Основные теоретические положения

Частотные электрические фильтры

Электрическими фильтрами (ЭФ) называют четырёхполюсники, которые пропускают к приёмнику сигналы определённого диапазона частот.

Принцип работы ЭФ базируется на зависимости от частоты сопротивлений индуктивных и ёмкостных элементов: x_L = wL, x_C = , а любой фильтр должен содержать хотя бы один реактивный элемент. В идеале, ЭФ состоит только из реактивных элементов. В этом случае он называется фильтром без потерь.

Простейшими конструктивными схемами фильтров являются симмет-ричные Т-схемы (рис. 5.42,а) и П-схемы (рис. 5.42,б), у которых продольные параметры заданы как продольное сопротивление Z₁ или ½Z₁, а поперечные – определяются через проводимости Y₂ = Z₂^-1 или ½Y₂,  что позволяет для обеих схем определить постоянную передачи по одной формуле:

chГ = ch(a + jb) = 1 + ,

а характеристические сопротивления следующим образом:

Z_CT = , Z_CП = .

Основными характеристиками фильтров являются частотные характеристики a(w), b(w), Z_C(w), если для анализа используются уравнения четырёхполюсника с характеристическими параметрами, или H(w), j(w), если

для анализа используются передаточные функции.

Заметим, что для идеальных фильтров (фильтров без потерь) областью пропускаемых частот (зоной прозрачности) называют диапазон частот, для которого коэффициент затухания  a = 0.

По соотношению параметров различают реактивные фильтры типа k, для которых Z₁×Z₂ = k ²  – вещественное число, и фильтры типа m,  которые являются производными (определённым образом преобразованные) от фильтров типа k.

5.2.2. Фильтры типа k

Коэффициент k = r = носит название «номинальное характерис-тическое сопротивление» или «параметр нагрузки». Формулы для расчёта основных характеристик фильтров НЧ и ВЧ типа k приведены в табл. 5.4. Здесь  x = w/w₀ – относительная частота.

Таблица 5.4

Параметры	ФНЧ	ФВЧ
Частота среза	w0 =	w0 =
Постоянная передачи Г = a + jb	chГ = 1 – 2x 2	chГ = 1 –
Коэффициент затухания	a = 0;   cha = 2x 2 – 1	cha = – 1; a = 0
Коэффициент фазы	cosb = 1 – 2x 2;   b = +p	b = -p; cosb = 1 –
Характеристическое сопротивление	ZCТ = r × ;   ZCП =	ZCТ = r × ; ZCП =

Полосовые (ПФ) и заграждающие (ЗФ) фильтры предназначены для про-пускания (или подавления) одной или нескольких узких полос частот w ₁ ÷ w ₂ сигнала. Полосовые фильтры формируют из каскадно соединённых низкочас-тотного и высокочастотного фильтров, причём w_ФНЧ > w_ФВЧ. Заграждающие фильтры формируют параллельным соединением низкочастотного и высокочастотного фильтров, причём w_ФВЧ > w_ФНЧ. Параметры элементов фильтров, составляющих ПФ или ЗФ, подбирают так, чтобы   L₁С₁ = L₂С₂.

Тогда резонансная частота и волновое сопротивление у обоих фильтров будут:

w₁∙w₂ = w₀² ; w₀ = = ;   ρ = Z_С(w₀) = = .

Относительная (или нормированная) частота здесь обозначается и определяется несколько иначе, чем у других фильтров:

                 Ω = или Ω = ,    f_т = .  

Граничные частоты полосы пропускания, характеристическое сопротивление и элементы полосового фильтра определяются выражениями: 

f _1,2 = ;    Z_С(Ω) = ± .

L₁ = ;                                    L₂ = ;

С₁ = ;                               С₂ = .

Граничные частоты полосы непропускания, характеристическое сопро-тивление и элементы заграждающего фильтра определяются выражениями: 

f _1,2 = ;     Zс(Ω) = ± ;

L₁ = ;                                    L₂ = ;                

С₁ = ;                          С₂ = .   

