной полярности напряжения на рубильнике, линия представлена своим волновым сопротивлением.

В схеме замещения рассчитаем ток нагрузки.

u_с(0₊) = u_с(0_-) = 0,  р = -1/[(r_Н + Z_c)·C_Н] = -20·10³ 1/с,

i_Н(t) = i_св = e ^-20000t = 0,25e ^-20000t А.

Ток и напряжение обратной волны запишутся:

i_обр(t, у = 0) = -i_Н = -0,25e ^-20000t А,

3. Для построения графиков тока и напряжения в функции координаты переходим к аргументу [t_ф – у/v].

i_обр(у; t_ф) = -0,25e ^{-20·[0,15 – y/100]} А,        у ≤ v∙t_ф = 15 км;

u_обр(у; t_ф) = - 62,5e ^{–20·[0,15 – y/100]} В.

Графики падающей, отражённой и преломлённой волн, а потом и результирующий график (u = u_уст + u_обр  и  i = i_уст – i_обр) целесообразно выполнять раздельно, как это и показано на рис. 8.8.

ЗАДАЧА8.32. Воздушная линия (l = 70 км, Z_C = 400 Ом), присоединённая к генератору с напряжением U₀= 100 кB (r₀= 0), длительно работала в режиме холостого хода.

Построить графики распределения напряжения и тока вдоль линии для момента времени спустя 0,2 мс после подключения к концу линии неразветвлённой активно-индуктивной нагрузки:  r = 200 Ом,  l  = 100 мГн.

Решение

Напряжение и ток вдоль линии до коммутации:

u(t_-) = U₀= 100 кB, i(t_-) = 0.

Напряжение на рубильнике в момент коммутации: U_руб = U₀= 100 кB.

Расчёт возникающей обратной волны выполняем по схеме рис. 8.9,б при нулевом независимом начальном условии (i_обр(0) = 0):

i_обр(t) = (1 – ) = (1 – ) = -167 + 167·е ^-6000t А,

u_обр(t) = Z_C·i_обр = 400·(-167 + 167·е ^-6000t)·10 ^-3 = -66,7 + 66,7·е ^-6000t кВ.

Формулы  u_обр(t)  и i_обр(t) получены для координаты  у = 0.  Для перехода от функций времени к функциям координат при t_Ф = 0,2 мс делаем замену t  → (t_Ф – у/v):

i_обр(t_Ф, у) = -167 + 167·еxp[-6000(2·10 ^-4 –  )],

u_обр(t_Ф, у) = -66,7 + 66,7·еxp[-6000(2·10 ^-4 –  )].

Расстояние, которое волна пройдёт за заданное фиксированное время t_Ф: y_Ф = v·t_Ф = 3·10 ⁵·2·10 ^-4 = 60 км. Поэтому формулы u_обр(t_Ф, у) и  i_обр(t_Ф, у) справедливы для координат у ≤ y_Ф = 60 км. При у > y_Ф u_обр  и i_обр равны нулю.

Результирующие значения напряжения и тока в линии определяются наложением докоммутационного режима и обратной волны:

u = u(t_-) + u_обр; i = i(t_-) – i_обр.

Таким образом,

u(у) =

i(у) =

Ответы: докоммутационный режим:

i_уст(t_-) = Е₀/r = 2 А, u_уст(t_-) = Е₀ = 1,2 кВ, U_руб = 1,2 кВ;

схема замещения для расчёта прямой и обратной волн на рис. 8.11,б:

i_L(t) = 8 – 8е ^-10000t А, i_пр(t, х₂=0) = i_обр(t, у₁=0) = -0,5i_L(t) = -4 + 4е ^-10000t А;

u_пр(t_ф, х₂) = -1,2 + 1,2ехр[-10·(0,2 – x₂/240] кВ, 0 ≤ х₂ ≤ 48 км;

i_обр(t_ф, y₁) = -4 + 4ехр[-10·(0,2 – y₁/240] А,        0 ≤ y₁ ≤ 48 км;

u_обр(t_ф, y₁) = -1,2 + 1,2ехр[-10·(0,2 – y₁/240] кB, 0 ≤ y₁ ≤ 48 км;

результирующие значения тока и напряжения в каждой из половин линии определяются в соответствии с формулами:

i₁ = i_уст(t_-) – i_обр, u₁ = u_уст(t_-) + u_обр,

i₂ = i_уст(t_-) + i_пр,  u₂ = u_уст(t_-) + u_пр;

эпюры тока и напряжения для момента времени t_ф представлены на рис. 8.12.

