Задачи повышенной сложности

ЗАДАЧА 3.60. Найти показание ваттметра схемы рис. 3.60, если  J = 10 A,

r₁ = r₂ =10 Ом, x₁ = 20 Ом,   x₂ =10 Ом,

 x_M =10 Ом,      x₃ = 20 Ом,   x₄ =10 Ом.

Ответ: P_W = 2000 Bт.

 ЗАДАЧА3.61. В схеме рис. 3.61

u(t) = 120 sin(wt+45°) B,  r₁ = r₂ = x_C = 60 Ом, x_L = 40 Ом, x_M = 20 Ом.

 Определить мгновенное и действующее значение тока i₁.

Ответ: i₁(t ) = 2×sin(wt) A, I₁=  A.

ЗАДАЧА 3.62. Мостовая схема рис. 3.62,а питается от источника синусоидального напряжения с действующим значением Е = 300 B.

Параметры схемы:   r₁ =10 Ом, x₁ =15 Ом,  r₂ = 30 Ом,  x₂ = 20 Ом,

x_M12 =13 Ом,  x₃ = 25 Ом,  r₄ =16 Ом,   x₅ = 40 Ом,   x₆ =12 Ом.

Используя топологические матрицы, сформировать систему расчётных уравнений для определения токов различными методами:

1) методом уравнений Кирхгофа;

2) методом контурных токов;

3) методом узловых потенциалов.

Рассчитать токи и проверить балансы мощностей.

Решение

Выбираем произвольные направления токов в ветвях схемы (указаны на рис. 3.62,а) и строим граф электрической цепи такой, чтобы индуктивно связанные ветви (первая и вторая) были ветвями связи. Такой граф приведен на рис. 3.62,б, в котором ветви № 3, 4, 5 являются ветвями дерева.

Примем комплекс  Е = Е = 300 B.  Комплексные сопротивления ветвей схемы: Z₁ = r₁ + jx₁= 10 + j15 Ом,       Z₂ = r₂ + jx₂ = 30 + j20 Ом,

Z_M12 = jx_M12 = j13 Ом,                Z₃ = –jx₃= –j25 Ом,

Z₄ = r₄ = 16 Ом,       Z₅ = jx₅= j40 Ом,  Z₆ = jx₆= j12 Ом.

Составим матрицы:

- узловая матрица соединений ветвей при базисном узле №4, потенциал которого j ₄ = 0,

[A]= ;

- матрица главных контуров       [B]= ;

- матрица сопротивлений ветвей [Z_в]= ;

- столбцовая матрица ЭДС ветвей [E_в]= ;

- столбцовая матрица токов источников токов ветвей

[J_в]= ;

- столбцовая матрица неизвестных токов ветвей

[I_в]= ;

- столбцовая матрица напряжений ветвей

[U_в]= ;

- столбцовая матрица контурных токов (или токов ветвей связи)

[I_k]= [I_c]= ;

- столбцовая матрица потенциалов узлов [j]= .

По первому закону Кирхгофа [A]×[I_в]=[0]. После перемножения матриц систему уравнений получаем в развёрнутом виде

I₁ + I₃ – I₆ = 0;

-I₁ + I₄ + I₅ = 0;                           (1)

-I₂ – I₄ + I₆ = 0.

Для записи системы уравнений по второму закону Кирхгофа используем следующую редакцию этого закона:

[B]×[Z_в]×[I_в] = [B]×{[E_в] - [Z_в]×[J_в]}.

После перемножения матриц получаем развёрнутую систему уравнений, составленную для исследуемой схемы по второму закону Кирхгофа:                 Z₁×I₁+ Z_M12×I₂– Z₃×I₃ + Z₅×I₅= 0;

Z_M12×I₁+ Z₂×I₂– Z₄×I₄+ Z₅×I₅= 0;             (2)

Z₃×I₃+ Z₄×I₄– Z₅×I₅+ Z₆×I₆= E.

Отметим, что система шести уравнений (система (1) + система (2)) легко составляется по схеме без применения матриц.

Контурные уравнения

В матричной форме контурное уравнение имеет вид [Z_k]×[I_k] = [E_k], где контурные ЭДС [E_k] = [B]×{[E_в] - [Z_в]×[J_в]} представляют ту же столбцовую матрицу, которая приведена в системе (2) уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа.