Задача 5.44. Фильтр низкой частоты собран из двух катушек с индуктивностью L₁ = 0,5 Гн и одного конденсатора ёмкостью C₂ = 10 мкФ. Фильтр подключен в сеть частоты f = 50 Гц, входное напряжение фильтра несинусоидальное u₁(t) = 100·sinwt – 33,3·sin3wt B.

Рассчитать мгновенное значение выходного напряжения, исходя из условия, что на всех гармониках фильтр согласован с нагрузкой. Каким при этом должно быть сопротивление нагрузки?

Решение

Из двух индуктивностей и одной ёмкости можно собрать только Т-схему низкочастотного фильтра (рис. 5.43). При этом расчётные параметры фильтра  C = C₂ = 10 мкФ,

L/2= L₁ = 0,5 Гн,   L = 2L₁ = 1 Гн.   

Граничная частота фильтра  w₀ = , f₀ = = = 100,7 Гц. 

В режиме согласованной нагрузки

U₁ = U₂e ^Г = U₂e ^а·e ^jb,      Z_H = Z_CТ = ,

где x =  –  относительная частота.

На частоте первой гармоники x = = = 0,4965,

характеристическое сопротивление (оно же сопротивление нагрузки в согласованном режиме) Z_H1 = = 274,5 Ом – активное сопротивление. Заметим, что на этой частоте параметр нагрузки

k = ρ = = = 316 Ом > Z_H1 = 274,5 Ом.

Частота первой гармоники f₁ < f₀  и эта гармоника принадлежит зоне прозрачности, на которой

a₁ = 0, а b₁ = arccos(1 - 2x ²) = arccos(1 – 2·0,4964 ²) = 59,5°.

По условию U_1m = U_1m·e ^j·Yu1 = 100 B,  тогда

U_2m = U_1m·e ^-Г = 100e ^–j59,5° B.

Мгновенное значение выходного напряжения первой гармоники

u₂⁽¹⁾(t) = Im(U_2m·e ^jwt) = 100·sin(wt – 59,5°) B.

Для третьей гармоники x = = = = 1,49.

Сигнал этой частоты находится в полосе затухания ФНЧ, коэффициент фазы при этом b₃ = p = 180°, коэффициент затухания

a₃ = Arch(2x ² – 1) = Arch(2·1,49 ² – 1) = 1,906 Нп.

Комплексная амплитуда выходного напряжения

U_2m = U_1m·e ^-Г = -33,3e ^–1,906·e ^j180° = 4,95 B,

 мгновенное значение выходного напряжения

u₂⁽³⁾(t) = Im(U_2m·e ^j3wt) = 4,95·sin(3wt) B.

Характеристическое сопротивление фильтра на третьей гармонике

Z_H3 = = j349 Ом - индуктивное.

Выходное напряжение фильтра при согласованных сопротивлениях нагрузки как на частоте w, так и частоте 3w

u₂(t) = u₂⁽¹⁾ + u₂⁽³⁾ = 100·sin(wt – 59,5°) + 4,95·sin(3wt) B.

Это напряжение практически синусоидально, так как третья гармоника подавлена:

U_2m⁽³⁾ = 4,95%U_2m⁽¹⁾.

ЗАДАЧА 5.45. Рассчитать расчётные и конструктивные параметры П-схемы низкочастотного фильтра типа k, работающего на активную нагрузку r_H = 200 Ом  и имеющего граничную частоту f₀ = 150 Гц.

Решение

Принимаем k = = r_H, w₀ = 2pf₀ = 6,28·150 = 942 c ^-1= ,

получаем расчётные параметры фильтра L = = = 0,425 Гн,

С = = = 1,06·10 ^-5 Ф = 10,6 мкФ.

П-схема фильтра низкой частоты приведена на рис. 5.44. Конструктивные параметры фильтра

L = 0,425 Гн, ½С = 10,6/2 = 5,3 мкФ.

ЗАДАЧА 5.46. Фильтр высоких частот собран из двух катушек с индуктивностью L₂ = 0,13 Гн и одного конденсатора ёмкостью С₁= 10 мкФ. Фильтр подключен в сеть частоты f = 50 Гц с несинусоидальным напряже-нием  u₁(t) = 100·sinwt – 33,3·sin3wt B.

Привести схему ФВЧ, рассчитать выходное напряжение, исходя из условия, что на всех гармониках фильтр согласован с нагрузкой.