ЗАДАЧА8.34.  Антенный кабель с параметрами  l = 10 м, L₀ = 0,1 мГн/м,     С₀ = 0,1 нФ/м,   был нагружен в соответствии с рис. 8.13,а:    R₁ = 1000 Ом,   R₂ = 100 Ом,  L = 1 мГн,  напряжение на входе кабеля   u = 100 В.   В результате коммутации (отключение ветви с R₂) в кабеле возникает ПП. Построить графики распределения напряжения u и тока i вдоль кабеля для момента времени t_ф, когда возникшая волна пройдёт ¾ длины кабеля.

Решение

Предварительные вычисления:

- фазовая скорость волны v = = = 10⁷ м/с;

- характеристическое сопротивление Z_с = = = 1000 Ом;

- длительность времени пробега волны t_проб = = = 10 ^-6 с = 1 мкс;

Анализируем докоммутационное состояние цепи:

u_уст = u = 100 В,  r_Н = = = 90,9 Ом,

i_уст = u_уст/r_Н = 100/90,9 = 1,1 А, i_РУБ = u_уст/r₂= 100/100 = 1 А.

Напряжение и ток возникающей обратной волны рассчитываем по схеме замещения рис. 8.13,б при нулевом независимом начальном условии i_L(0) = 0. Обращаем внимание, что независимое начальное условие считается нулевым, не взирая на то, что до коммутации ток в индуктивности имел место.

i_обр(t) = i_пр + Ае ^рt; i_пр = i_РУБ· = 1· = 0,5 А,

р = = = -2·10⁶ с ^-1.

Постоянная времени цепи и длительность переходного процесса:

t =|р| ^-1= 5·10 ^-7 с, T_ПП = 4t = 2·10 ^-6 с = 2 мкс.

Начальное значение тока i_обр(0) с учётом i_L(0) = 0:

i_обр(0) = i_РУБ = 1 А.

Тогда постоянная интегрирования А = i_обр(0) – i_пр = 1 – 0,5 = 0,5.

Ток и напряжение обратной волны в функции времени при нулевой координате: i_обр(t) = 0,5 + 0,5е ^-2000000t А, u_обр(t) = Z_с·i_обр = 500 + 500 В.

Ток и напряжение обратной волны в функции координаты при фиксированном моменте времени t_ф:

i_обр(t_ф, у) = 0,5 + 0,5ехр[-2·10⁶·(0,75·10 ^-6– у/v)] = 0,5+ 0,5ехр[-2·(0,75– у/10)] А,

u_обр(t_ф, у) = 500 + 500ехр[-2·(0,75– у/10)] B.

Последние формулы справедливы для у £ v·t_ф = 7,5 м. При у ³ 7,5 м обратная волна отсутствует.

ЗАДАЧА8.35. Решить задачу 8.34 при условии, на входе кабеля действует источник переменного напряжения u(t) = 100sin(10⁶t) B.

Решение

Воспользуемся результатами предварительных вычислений задачи 8.34:

v = 10⁷ м/с; Z_с = 1000 Ом; t_проб = 1 мкс; t_ф = ¾ мкс.

Дополнительно находим коэффициент фазы:

b = w/v = 10⁶/10⁷ = 0,1 рад/м.

Установившийся режим до коммутации ввиду синусоидального источника рассчитаем символическим методом.

х_L = w L = 10⁶·10 ^-3 = 1000 Ом, Z₁ = R₁ + jх_L = 1000 + j1000 Ом,

Z_H = = = 95,13·e ^j2,73° Ом.