Рассчитаем матрицу контурных сопротивлений     [Z_k] = [B]×[Z_в]×[B]^T

путём перемножения матриц. Получаем симметричную относительно главной диагонали матрицу

[Z_k] = .

Система контурных уравнений в развёрнутом виде представляется системой (3):

(Z₁+Z₃+Z₅)×I₁+ (Z_M12+Z₅)×I₂– (Z₃+Z₅)×I₆ = 0;

(Z_M12+Z₅)×I₁+ (Z₂+Z₄+Z₅)×I₂– (Z₄+Z₅)×I₆ = 0;                  (3)

-(Z₃+Z₅)×I₁– (Z₄+Z₅)×I₂+ (Z₃+Z₄+Z₅+Z₆)×I₆= E.

Отметим, что эта система также может быть легко составлена по исходной схеме без применения матриц.

Узловые уравнения

В матричной форме узловые уравнения представляются соотношением

[Y_y]×[j] = [J_y],

матрица узловых токов               [J_y] = [A]×{[J_в] - [Y_в]×[E_в]},

матрица проводимостей ветвей  [Y_в]= [Z_в]^-1,

матрица узловых проводимостей [Y_y] = [A]×[Y_в]×[A]^T.

Рассчитаем матрицу проводимостей ветвей для рассматриваемого примера и обратную матрицу сопротивлений ветвей, при этом главный определитель матрицы сопротивлений ветвей D = (Z₁×Z₂-Z_M12²)Z₃Z₄Z₅Z₆, а матрица

[Y_в]= × ,

где A_ij – алгебраические дополнения матрицы [Z_в]. В результате получаем

[Y_в]= .

Находим матрицу узловых токов [J_y] = -[A]×[Y_в]×[E_в]= .

Рассчитаем матрицу узловых проводимостей

[Y_y] = [A]×[Y_в]×[A]^T=

= .

В развёрнутом виде система узловых уравнений представляет систему (4):

j ₁× – j ₂× – j ₃× = ;

-j ₁× + j ₂× – j ₃× = 0;

-j ₁× – j ₂× +

+ j ₃× = - .   (4)

Очевидно, что эту систему уравнений вручную (без матриц) по исходной схеме составить невозможно.

Для приведенной мостовой схемы контурные уравнения (3) и узловые уравнения (4) включают по три уравнения и требуют одинакового объёма работы для их решения.

Решение контурных уравнений (3), которые после подстановки чисел представляются системой

(10+j30)×I₁+ j53×I₂– j15×I₆ = 0;

j53×I₁+ (46+j60)×I₂– (16+j40)×I₆ = 0;                  (5)

-j15×I₁– (16+j40)×I₂+ (16+j27)×I₆= 300,

следующее I₁= 0,073 – j7,496 A,    I₂= 5,103 + j2,219 A, I₆= 13,18 – j7,2 A.

Токи ветвей рассчитываем по полученным контурным:

I₁= 0,073 – j7,496 = 7,496×e ^–j89,44° A,

I₂= 5,103 + j2,219 = 5,565×e ^j23,5° A,

I₃= I₆- I₁= 13,11 + j0,296 = 15,02×e ^j1,29°  A,

I₄= I₆– I₂= 8,08 – j9,22 = 13,11×e ^–j48,77° A,

I₅= I₁+ I₂– I₆= -8 + j1,923 = 12,26×e ^j166,5° A,

I₆= 13,18 – j7,2 = 8,23×e ^-j28,65° A.

Проверим балансы мощностей.

Мощность источника питания

S = Е× = P_Г + jQ_Г = 300×(13,18 + j7,2) = 3954 + j2160 BA.

Активная мощность приёмников

SР_П = I₁²×r₁ + I₂²×r₂ + I₄²×r₄ = 7,496²×10 + 5,565²×30 + 13,11²×16 = 4241 Вт.

Реактивная мощность приёмников

SQ_П = I₁²×x₁ + I₂²×x₂ - I₃²×x₃ + I₅²×x₅ + I₆²×x₆ + 2×Im(I₁× ×jx_M) =

= 7,496²×15 + 5,565²×20 – 15,02²×25 + 12,26²×40 + 8,23²×12 +

+ 2×7,496×5,565×13×sin(-84,44° – 23,5°+90°) = 2225 вар.

Относительная погрешность расчётов по активной (e₁) и реактивной (e₂) мощностям:

e₁%=  = 3,5% < 5%, e₂%=  = 1,48% < 5%.

Результат расчёта приемлемый.