Ответ: рис. 5.45,

u₂(t) = -7,35·sinwt – 33,3·sin(3wt + 90°) B.

ЗАДАЧА 5.47. В системе связи по распредели-тельным сетям (до 1000 В при частоте 50 Гц) передаю-щую и приёмную аппаратуру защищают от напряжения сети уравновешенным Т-образным высокочастотным фильтром типа k (рис. 5.46) (передача сигналов связи осуществляется модулированными колебаниями на не-сущей частоте, большей, чем частота напряжения сети).

Ёмкость каждого конденсатора С₁= 0,15 мкФ, характеристическое сопротивление фильтра с увеличением частоты приближается к r = 600 Ом. Найти граничную частоту фильтра и коэффи-циент затухания на частоте сети.

Решение

Определим расчётный параметр фильтра С: при последовательном соединении двух ёмкостей одного плеча Т-схемы четырёхполюсника

С_Э = ½С₁,

что соответствует 2С типовой схемы высокочастотного фильтра, откуда расчётная величина С = ½С_Э = ¼С₁= 0,15/4 = 0,0375 мкФ.

Параметр нагрузки k = = r, откуда расчётная индуктивность фильтра L = r ²·С = 600 ²·0,0375·10 ^-6 = 13,5·10 ^-3 Гн.

Граничная частота фильтра (частота среза)

w₀ = , f₀ = = = 3,54·10 ³ Гц. 

Коэффициент затухания на частоте сети

a = Arch(  – 1) = Arch(2 – 1) = Arch = 9,906 Нп.

При напряжении сети U₁= 1000 B частоты f = 50 Гц и согласованной с фильтром нагрузке U₂ = = = 0,05 B.

Задача 5.48. Для фильтра низких частот типа k известно, что его номинальное характеристическое сопротивление k = 600 Ом, а затухание на частоте f = 5,6 кГц должно быть не ниже 20 дБ.

Определить частоту среза и конструктивные параметры Т- и П-схем ФНЧ.

Ответы: f₀ = 3,22  кГц; расчётные параметры L = 59,3 мГн;

С = 0,165 мкФ.

Задача 5.49. Для подавления помехи на частоте 64 кГц и пропускания сигналов более высоких частот применён П-образный фильтр типа k с граничной частотой 96 кГц. Для фильтра выбран конденсатор ёмкостью 4·10 ³ пФ. Какой индуктивности должны быть катушки?

Достаточно ли одного фильтра для ослабления мешающего сигнала на 40 дБ? Сколько звеньев для этого должен содержать фильтр?

Ответы: Две катушки по 0,344 мГн. Недостаточно. Три звена.

Решение

Устранив индуктивную связь катушек, получим Т-образную схему замещения (рис. 5.47,б). Это – симметричная схема Т-фильтра рис. 5.2,а, для которой

сhГ = А = 1 + = 1 + ,

где С₁ = С₂ = С = 1,1·10 ^-3 пФ, L₁ = L₂ = L = 4,84 мГн, М = k_СВ = k_СВL,

k_СВ – искомый коэффициент связи.

В полосе пропускания затухание  а = 0,

сhГ = сh(jb) = cos b = 1 – .

Границы зоны прозрачности полосового фильтра определяются значе-ниями

сos b = ±1.

Положив сos b = +1, получим правую границу зоны прозрачности

ω₂ = ;

при сos b = -1, получим левую границу зоны прозрачности ω₁ = .

Тогда 1 – k_СВ = = = 0,394,

1 + k_СВ = = = 1,574,

k_СВ = (1,574 – 0,394)/2 = 0,59.

 ЗАДАЧА5.51. Частоты среза П-образного полосового фильтра типа k (рис. 5.48)

f₁ = 12 кГц,   f₂ = 15,2 кГц,

номинальное характеристическое сопротивление 600 Ом.

Найти параметры элементов фильтра и построить его частотные характеристики в функции нормированной (относительной) частоты Ω, т.е. кривые  а(Ω), b(Ω), Zс(Ω), сравнив их с характеристиками в функции f-частоты: а(f), b(f), Zс(f).