Значения комплексных амплитуд тока и напряжения в конце кабеля получим, используя основные уравнения ЛБП в комплексной форме с учётом закона Ома  U_2m = Z_H ·I_2m:

U_1m = U_2m·cos(b l) + j·Z_с I_2m sin(b l) = U_2m·(cos(b l) + j· sin(b l)),

отсюда U_2m = = =11,25·e ^-j83,79° В,

I_2m = U_2m/Z_H = 11,25·e ^-j83,79°/95,13·e ^j2,73°= 0,118·e ^-j86,52° А.

Ток рубильника найдём по закону Ома:

i_РУБm = = = 0,1125·e ^-j83,79° А.

Возникающую обратную волну рассчитываем по схеме рис. 8.13,б:

i_прm = i_РУБm· = 0,1125·e ^-j83,79°· = 0,071·e ^–j65,36° А.

i_пр(t) = 0,071sin(wt – 65,36°) А,  i_пр(0)= 0,071sin(-65,36°) = 0,065 А,

р = -2·10⁶ с ^-1, i_обр(0) = i_РУБ(0) = 0,1125sin(-83,79°) = -0,112 А,

А = i_обр(0) – i_пр(0)= -0,112 + 0,065 = -0,047,

i_обр(t) = i_пр(t) + Ае ^рt = 0,071sin(wt – 65,36°) – 0,047  А,

u_обр(t) = Z_с·i_обр = 71sin(wt – 65,36°)  – 47 В.

Ток и напряжение обратной волны в функции координаты у при фиксированном моменте времени t_ф:

i_обр(t_ф, у) = 0,071sin(1рад·(0,75– у/10) – 65,36°) – 0,0476ехр[-2·(0,75– у/10)] А,

u_обр(t_ф, у) = 71sin(1рад·(0,75– у/10) – 65,36°) – 47ехр[-2·(0,75– у/10)] B.

Последние формулы справедливы для у £ v·t_ф = 7,5 м. При у ³ 7,5 м обратная волна отсутствует.

Мгновенные значения напряжения и тока установившегося до коммутации режима в любом месте линии можно рассчитать по следующим формулам:

U_m(у) = U_2m·cos(b у) + j·Z_с I_2m sin(b у),

I_m(у) = j· sin(b у) + I_2m·cos(b у),

u_уст(t, у) = Im(U_m(у)·е ^jwt), i_уст(t, у) = Im(I_m(у)·е ^jwt).

Значения напряжения и тока установившегося режима в фиксированный момент времени t_ф в функции координаты у: u_уст(t_ф, у),  i_уст(t_ф, у). Представление этих значений в виде формул – сложная задача, поэтому для построения эпюр напряжения и тока определим их численным способом с помощью компьютерной математической системы MathCAD:

U2m := 11.25·e ^{–j·83.79deg} I2m := 0.118·e ^{–j·86.52deg}

b := 0.1 Zс := 1000 tf := 0.75·10 ^-6

U(y) := U2m·cos(b ·у) + j·Z_с ·I2m·sin(b ·у)

I(у) := j· ·sin(b ·у) + I2m·cos(b ·у)

Ответ для U_m(у):

U(y) ®(.6087 – 5.593i)·(2.·cos(.1000·y) + sin(.1000·y)+ 21.·i·sin(.1000·y))

uust(t, у) := Im(U(у)·е ^j·w·t) iust(t, у) = Im(I(у)·е ^j·w·t)

Напряжение и ток обратной волны:

iobr(x) :=

:=

uobr(x) := ZC·iobr(x)

Результирующие значения напряжения и тока в функции координаты:

i(x) := iust(tf, l-x) – iobr(x)   u(x) := uust(tf, l-x) + uobr(x)

Эпюры тока и напряжения для фиксированного момента времени представлены на рис. 8.15.

