Фотоны. Фотоэлектрический эффект

6.1 Энергия , масса m и импульс p фотона выражаются соответствующими формулами:

                                          ;

                                   ;

                                   ,

где  – частота излучения;  – длина волны в вакууме; с – скорость света в вакууме; h – постоянная Планка, .

Единица измерения энергии 1 эВ = .

6.2 Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

или ,

где  – энергия фотона, падающего на металл, ; А – работа выхода электрона из данного металла; Т – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов,

.

6.3 Фотоэффект наблюдается, если  > A, и не наблюдается при  < A. Равенство  определяет “красную” границу фотоэффекта:

;         ,

где  – минимальная частота, при которой еще возможен фотоэффект в данном металле;  – максимальная длина волны, соответствующая частоте .

6.4 Кинетическая энергия фотоэлектронов связана с задерживающей разностью потенциалов U_з следующей зависимостью:

T_max = eU_з,

где e – заряд электрона, .

6.5 Максимальная кинетическая энергия электрона в нерелятивистском и релятивистском случаях выражается различными формулами:

· если фотоэффект вызван фотоном, имеющим энергию много меньшую энергии покоя электрона ( т.е.  0,51 МэВ, где m₀ – масса покоя электрона, с – скорость света), то можно воспользоваться нерелятивистским выражением для кинетической энергии электрона:

,

· если фотоэффект вызван фотоном, обладающим энергией порядка или больше энергии покоя электрона (т.е.  0,51 МэВ), то следует пользоваться релятивистским выражением для кинетической энергии электрона:

.

Пример 8. Определить «красную» границу  фотоэффекта для цезия, если при облучении поверхности фиолетовым светом длиной волны  = 400 нм максимальная скорость  фотоэлектронов равна 0,65 Мм/с.

Дано:  = 400 нм,  = 0,65 Мм/с = 0,65  м/с/; m = 9,1  кг,  Дж·с;  м/с (данные m, h, c взяты из Приложения).

Найти: .

Решение. При облучении металла светом, длина волны  которого соответствует «красной» границе фотоэффекта, скорость, а следовательно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю, то есть .

Учитывая, что , получим:

,         .

Работу выхода для цезия определим из уравнения Эйнштейна:

.

Отсюда

                          .                                      (1)

Выполним вычисления, подставив в формулу (1) числовые значения величин:

 нм.

Ответ:  = 640 нм.

Эффект Комптона

7.1 Изменение длины волны фотона  при рассеянии его на свободном электроне в металле на угол  определяется:

   или     ,

где m₀ – масса электрона отдачи;  – длины волн фотона до и после рассеяния соответственно; с – скорость света в вакууме.

7.2 Импульс фотона:

.

7.3 Комптоновская длина волны:

.

При рассеянии фотона на электроне  = 2,436 пм.

7.4 Энергия покоя электрона:

 МэВ.

7.5 При комптоновском рассеянии закон сохранения имеет вид:

где ,  - энергии фотона до и после рассеивания соответственно, Т - кинетическая энергия электронов отдачи.

Если эффект Комптона вызван фотоном, имеющим энергию много меньшую энергии покоя электрона, то можно пользоваться нерелятивистким выражением для кинетической энергии. В противном случае следует пользоваться формулами релятивистской механики.

Пример 9. Фотон с энергией 0,500 МэВ рассеялся на свободном электроне под углом 60⁰. Найти энергию рассеянного фотона, кинетическую энергию и импульс электрона отдачи.

Дано:  МэВ,  = 60⁰, Е₀ = 0,511 МэВ (энергия покоя электрона).

Найти: , Т, .

Решение. 1. Энергию рассеянного фотона найдем, воспользовавшись формулой Комптона:

                               .                                       (1)

Выразим длины волн через энергии фотона:

        ;   ;        .                       (2)

Подставив выражения для длин волн (2) в (1), получим:

.

Разделим обе части этого равенства на hc:

.

Обозначив энергию покоя электрона m₀c² через Е₀, получим:

                          .                                      

Подставим числовые значения энергий фотона и электрона, выполним вычисления:

МэВ

1. Кинетическую энергию электрона отдачи Т определим из закона сохранения энергии:

Отсюда выразим   и подставим числовые значения, получим:

Т = 0,500 – 0,335 = 0,165 МэВ.

2. Импульс электрона отдачи найдем из закона сохранения импульса

(рис. 9):

,

где  и  – импульсы падающего и рассеянного фотонов;  – импульс электрона отдачи.

Модули импульсов фотонов выразим через их энергии:

;         .

Зная ,  и угол  (рис. 9), можно определить р_э по теореме косинусов:

Выполним вычисления, подставив числовые значения в единицах СИ

(1 МэВ = =1,6 Дж):

 кг ·м/с.

Проверим размерность:

.

Для определения направления импульса рассеянного фотона найдем угол  (рис. 9).

По теореме синусов:

,

отсюда

.

Заменив импульс рассеянного фотона соотношением , получим:

.

Вычислим :

;  = 41⁰.

Ответ:  = 0,335 МэВ; Т = 0,165 МэВ; р_э = 0,235 ;  = 41⁰.

Давление света

8.1 Давление, производимое светом при нормальном падении:

,

                                       ,

где Е_е – облученность поверхности (  - энергия всех фотонов, падающих на единицу площади за единицу времени); с – скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме;  – коэффициент отражения;           – объемная плотность энергии излучения ( ).

8.2 Количество лучистой энергии , падающей на поверхность S_n за время :

,

где S_n – площадь поверхности, перпендикулярной к потоку энергии; Ф_е – поток лучистой энергии; N – число фотонов, падающих на поверхность S_n за время ;  – энергия одного фотона.

8.3 Объемная плотность энергии излучения:

,

где n – концентрация фотонов в пучке ( ),  – энергия одного фотона.

Пример 10. Пучок параллельных лучей монохроматического света с длиной волны  = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Ф_е=0,6 Вт. Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов , ежесекундно падающих на поверхность.

Дано:  = 663 нм =  м; Ф_е = 0,6 Вт;  = 1; поток падает нормально к поверхности, .

Найти: F; .

Решение. 1. Определяем силу светового давления F на поверхность S:

                                                 F = pS.                                                    (1)

Световое давление р можно найти по формуле:

                                       .                                         (2)

Подставляя формулу (2) в формулу (1), получим:

                                                                                     (3)

Произведение Е_е на S есть величина, численно равная энергии, падающей на данную площадку в единицу времени, то есть поток излучения Ф_е равен

Ф_е = Е_еS.

С учетом этого формула (3) примет вид:

.

Вычислим силу давления F (значение скорости света в вакууме берем из Приложения ,  м/с):

 Н.

1. Произведение энергии  одного фотона на число фотонов, падающих на поверхность в единицу времени, равно потоку энергии света, падающему на данную поверхность:

.

Так как , то .

Отсюда

.

Подставляем числовые значения (значения постоянной Планка берем из Приложения, ):

 с^-1.

Проверим размерность:

.

Ответ: F =  Н,  с^-1.