Решение

Рассчитываем параметры элементов фильтра:

L₁ = = = 0,06 Гн;

L₂ = = = 0,84×10 ^-3 Гн = 0,84 мГн; 

С₁ = = = 2,33×10 ^-9 Ф = 2,33 нФ;

С₂ = = = 0,167×10 ^-6 Ф = 0,167 мкФ.

В диапазоне частот от 0 до ∞ полосовые фильтры имеют сначала зону затухания, затем зону пропускания и вновь зону затухания сигнала. Поэтому рабочие характеристики здесь строят влево и вправо от резонансной частоты ω₀, а не от нуля, как принято при построении характеристик в функции частоты f. Относительная (или нормированная) частота Ω здесь определяется выражением  

Ω = ,  где f_т = = = 13,5 кГц.

Формулы для построения рабочих характеристик полосового фильтра:

- в зоне прозрачности а = 0;                     b = 2arcsin Ω; 

- в зоне задерживания а = 2Arch |Ω|;        b = π; 

- выражение  Z_С(Ω) = ±  справедливо во всём диапазоне частот.

Расчёты, связанные с построением частотных характеристик, сводим в табл. 5.5.

Таблица 5.5  

Графики характеристик а(Ω), b(Ω), Z_С(Ω) представлены на рис. 5.49. В характеристиках а(Ω), b(Ω), Z_С(Ω) отсчёт ±Ω идёт в обе стороны от линии ω₀. В графиках зависимостей а(f), b(f), Z_С(f) частота f отсчитывается от нуля и только в положительную сторону. Эти графики можно построить самостоятельно. Но они имеют привычный, типовой вид и практически не отличаются от приведенных, если мысленно перенести ось отсчёта в начало координат.

5.2.3. Фильтры типа m

Фильтры типа т имеют улучшенную характеристику сопротивления Z_C(ω) в зоне пропускания фильтра и повышенную крутизну характеристики а(ω) вблизи частоты среза фильтра. Фильтры типа т  получают из фильтров типа k введением последовательного или параллельного корректирующего звена L_К или С_К. Чтобы при этом сохранялась частота среза исходного k-фильтра, одновременно изменяют остальные элементы фильтра.

При последовательной коррекции в т-раз изменяется продольное сопротивление фильтра:                  Z_1т = т∙Z_1k.

Поперечная ветвь фильтра будет иметь два последовательно соединённых элемента, которые рассчитываются по выражению 

Z_2т = + Z_1k∙ .

Последовательная коррекция влияет на частотную зависимость характеристического сопротивления П-схемы,делая его почти неизменным в зоне пропускания фильтра: Z_СП(ω) » ρ.

При параллельной коррекции в т раз изменяется проводимость поперечной ветви фильтра:            Y_2т = т∙Y_2k.

Продольная ветвь фильтра будет иметь два параллельно соединённых элемента, проводимости которых рассчитываются по выражению 

                               Y_1т =  + Y_2k∙ .

Параллельная коррекция влияет на характеристическое сопротивление Т-схемы,делая его почти неизменным в зоне пропускания фильтра: Z_СТ(ω)»ρ.

Рассчитать параметры Т-схемы фильтра типа m с улучшенными свойствами по согласованию фильтра с нагрузкой в зоне прозрачности и построить для него частотные характеристики a_m(x), b_m(x), Z_CTm(x). Пара-метр преобразования принять равным m = 0,8.

Решение

Для исходного фильтра типа k (рис. 5.50,а)

граничная частота  ω₀ = = = 124,6 c ^-1,

параметр нагрузки k = = = 600 Ом.

Характеристическое сопротивление Z_CTk =  – для всех частот;

коэффициент затухания a_k = 0 при x £ 1,      a_k = Arch(2x ² – 1) при x > 1,

коэффициент фазы b_k = arccos(1 – 2x ²) при x £ 1, b_k = +p = +180° при x > 1.

Поперечная проводимость преобразованного фильтра

Y_2m = m·Y_2k = m·jωC = jωC₂,

расчётная ёмкость фильтра типа m (рис. 5.50,б)

C₂ = m·C = 0,8·26,74 = 21,39 мкФ.