Ответы. i_РУБ = i(t_-) = 0,2 А, u(t_-) = 80 В; схема для расчёта падающей волны на рис. 8.16,б: u_пад(t) = -100 + 100е ^-5000t В, i_пад(t) = -0,2 + 0,2е ^-5000t А;

t_ф = 0,05 мс,

u_пад(t_ф, х) = -100 + 100ехр[-5·(0,05– х/100)] В,  0 ≤ х ≤ 5 км,

i_пад(t_ф, х) = -0,2 + 0,2ехр[-5·(0,05– х/100)] А;

u(t_ф, х) = u(t_-) + u_пад(t_ф, х),  i(t_ф, х) = i(t_-) + i_пад(t_ф, х);

Расчёт отраженных волн

ЗАДАЧА8.37.   Нагруженная линия без потерь с параметрами   Z_с = = 250 Ом, l = 140 км, v = 280·10³ км/с, подключается к идеальному источнику постоянного напряжения   Е₀ = 120 кВ   (рис. 8.16,a). Параметры нагрузки:    R_Н = 750 Ом,   С_Н = 1,066 мкФ.  Требуется:

- построить графики распределения напряжения u(t_ф, у) и тока i(t_ф, у) вдоль линии для момента времени t_ф = 0,75 мс после включения линии;

Решение

Часть I. Время пробега волны t_{пробега} = l/v = 0,5 мс. Следовательно, на рассматриваемый момент  t_ф = 0,75 мс в линии будут существовать падающая и отражённая волны, причём время существования отражённой волны t′_ф = 0,25 мс.  Рассчитаем их.

1. Параметры падающей волны: u_пад(t; х=0) = Е₀ = 120 кВ,

i_пад(t; х=0) = Е₀/Z_c = 120·10³/250 = 480 А.

2. Через  t_{пробега} = 0,5 мс   волна достигнет сечения “2-2”, где встретит неоднородность. Волна частично пройдёт в нагрузку, а частично отразится. Параметры отражённой волны рассчитываются через ток или напряжение i₂₂, u₂₂  в сечении  “2-2”  линии. В схеме замещения линии для сечения  “2-2” (рис. 8.18,б) проще рассчитать напряжение на конденсаторе, которое и будет равно искомому напряжению u₂₂:

u₂₂(t) = u_с(t) = u_пр + Ае ^pt = + [u_с(0₊) – u_пр(0₊)]∙е ^pt;

u_с(0₊) = u_с(0_-) = 0, u_пр =  = 180 кВ, А = 0 – 180 = -180 кВ,

Z_вх(р) = =  = 0, р = -5000 1/с,

Таким образом, u₂₂(t) = 180 – 180е ^-5000t  кВ.

Из соотношения u₂₂(t) = u_пад + u_отр, а затем по закону Ома находим:

u_отр(t) = u₂₂(t) – u_пад(t) = 180 – 180е ^-5000t – 120 = 60 – 180е ^-5000t  кВ,

i_отр(t) = = 240 – 720 е ^-5000t  А.

3. Для построения графиков распределения напряжения и тока по линии, переходим к аргументу [t_ф – у/v]: 

u_пад(t_ф; х) = 120 кВ, i_пад(t_ф; х) = 480 А,               0 ≤ х ≤ 140 км;

u_отр(t′_ф; у) = 60 – 180ехр[-5·(0,25 – y/280)] кВ,      t′_ф = 0,25 мс,

i_отр(t′_ф; у) = 240 – 720 ехр[-5·(0,25 – y/280)] А,     0 ≤ у ≤ 70 км.

По этим выражениям на рис. 8.19 построены графики распределения тока и напряжения вдоль линии. Результирующие значения напряжения

u = u_пад + u_отр и тока i = i_пад – i_отр.

Часть II. Для построения графика изменения напряжения u_А(t) в сечении  АА  посередине линии в течение времени, равного 2,5 пробега волны  0 ≤ t ≤ 2,5t_{пробега}, воспользуемся результатами, полученными в первой части решения.

В сечении АА до прихода падающей волны, т.е. в течение времени

t ≤ t₁ = 0,5t_{пробега} = 0,25 мс  будем иметь: u_А(t) = 0.

С момента t₁ = 0,25 мс до момента t₂ = 0,75 мс, пока падающая волна достигнет конца линии, а затем отражённая волна достигнет точки А, напряжение u_А(t) будет равно напряжению падающей волны u_А(t) = u_пад = 120 кВ.

В момент t₂ отражённая волна приходит в точку А, происходит наложение падающей и отражённой волн:

u_А(t) = u_пад + u_отр = 120 + [60 – 180ехр(-5000(t – 0,75·10 ^-3)] кВ.

Этот закон изменения u_А(t) будет действовать в течение времени t_{пробега}, пока отражённая волна придёт в начало линии (0,25 мс), и пока возникшая новая падающая волна достигнет точки А (0,25 мс): u_пад2 = п₁·u_отр.

Процесс  изменения  напряжения  во времени в точке  А  линии представлен на рис. 8.20:

t = 0 – 0,25 мс   u_А(t) = 0;

t = 0,25 – 0,75 мс u_А(t) = 120 кВ;

t = 0,75 – 1,25 мс u_А(t) = 180 – 180ехр(-5000(t – 0,75·10 ^-3) кВ.

ЗАДАЧА8.38. К источнику постоянного напряжения Е₀ = 120 кВ с внутренней индуктивностью L₀ = 0,15 Гн подключается нагруженная линия без потерь с параметрами      Z_C = 250 Ом,    l = 140 км,  v = 280·10³ км/с   (рис. 8.21).  R_Н = 750 Ом. Построить графики распределения напряжения u(t_ф, у) и тока i(t_ф, у) вдоль линии для момента времени t_ф = 1,5l/v.

Ответы: i_пад(t_ф; х) = 480 – 480  А; u_пад(t_ф; х) = Z_C∙i_пад;

i_отр(t′_ф; у) = -0,5i_пад = -240 + 240  А.

Графики на

рис. 8.22.

ЗАДАЧА8.39. Нагруженная кабельная линия с параметрами  Z_C = 75 Ом,   l = = 50 км,  v = 125·10³ км/с  подключается к источнику постоянного напряжения  (Е₀ = = 1,2 кВ,  r_вн = 5 Ом).  На входе линия защищена от помех с помощью конденсатора  С = 53,33 мкФ  (рис. 8.23). Построить графики распределения напряжения u(t_ф, у) и тока i(t_ф, у) вдоль линии для момента времени t_1ф = 1,5l/v. R_Н = 225 Ом.

Ответы: i_пад(t_ф; х) = 15 – 15  А; u_пад(t_ф; х) = Z_C∙i_пад;

i_отр(t′_ф; у) = -0,5i_пад = -7,5 + 7,5  А.

Графики на рис. 8.24.

ЗАДАЧА8.41. Нагруженная линия без потерь с параметрами   Z_C = 250 Ом,  l = 140 км, v = 280·10³ км/с   подключается к идеальному источнику постоянного напряжения  Е₀ = 120 кВ (рис. 8.25). Параметры элементов нагрузки:   R₁ = 500 Ом, L = 37,5 мГн,  R₂ = 250 Ом. Требуется:

- построить графики распределения напряжения u(t_ф, у) и тока i(t_ф, у) вдоль линии для момента времени t_ф = 0,9 мс после включения линии;

- построить график изменения напряжения u_А(t) в сечении АА посередине линии в течение времени, равного двум пробегам волны: 0 ≤ t ≤ 2t_{пробега}.

Ответы: i_пад(t) = 480 А, u_пад(t) =120 кВ;

u₂₂(t) = 160 + 20е ^-5000t кВ, i₂₂(t) = 320 – 80е ^-5000t А, t′_ф = 0,4 мс,

u_отр(t′_ф; у) = 40 + 20  кВ, i_отр(t′_ф; у) = 160 + 80  А.

Графики на рис. 8.26.