Расчётная проводимость параллельного контура фильтра  типа  m  (рис. 5.50,б)    Y_1m = + Y_2k = + ·jωC = + jωC₁,

откуда новое значение индуктивности L₁ = mL = 0,8·9,63 = 7,704 Гн,

ёмкости          С₁ = С = ·26,74 = 3 мкФ,

резонансная частота параллельного контура без потерь (рис. 5.44,б)

ω₀¢ = = = 208 c ^-1, x = = = 1,67

безусловно принадлежит зоне затухания.

Так как на этой частоте сопротивление параллельного контура без потерь бесконечно большое, коэффициент затухания на этой частоте также бесконечно большой.

Расчёт частотных характеристик фильтра типа m произведём на основании общих соотношений для Т-схемы фильтра:

chГ_m = ch(a_m + jb_m) = 1 + , Z_CTm =  ,

где         Y₁ = + jωC₁,     Y₂ = jωC₂.

Результаты расчётов характеристик фильтров k  и m сведены в общую табл. 5.6.

На рис. 5.51,а приведены характеристики a(x), b(x);

ЗАДАЧА 5.53. Рассчитать параметры П-схемы низкочастотного фильтра типа m  с улучшенными свойствами, взяв за основу схему рис. 5.44 фильтра типа k  и его расчётные параметры

L = 0,425 Гн, С = 10,6 мкФ.

Принять коэффициент преобразования m = 0,6.

Привести схему фильтра типа m. Определить постоянную передачи фильтра на частоте w = 1,1w₀.

Ответы: рис. 5.52 (L₁ = 0,255 Гн, С₂ = 6,36 мкФ,  L₂ = 0,113 Гн),

a = 1,563 Нп, b = p = 180°.

Задача 5.54. Рассчитать конструктивные параметры высокочастот-ного последовательно преобразованного фильтра типа m, имеющего гранич-ную частоту f₀ = 100 Гц  и нагруженного сопротивлением r_H = 200 Ом. Па-раметр преобразования m = 0,8.

Привести схему фильтра, рассчитать и построить его рабочие характеристики.

Решение

Так как фильтры типа m являются преобразованными из фильтров k, то на первом этапе расчёта определим расчётные параметры симметричного фильтра типа k.

Для высокочастотного фильтра типа k  ρ = = r_H , f₀ = ,

откуда расчётные параметры L = = = 0,159 Гн,

C = = = 3,98 мкФ.

Улучшенными свойствами по согласованию при последовательном преобразовании обладает П-схема фильтра m, продольное сопротивление которого

Z_1m = mZ₁ = m = = ,

откуда для фильтра m C₁ = = = 4,98 мкФ.

откуда для высокочастотного фильтра Z_2m = + = jωL₂ + , а числовые значения L₂ = L/m = 0,159/0,8 = 0,199 Гн,

С₂ = С = ·3,98 = 35,4 мкФ.

На рис. 5.53,а приведена П-схема фильтра k, а на рис. 5.53,б – П-схема последовательно преобразованного фильтра типа m. На этих схемах указаны конструктивные параметры: для фильтра k – С = 3,98 мкФ, 2L = 0,318 Гн;

Дополнительная резонансная частота

ω₀¢ = ω₀ = = = 376,8 c ^-1,

f₀¢ = = = 60 Гц.

Результаты расчёта рабочих характеристик сведены в табл. 5.7, причём расчёты произведены на основании формул 

chГ = ch(a + jb) = 1 + ,  Z_CП = .

Эти формулы справедливы как для фильтра k, так и фильтра m, если

Z₁ – продольное расчётное сопротивление, Z₂ – поперечное расчётное сопро-тивление.

Рабочие характеристики a(x), b(x) построены на рис. 5.54,а, Z_C(x) - на рис. 5.54,б.

Обращаем внимание на то, что  Z_1m  и Z_2m  в диапазоне частот от нуля до f₀¢ = 60 Гц имеют одинаковый знак и chГ = ch(a + jb) = 1 + > 0, что соот-ветствует cos b = 0, b = 0.

При f > f₀¢  знак Z_2m  меняется на обратный, cos b = -1, b = -p – проис-ходит опрокидывание фазы (изменение её скачком на  p = 180°).