ЗАДАЧА8.42.Нагруженная линия без потерь с параметрами Z_C =300 Ом, l = = 140 км,  v = 280·10³ км/с  подключается к идеальному источнику постоянного напряжения Е₀ = 120 кВ (рис. 8.27). Параметры элементов нагрузки: R_Н = 950 Ом,  С_Н = 0,1 мкФ. Построить:

- график тока i₂₂  в конце линии в функции времени;

- графики распределения напряжения u(t_ф, у) и тока i(t_ф, у) вдоль линии для момента времени t_ф = 0,86 мс после включения линии.

Ответы: i₂₂(t) = 192е ^-8000t А; u_отр(t′_ф; у) = 120 – 57,6   кВ,

i_отр(t′_ф; у) = 400 – 192 А.

Графики на

рис. 8.28.

ЗАДАЧА8.43. В условиях задачи 8.34 построить графики распределения напряжения u и тока i вдоль кабеля для момента времени t_ф, когда отражённая от начала кабеля волна пройдёт ½ длины кабеля.

Решение

Воспользуемся результатами вычислений задачи 8.34:

v = 10⁷ м/с; Z_с = 1000 Ом; t_проб = 1 мкс;   t_ф = (1+½)t_проб = 1,5 мкс.

u_уст = u = 100 В, i_уст = 1,1 А,

i_обр(t) = 0,5 + 0,5  А, u_обр(t) =500 + 500 В.

Ток и напряжение обратной волны в функции координаты при фиксированном моменте времени t_ф: i_обр(t_ф, у) = 0,5 + 0,5ехр[-2·(1,5– у/10)] А,

u_обр(t_ф, у) = 500 + 500ехр[-2·(1,5– у/10)] B.

Внутреннее сопротивление источника равно нулю, поэтому коэффициент отражения от начала линии n₁ = = -1. Тогда формулы тока и напряжения прямой волны для нулевой координаты в функции времени, причём отсчёт времени ведётся с момента отражения, следующие:

i_пр(t) = -0,5 – 0,5  А, u_пр(t) = -500 – 500 В.

Они же в функции координаты с учётом того, что время существования прямой волны равно t_ф – t_проб = 0,5 мкс:

i_пр(t_ф, х) = -0,5 – 0,5ехр[-2·(0,5– х/10)] А,

u_пр(t_ф, у) = -500 – 500ехр[-2·(0,5– х/10)] B.

Формулы справедливы для х £ v·(t_ф – t_проб) = 5 м. При х ³ 5 м прямая волна отсутствует.

Результирующие ток и напряжение в линии находим в соответствии с формулами: u = u_уст + u_обр + u_пр, i = i_уст – i_обр + i_пр. Эпюры тока и напряжения приведены на рис. 8.29.

ЗАДАЧА8.44. В условиях задачи 8.36 построить графики распределения напряжения u(t_ф, х) и тока i(t_ф, х) вдоль линии для момента времени t_ф, когда отражённая волна достигнет середины линии.

Комментарии и ответы:  i_уст = 0,2 А, u_уст = 80 В;

u_пад(t) = -100 + 100е ^-5000t В, i_пад(t) = -0,2 + 0,2е ^-5000t А.

Отражённую волну можно рассчитать двумя способами, причём расчёты выполним, используя MathCAD. В первом способе используем коэффициент отражения в операторной форме:

- оригинал и изображение тока падающей волны:

ipad(t) := -0.2 + 0.2·е ^-5000·t   ipad(t) ® +

Ipad(p) := +

- операторное сопротивление нагрузки линии Z(p) := R + p·L

- операторный коэффициент отражения n(p) :=

n(p) ® .1111·

- изображение и оригинал тока отражённой волны:

Iotr(p) := n(p)·Ipad(p)

Iotr(p) ® .2222·e^{(-.1000e5)·t} + .2222e-1 – .2444·e^(-5000.)·t

Во втором способе сначала рассчитаем ток переходного процесса в конце линии по схеме замещения рис. 8.30. Поскольку напряжение источника 2u_пад имеет экспоненциальную форму, расчёт выполним с помощью интеграла Дюамеля.

u(t) := -200 + 200·е ^-5000·t

g(t) :=  – ·exp(- ·t)

g(t) ® .1111e-2 – .1111e-2·e^{(-.1000e5)·t}

i(t) := u(0)·g(t) +

i(t) ® .4444·e^(-5000.)·t – .2222 – .2222·e^{(-.1000e5)·t}

iotr(t) := ipad(t) – i(t)

iotr(t) ® .2222·e^{(-.1000e5)·t} + .2222e-1 – .2444·e^(-5000.)·t

Таким образом, ток и напряжение отражённой волны для нулевой координаты у = 0:

i_отр(t) = 0,0222 + 0,2222·е ^-10000·t – 0,2444·e ^-5000t А,

u_отр(t) = Z_C·i_отр(t) = 11,1 + 111,1·е ^-10000·t – 122,2·e ^-5000t В.

Причём в этих формулах отсчёт времени начинается с момента отражения волны. Таким образом, к моменту t_ф = 1,5t_проб = 0,15 мс падающая волна существует как раз 0,15 мс, а отражённая волна – 0,05 мс.

Напряжение и ток падающей и отражённой волн в функции координаты: u_пад(t_ф, х) = -100 + 100ехр[-5·(0,15– х/100)] В,

i_пад(t_ф, х) = -0,2 + 0,2ехр[-5·(0,15– х/100)] А;

u_отр(t_ф, х) = 11,1 + 111,1ехр[-10·(0,05– у/100)] – 122,2·ехр[-5·(0,05– у/100)]  В,

i_отр(t_ф, х) = 0,0222 + 0,2222ехр[-10·(0,05– у/100)] –

 – 0,2444·ехр[-5·(0,05– у/100)]  А.

В этих формулах у = 10 – х £ 5 км.

Результирующие ток и напряжение в линии находятся в соответствии с формулами:

Эпюры тока и напряжения на рис. 8.31.

8.2.4. Расчёт волн при прохождении черезR,L,С-элементы

ЗАДАЧА8.45. По воздушной линии с параметрами   Z_C1 = 220 Ом,  l₁ = 150 км, v₁= 300·10³ км/с распространяется падающая волна с прямоугольным фронтом напряжением  u_пад(t) = 220 кВ,  переходя затем через корректирующие элементы R = = 180 Ом, L = 30 мГн  в кабель с параметрами    Z_C2 = 88 Ом,   l₂ = 75 км,   v₂ = = 150·10³ км/с, конец которого разомкнут (рис. 8.32).

Требуется: построить графики тока i₂₂(t) и напряжения u₂₂(t) в конце первой линии в функции времени, а также графики распределения вдоль обеих линий результирующего напряжения и тока для момента времени  t_ф = 0,5l₁/v₁, считая с момента прихода волны в узел соединения линий.

Решение

1. Записываем ток и напряжение падающей волны:

u_пад(t, х₁=0) = 220 кВ; i_пад(t, х₁=0) = u_пад/Z_C1 = 220·10³/220 = 1000 А.

2. Через время t_{пробега} = l₁/v₁ = 0,5 мс  волна достигнет сечения “2-2”, где встретит неоднородность. Волна частично пройдёт в индуктивность, частично отразится, а частично, в виде преломлённой волны, пройдёт во вторую линию. Для определения отражённой и преломлённой волн необходимо рассчитать либо ток i₂₂, либо напряжение u₂₂  в сечении “2-2”, через которые затем можно записать выражения u_отр, i_отр, u_прел, i_прел.

Ток i₂₂(t) рассчитываем по схеме замещения линии для сечения “2-2” (рис. 8.33). Расчёт выполняем классическим методом:

i_L(0₊) = i_L(0_-) = 0, i₂₂(t) = i_пр + Ае ^pt;

i_пр(t) = 2u_пад/Z_C1 = 2·220·10³/220 = 2000 А,

i₂₂(0₊) = =