Задача 5.55. Для исходной Т-схемы высокочастотного фильтра, имеющего граничную частоту f₀ = 100 Гц  и параметр нагрузки  k = 200 Ом определить расчётные параметры, привести схему фильтра.

Ответы: рис. 5.55, L = 0,159 Гн, С = 3,98 мкФ,

L₁ = 1,41 Гн, С₁= 4,975 мкФ, L₂ = 0,199 Гн.

5.2.4. Пассивные r-сфильтры

Принцип работы RС-фильтров базируется на изменении сопротивления ёмкости с частотой. В качестве частоты среза принимается частота, на которой равны сопротивления продольной и поперечной ветвей соответствующей Г-схемы фильтра:

ω_нчф = ;            ω_вчф = .

Выражения рабочих характеристик а(ω), b(ω), Z_С(ω) получают анализом коэффициентов  А, В, С, D соответствующей схемы фильтра-четырёхполюсника. Из формулы

chГ = ch(a + jb) = cha∙cosb + jsha∙sinb = М + jN,

получают cha = ;

cosb = .

Характеристические сопротивления

Z_C1 = = ;                 Z_C2 = = .

Задача 5.56. Для Г-образного r-с фильтра высоких частот (рис. 5.56) с граничной частотой f₀ = 100 Гц выбран конденсатор ёмкостью 10 мкФ. Определить r фильтра, а также рассчитать коэффициенты затухания и фазы и сопротивление Z_2C  на частотах 50 Гц, 100 Гц, 150 Гц.

Решение

1. По определению, граничной частотой r-с фильтра считается частота, при которой равны продольное и поперечное сопротивления фильтра, то есть r  = = = 159,2 Ом.

2. Для получения характеристик затухания а(ω) и фазы b(ω), необходимо исследовать величину  ch Г = ch(a + jb),  которая в случае несимметричного четырёхполюсника определяется по формуле  ch Г = .

Коэффициенты А и D Г-схемы определяем по формулам

А = 1 + Z₁/Z₂ = 1 + ,     D = 1.

Тогда  ch Г = = = , где ξ = ω/ω₀. 

Комплексную величину ch Г представляем в алгебраической форме ch Г = М + jN, после чего можно вычислить ch a  и cos b по следующим формулам:

ch a = ½ и

cos b = ½ .  

Характеристическое сопротивление Z_2C находим следующим образом:

             Z_2Х = r, Z_2К = r/(1 + jωСr) ;   

             Z_2C = = = .  

Результаты расчётов характеристик Г-фильтра сводим в табл. 5.8.

Таблица 5.8

ЗАДАЧА5.57. Составить низкочастотный фильтра по симметричной Т-схеме с граничной частотой f₀ = 20 Гц  для работы на активную нагрузку r_H = 630 Ом.

На частотах f₁ = 0,5f₀, f₂ = f₀, f₃ = 2f₀ определить коэффициенты затухания и фазы фильтра, а также его характеристическое сопротивление.

Решение

На рис. 5.57 представлена схема симметричного Т-образного низко-частотного фильтра. Расчётное сопротивление фильтра r определяется из условия передачи максимума мощности со входа на выход при частоте f = 0, что соответствует равенству r = r_H = 630 Ом.

Конструктивный параметр ½r фильтра рис. 5.57 ½r = 630/2 = 315 Ом.

Граничная частота r-с фильтра определяется равенством продольного и поперечного сопротивлений Г-образного полузвена: ½r = , откуда w₀ = и расчётная ёмкость фильтра С = = = 50,53 мкФ.

Коэффициенты затухания а и фазы b для r-с фильтра рассчитываются на основании общего выражения коэффициента А симметричных Т- или П-схем четырёхполюсников с половинными параметрами Г-образного полузвена:

chГ = А = 1 + = 1 + = 1 + j2x,

где x  =  - относительная частота.

С другой стороны, chГ = ch(а + jb) = chа×cosb + jshа×sinb = M + jN, где M = Re(chГ), N = Im(chГ).

Получаем систему уравнений     chа×cosb = M,

shа×sinb = N,

откуда cha = ½ ,

cosb = ½ .

Характеристическое сопротивление симметричной Т-схемы

Z_CT = = = = .

Результаты расчёта характеристик представлены в табл. 5.9.

Таблица 5.9

Задача 5.58. Из двух резисторов по  200 Ом   и одного конденсатора 4 мкФ собрали высокочастотный симметричный фильтр. Рассчитать его граничную частоту.

Ответ: f₀ = 24,87 Гц.

Задача 5.58. Для Г-схемы низкочастотного фильтра рис. 5.28,а задачи 5.37 на основании логарифмической амплитудной частотной характеристики рис. 5.30,а определить граничную частоту фильтра.

Ответ: w₀= = = = 500 c ^-1.

Задача 5.58. Г-схема низкочастотного фильтра предыдущей задачи нагружена постоянным сопротивлением r_H как показано на рис 5.33 задачи 5.39. Рассчитать граничную частоту фильтра на основании передаточной функции. Сравнить с режимом холостого хода предыдущей задачи.

Ответ:  у фильтра,  нагруженного неизменным сопротивлением r_H = = 150 Ом, граничная частота w₁= = = = 667 c ^–1> w₀.

Задача 5.61. Симметричный Т-фильтр рис. 5.57 задачи 5.57 нагружен неизменным сопротивлением r = ρ = 630 Ом. Составить передаточную функ-цию фильтра по напряжению, определить с её помощью граничную частоту фильтра, сравнить её с расчётной.

Ответ:

H(jw) = ,   где k = = 0,5, t₁= = 11,94×10 ^–3 c,

граничная частота фильтра w₁= = = 83,77 c ^–1,

f₁= = = 13,33 Гц.

5.2.5. Активные фильтры r-с

Дифференциальный вход (-) …(+) усилителя имеет очень большое входное сопротивление, для идеального ОУ это сопротивление R_BX = ¥, а поэтому входной ток I_ОУ = 0.

Выходное сопротивление ОУ мало и для идеального ОУ R_BЫX = 0, поэтому выходное напряжение U_BЫX не зависит от тока нагрузки и U_BЫX = -kU₀, где k – коэффициент усиления ОУ.

Знак (-) учитывает то обстоятельство, что из-за подачи сигнала на инвертирующий вход полярность выходного напряжения противоположна полярности напряжения U₀ на дифференциальном входе ОУ.

Рассчитаем передаточную функцию активного четырёхполюсника по схеме рис. 5.58,б. По методу узлового напряжения   U₀ = ,

откуда U₀·(Z + Z_oC) = U_BXZ_oC – kU₀Z и U₀ = ,

а U_BЫX = -kU₀ = -U_BX .

Передаточная функция по напряжению

H(jw) = = ,

на основе которой изучаются свойства активных электрических фильтров.

ЗАДАЧА5.62. Рассчитать и построить асимптотическую логарифмическую амплитудную частотную характеристику передаточной функции по напряжению интегрирующего усилителя рис. 5.59,а при следующих параметрах: r = 4,3 кОм, С = 0,3 мкФ, k = 25.Сделать выводы о возможности применения рассмотренной схемы в качестве электрического фильтра. Найти граничную частоту активного фильтра.

Решение

Передаточная функция по напряжению четырёхполюсника рис. 5.59,а

H(jw) = = = ,

где постоянная времени реального интегрирующего звена

t_И = (1 + k)rС = (1 + 25)×4,3×10³×0,3×10 ^-6 = 33,54×10 ^–3 с.

Амплитудная частотная характеристика передаточной функции

H(w) = , её ЛАЧХ L(w) = 20lgH(w) = 20lgk – 10lg(1 + w²t_И²)

причём 20lgk = 20lg25 = 28 дБ,

частота сопряжения   w_И = t_И ^–1 = = 29,82 с ^-1,   lgw_И = lg29,82 = 1,475.

Вывод: схема интегрирующего усилителя является активным фильтром низкой частоты с граничной частотой w _cp = 750 с ^–1 (lgw _cp = 2,875). Заметим, что у этого фильтра есть диапазон частот w(0 … w_И), для которого ослабление практически равно нулю и выходное напряжение усиленное:

U_BЫX = kU_BX.

Сделать выводы о возможности применения рассматриваемой схемы в качестве электричес